第7章 一元一次不等式（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第7章 一元一次不等式 教学目标 1.掌握不等式的概念、性质及不等号含义，能准确区分不等式与等式性质。 2.熟练解一元一次不等式（组），会用数轴表示解集并求特殊解。 3.能解决含参数一元一次不等式（组）的基础问题，初步运用分类讨论思想。 4.会列一元一次不等式（组）解决实际问题，提升数学建模能力。 5.掌握不等式（组）与方程（组）的综合应用方法，提高综合解题能力。 教学重难点 重点 （1）不等式的基本性质，尤其是乘/除负数时不等号方向的改变。 （2）一元一次不等式（组）的解法及解集的数轴表示。 （3）含参数一元一次不等式（组）的参数范围求解。 （4）根据实际问题中的不等关系列不等式（组）。 （5）不等式（组）与方程（组）的综合应用。 难点 （1）含参数不等式（组）中，根据解集或整数解个数求参数范围（边界值取舍）。 （2）挖掘实际问题中的隐性不等关系，列出完整的不等式（组）。 （3）不等式（组）与二元一次方程组的综合，用参数表示解并代入不等式求解。 （4）分类讨论思想在含参数问题中的灵活运用。 知识点01：不等式的基础概念与性质 1.不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，包括绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式。 2.常用不等号及含义： 不等号 名称 核心含义（关键词） 示例 > 大于号 多于、超出 < 小于号 少于、不足 ≥ 大于或等于号 不小于、至少 ≤ 小于或等于号 不大于、至多 ≠ 不等号 不相等 3.不等式的基本性质： 性质1：两边加/减同一个数/整式，不等号方向不变（）； 性质2：两边乘/除同一个正数，不等号方向不变（）； 性质3：两边乘/除同一个负数，不等号方向改变（）； 衍生性质：传递性（）、作差比较法（）。 4. 与等式性质的核心差异：乘/除负数时，不等式需改变不等号方向，等式无需改变。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：一元一次不等式的定义与解法 定义：只含一个未知数、两边为整式、未知数次数为1且系数≠0的不等式，标准形式为（或<、≥、≤，）。 2.解法步骤： 步骤 核心操作与注意事项 去分母 乘各分母最小公倍数，不漏乘不含分母的项，分子为多项式时加括号 去括号 括号外是负数时，括号内各项变号 移项 含未知数的项与常数项分离，移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母及指数不变，化简为（或<、≥、≤）形式 系数化为1 除以负数时必须改变不等号方向，正数不变 3.解集表示： 不等式表示：如、； 数轴表示：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，大于向右、小于向左。 【即学即练】 1．（2025九年级·江苏·专题练习）解不等式：． 知识点03：一元一次不等式组的定义与解法 1.定义：由两个（或多个）含相同未知数的一元一次不等式组成的组合，需满足“同未知数、均为一元一次不等式、个数≥2”。 2.解集定义：多个不等式解集的公共部分，无公共部分则无解。 3.解集确定方法： 口诀法（设）： 不等式组形式 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 数轴法：同数轴表示各不等式解集，标注公共部分。 4.特殊解：在解集中筛选正整数解、负整数解、整数解等符合特定条件的解。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 知识点04：一元一次不等式（组）的实际应用 1.核心步骤：审（找不等关系）→设（未知数）→列（不等式/组）→解（解集）→验（符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键要点： 审：抓住“至少、至多、不大于、不小于、超过”等关键词，挖掘显性和隐性不等关系； 验：解集需满足不等式（组）且符合实际（如人数、数量为正整数）； 常见场景：方案设计、最值求解、费用控制、几何限制等。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 知识点05：不等式（组）与方程（组）的综合 1.核心关联：通过方程（组）的解满足的不等关系，建立不等式求参数范围；或通过不等式的解集，确定方程的特殊解。 2.常见类型： 由方程（组）的解的不等关系求参数； 由不等式（组）的解集确定方程的参数； 结合方程与不等式求代数式的取值范围。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型01不等式的概念与性质应用 方法技巧：紧扣不等式定义判断式子是否为不等式；利用性质变形时，重点关注乘/除负数的不等号方向改变，结合作差比较法比较大小。 【典例1】. （25-26七年级下·上海·月考）下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】. （24-25八年级下·江西吉安·月考）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【变式2】. （25-26八年级上·浙江湖州·月考）由得到的条件是（　　） A． B． C． D．m是任意实数 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 题型02一元一次不等式的识别 方法技巧：紧扣“一个未知数、整式、次数1、系数≠0”四大条件，逐一排查选项，不符合任一条件则不是。 【典例2】. （24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 题型03解一元一次不等式（组） 方法技巧：先解每个不等式，用口诀或数轴确定公共部分；求特殊解时，先得完整解集，再筛选符合条件的解（如正整数解、整数解）。 【典例3】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【变式2】. （23-24九年级下·甘肃白银·期中）解不等式组：． 【变式3】. （2025九年级下·贵州·专题练习）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 题型04含参数一元一次不等式（组）的参数范围求解 方法技巧：将参数视为常数解不等式（组），根据解集、有解/无解、整数解个数等条件，建立关于参数的不等式，注意边界值的取舍（含等号与否）。 【典例4】. （25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【变式1】. （25-26九年级下·江苏宿迁·月考）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【变式3】. （24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 解得：． 