16.2一元二次方程的解法（第4课时根的判别式）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

一、一元二次方程和它的的解法 第4课时根的判别式 第十六章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac的概念，会用判别式判断一元二次方程根的情况。 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用该关系，在不解方程的情况下，求两根之和、两根之积，以及相关代数式的值。 3 能综合运用判别式与根与系数的关系解决简单的数学问题。 复习回顾 问题1：一元二次方程的一般形式是什么？ 1 ax2+bx+c=0（a≠0） 问题2：一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推导出来的？ 求根公式为 通过配方法将一般式转化为(x+)2=，进而开方得到 新知导入 2 思 考 “我们知道，解一元二次方程可以得到它的根，但有时我们不需要求出具体的根，只需要知道方程有没有实数根，或者两个根之间的关系，比如两根的和、两根的积。例如，已知方程x2−5x−12=0，不解方程，你能判断它有几个实数根吗？如果方程2x2+3x−7=0有两个实数根x1​,x2​，你能直接说出x1​+x2​和x1​x2​的值吗？” 新知探究 探究1 3 一元二次方程根的判别式 思 考 问题一：用公式法解一元二次方程的前提是什么？ 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 新知探究 探究1 3 一元二次方程根的判别式 思 考 问题二：能否不解方程而判断出一元二次方程是否有实数解？怎样做出这种判断？ 我们在用公式法求一元二次方程的解时知道，当 b 2 - 4ac≥0 时， 才能求得方程的实数根，当 b 2 - 4ac < 0 时方程没有实数根 . 所以，我们把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是否有实数根的判别式， 记作Δ = b 2 - 4ac. 新知探究 探究1 3 一元二次方程根的判别式 思 考 问题三：当一个一元二次方程有实数根时，这两个实数根在什么情况下相等，在什么情况下不相等？ 因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况: 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的求根公式： 新知探究 探究1 3 一元二次方程根的判别式 思 考 分类进行讨论： 有两个不相等的实数根 无意义 无实数根 有两个相等的实数根 新知探究 3 梳理归纳 　　 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“△”表示，即△ = b2-4ac. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 新知探究 探究2 3 根与系数的关系 思 考 如果 x 1，x 2 是一元二次方程 2x 2 + 3x - 7 = 0 的两个实数根，那么不解方程你能知道 x 1 + x 2，x1x2 的值吗？ 两根之和 两根之积 与方程系数之间有怎样的联系? 新知探究 探究2 3 根与系数的关系 两根之和： = =- 新知探究 探究2 3 根与系数的关系 两根之积： = 新知探究 3 梳理归纳 　　 因此，对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0，当 b 2 - 4ac≥0 时，它的两个实数根 x 1，x 2 满足 =- = 我们称这两个等式为一元二次方程的根与系数的关系 . b2-4ac≥0. 提分笔记 满足上述关系的前提条件 典例解析 4 例：判断下列方程是否有实数根 . 有实数根时，两个实数根是否相等？ ( 1 ) x 2 - 5x - 12 = 0 ； 解：∵b 2 - 4ac = ( - 5 )2 - 4 × 1 × ( - 12 ) = 73 > 0 ∴方程 x 2 - 5x - 12 = 0 有两个不相等的实数根 . 典例解析 4 ( 2 ) 8y ( 2y - 5 ) = - 25 ； 解：原方程整理为16y 2 - 40y + 25 = 0. 因为 b 2 - 4ac = ( - 40 )2 - 4 × 16 × 25 = 0， 所以方程 8y ( 2y - 5 ) = - 25 有两个相等的实数根 . 典例解析 4 ( 3 ) 3x ( x - 3 ) + 7 = 5( 1 - x ) 解：原方程整理为3x 2 - 4x + 2 = 0. 因为 b 2 - 4ac = ( - 4 ) 2 - 4 × 3 × 2 = 16 - 24 < 0， 所以方程 3x ( x - 3 ) + 7 = 5( 1 - x ) 没有实数根 . 典例解析 4 例：设x1​,x2​是一元二次方程3x2−5x−1=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。 (1)x1​+x2​；(2)x1​x2​；(3)​+​；(4)x12​+x22​。 解：因为x1​,x2​是一元二次方程3x2−5x−1=0的两个实数根，并且a=3，b=−5，c=−1，所以根据一元二次方程根与系数的关系，可得 （1）x1​+x2=-=-=​ (2)x1​x2==- (3)​+===-5 (4) x12​+x22 =(x1+x2)2-2x1x2 =()2-2×（-） = 新知进阶 5 1.用公式法解方程：x2＋5x＋3＝0. 解：a＝________，b＝________，c＝________. Δ＝b2－4ac＝________________＝________0. 方程有两个________的实数根 1 　 5 　 3 　 52－4×1×3 　 13>　 不等　 新知进阶 5 2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 　　　　　 课堂练习 6 1.一元二次方程 ( x＋1 )( x－1 ) ＝2x＋3 的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A 课堂练习 6 2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. 解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, ∴△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . ∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1× =0. ∴方程有两个相等的实数根． 课堂练习 6 （3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根． (3) x2-x+1=0. 课堂练习 6 4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4； (1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得 k=-7. (2)因为k=-7,所以 则： 0 课堂总结 7 核心概念 根的判别式Δ=b2−4ac的定义与作用，以及它与根的情况的对应关系。 根与系数的关系（韦达定理）：当Δ≥0时，x1​+x2​=−ab​，x1​x2​=ac​。 方法归纳 运用判别式时，首先要将方程化为一般形式，再确定a,b,c的值。 运用根与系数的关系时，要注意前提条件：方程有实数根（Δ≥0）且a≠0。 求与两根相关的代数式的值时，通常需要利用代数式的变形（如通分、完全平方公式等），将其转化为用x1​+x2​和x1​x2​表示的形式，再整体代入计算。 感谢聆听! eq \f(－5±\r(13),2) eq \f(－5＋\r(13),2) eq \f(－5－\r(13),2) x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝________， 即x1＝________，x2＝____________. $