题型05不等式（组）与方程（组）的综合应用 方法技巧：先解方程（组），用参数表示解；再根据解的不等关系，建立不等式（组）求参数范围；或通过不等式的解集，确定方程的特殊解。 【典例5】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知是方程的解，试求不等式的解集． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若关于的二元一次方程组的解都是正数，求的取值范围． 【变式2】. （24-25七年级下·四川成都·月考）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【变式3】. （24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 题型06列一元一次不等式解决实际问题 方法技巧：提炼题目关键词（如“利润率不低于”“费用不超过”），转化为不等号；设未知数，列不等式求解，验证解集是否符合实际意义。 【典例6】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买套类设备、套类设备共需万元；购买套类设备、套类设备共需万元． (1)求、两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； (2)若学校计划恰好用万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种30个，乙种40个共用了3600元，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【变式2】. （24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ ∴该超市有13种进货方案． 题型07连写型不等式组的解法 方法技巧：转化为普通不等式组（如），或直接三边同时变形（仅中间含未知数时），注意乘/除负数变号。 【典例7】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知实数，满足，，求取最大值时，的值． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）若，，则的取值范围为______． 【变式3】. （2025八年级上·浙江·专题练习）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 题型08代数式取值范围的确定 方法技巧：用一个未知数表示另一个未知数（如由得），结合已知未知数的取值范围，建立不等式，推导代数式的取值范围。 【典例8】. （24-25七年级下·江苏苏州·期末）【阅读思考】 已知，且，，求的取值范围． 解法如下：， ． ． 又即， ． 又， ． ． ． 即：的取值范围是． 【理解应用】 根据以上解题过程，解答下列问题： （1）若，且，则的取值范围是________； （2）已知，且，，求的取值范围； 【拓展应用】 （3）已知，且，，求的取值范围（用含的代数式表示）． 【变式1】. （24-25七年级下·河南新乡·期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？ 【回顾】 （1）小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知，设，那么y的取值范围是______． 【探究】 小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目． （2）由得，则． 由，，得关于x的一元一次不等式组：______， 解该不等式组得到x的取值范围为______，则w的取值范围是______． 【应用】 （3）已知，且，设，求t的取值范围； （4）已知（n是大于0的常数），且，的最大值为______（用含n的代数式表示）． 【变式2】. （2023七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【变式3】. （25-26八年级上·广西南宁·开学考试）阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，是的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级·上海·假期作业）把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）将不等式化为“”或“”的形式为________． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）写出不等式的一个负整数解________． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表．某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买_____盒爆米花． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边都除以，得． （1）的取值范围是__________； （2）化简的结果为__________． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 13．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 15．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式 教学目标 1.掌握不等式的概念、性质及不等号含义，能准确区分不等式与等式性质。 2.熟练解一元一次不等式（组），会用数轴表示解集并求特殊解。 3.能解决含参数一元一次不等式（组）的基础问题，初步运用分类讨论思想。 4.会列一元一次不等式（组）解决实际问题，提升数学建模能力。 5.掌握不等式（组）与方程（组）的综合应用方法，提高综合解题能力。 教学重难点 重点 （1）不等式的基本性质，尤其是乘/除负数时不等号方向的改变。 （2）一元一次不等式（组）的解法及解集的数轴表示。 （3）含参数一元一次不等式（组）的参数范围求解。 （4）根据实际问题中的不等关系列不等式（组）。 （5）不等式（组）与方程（组）的综合应用。 难点 （1）含参数不等式（组）中，根据解集或整数解个数求参数范围（边界值取舍）。 （2）挖掘实际问题中的隐性不等关系，列出完整的不等式（组）。 （3）不等式（组）与二元一次方程组的综合，用参数表示解并代入不等式求解。 （4）分类讨论思想在含参数问题中的灵活运用。 知识点01：不等式的基础概念与性质 1.不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，包括绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式。 2.常用不等号及含义： 不等号 名称 核心含义（关键词） 示例 > 大于号 多于、超出 < 小于号 少于、不足 ≥ 大于或等于号 不小于、至少 ≤ 小于或等于号 不大于、至多 ≠ 不等号 不相等 3.不等式的基本性质： 性质1：两边加/减同一个数/整式，不等号方向不变（）； 性质2：两边乘/除同一个正数，不等号方向不变（）； 性质3：两边乘/除同一个负数，不等号方向改变（）； 衍生性质：传递性（）、作差比较法（）。 4. 与等式性质的核心差异：乘/除负数时，不等式需改变不等号方向，等式无需改变。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 知识点02：一元一次不等式的定义与解法 定义：只含一个未知数、两边为整式、未知数次数为1且系数≠0的不等式，标准形式为（或<、≥、≤，）。 2.解法步骤： 步骤 核心操作与注意事项 去分母 乘各分母最小公倍数，不漏乘不含分母的项，分子为多项式时加括号 去括号 括号外是负数时，括号内各项变号 移项 含未知数的项与常数项分离，移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母及指数不变，化简为（或<、≥、≤）形式 系数化为1 除以负数时必须改变不等号方向，正数不变 3.解集表示： 不等式表示：如、； 数轴表示：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，大于向右、小于向左。 【即学即练】 1．（2025九年级·江苏·专题练习）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解： ． 知识点03：一元一次不等式组的定义与解法 1.定义：由两个（或多个）含相同未知数的一元一次不等式组成的组合，需满足“同未知数、均为一元一次不等式、个数≥2”。 2.解集定义：多个不等式解集的公共部分，无公共部分则无解。 3.解集确定方法： 口诀法（设）： 不等式组形式 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 数轴法：同数轴表示各不等式解集，标注公共部分。 4.特殊解：在解集中筛选正整数解、负整数解、整数解等符合特定条件的解。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 知识点04：一元一次不等式（组）的实际应用 1.核心步骤：审（找不等关系）→设（未知数）→列（不等式/组）→解（解集）→验（符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键要点： 审：抓住“至少、至多、不大于、不小于、超过”等关键词，挖掘显性和隐性不等关系； 验：解集需满足不等式（组）且符合实际（如人数、数量为正整数）； 常见场景：方案设计、最值求解、费用控制、几何限制等。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 知识点05：不等式（组）与方程（组）的综合 1.核心关联：通过方程（组）的解满足的不等关系，建立不等式求参数范围；或通过不等式的解集，确定方程的特殊解。 2.常见类型： 由方程（组）的解的不等关系求参数； 由不等式（组）的解集确定方程的参数； 结合方程与不等式求代数式的取值范围。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 题型01不等式的概念与性质应用 方法技巧：紧扣不等式定义判断式子是否为不等式；利用性质变形时，重点关注乘/除负数的不等号方向改变，结合作差比较法比较大小。 【典例1】. （25-26七年级下·上海·月考）下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【变式1】. （24-25八年级下·江西吉安·月考）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【详解】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江湖州·月考）由得到的条件是（　　） A． B． C． D．m是任意实数 【答案】A 【分析】根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变即可得解． 【详解】解：由得到的条件是． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 题型02一元一次不等式的识别 方法技巧：紧扣“一个未知数、整式、次数1、系数≠0”四大条件，逐一排查选项，不符合任一条件则不是。 【典例2】. （24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 【变式1】. （20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、化简得，是一元一次不等式，故A正确； B、含有二次项，不是一元一次不等式，故B错误； C、不含未知数，不是一元一次不等式，故C错误； D、化简后为，不含未知数，不是一元一次不等式，故D错误； 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【答案】 3 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和一元一次不等式的解法．解题关键是：先通过定义中“未知数次数为 1”和“系数不为”这两个条件，确定参数的值，再代入求解不等式． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 题型03解一元一次不等式（组） 方法技巧：先解每个不等式，用口诀或数轴确定公共部分；求特殊解时，先得完整解集，再筛选符合条件的解（如正整数解、整数解）。 【典例3】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐步对不等式进行变形，进而求出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 将解集表示在数轴上如下： 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 【变式2】. （23-24九年级下·甘肃白银·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【变式3】. （2025九年级下·贵州·专题练习）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】；数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，准确地进行计算是解题的关键．分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如图所示： 题型04含参数一元一次不等式（组）的参数范围求解 方法技巧：将参数视为常数解不等式（组），根据解集、有解/无解、整数解个数等条件，建立关于参数的不等式，注意边界值的取舍（含等号与否）。 【典例4】. （25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 【变式1】. （25-26九年级下·江苏宿迁·月考）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有整数解为 【分析】本题要求解一个由两个不等式组成的不等式组，并找出该不等式组的所有整数解．首先应分别求出每个不等式的解集，然后取它们的交集，得到原不等式组的解集．最后在该解集中找出所有的整数解． 【详解】解不等式①： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 解不等式②： 去括号： 移项： 合并同类项： 所以原不等式组的解集为： 这些整数都满足， 因此都是原不等式组的整数解． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 【变式3】. （24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 题型05不等式（组）与方程（组）的综合应用 方法技巧：先解方程（组），用参数表示解；再根据解的不等关系，建立不等式（组）求参数范围；或通过不等式的解集，确定方程的特殊解。 【典例5】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知是方程的解，试求不等式的解集． 【答案】 【分析】把代入方程求出的值，再求出不等式的解集即可． 【详解】解∶∵是方程的解， ∴， 解得∶， ∴不等式即为∶， ∴； ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若关于的二元一次方程组的解都是正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】将m看作已知数，表示出方程组的解，再根据方程组的解都是正数，令x与y都大于0，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的范围． 【详解】解：， ①②得：，即， 将代入①得到：， 解得， ∵关于的二元一次方程组的解都是正数， ∴， 解得：． 【点睛】理解方程组解的意义，用含m的代数式表示出x、y，得出关于x、y的不等式并用m表示出来是解题的关键． 【变式2】. （24-25七年级下·四川成都·月考）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)2 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“变更方程”方程为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵m是整数， ∴， 当时，，，符合题意， ∴． 【变式3】. （24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ (3)试求方程组的正整数解； (4)若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1)； (2)有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； (3)； (4)，，． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式组，二元一次方程的整数解，正确利用已知正整数解这一条件是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）购买了笔记本本，钢笔支，则，得，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，所以，把代入得，，然后求出的值并检验即可． 【详解】（1）解：由，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴， 将代入，得， ∴的正整数解为， 故答案为：； （2）解：购买了笔记本本，钢笔支， ∴，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数， 又∵， ∴或， ∴或， ∴有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； （3）解：， 得，， 同理得或， 代入①中，得（舍去）或， ∴方程组的正整数解为； （4）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∵解是正整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或， ∴整数的值为，，． 题型06列一元一次不等式解决实际问题 方法技巧：提炼题目关键词（如“利润率不低于”“费用不超过”），转化为不等号；设未知数，列不等式求解，验证解集是否符合实际意义。 【典例6】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买套类设备、套类设备共需万元；购买套类设备、套类设备共需万元． (1)求、两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； (2)若学校计划恰好用万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1) 类设备每套万元，类设备每套万元 (2) 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组． （1）依据题干给出的两种采购组合的总价，通过列二元一次方程组求解、两类设备的单价； （2）根据总采购费用列二元一次方程，结合两种设备均需购买的条件，求解方程的正整数解得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设A类设备每套万元，B类设备每套万元，根据题意得： ，解得． 答：类设备每套万元，类设备每套万元； （2）解：设购买类设备套，类设备套，其中、均为正整数， 根据题意得， 化简得， 变形得， 、均为正整数， 是正偶数，且， 必须是正偶数，且， 当时，， 当时，， 当时，， 答：方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套； 方案：购买类套，类套． 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种30个，乙种40个共用了3600元，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 (2)该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种滑动变阻器单价为x元，根据乙种单价比甲种贵6元表示出乙的单价，再利用购买30个甲和40个乙的总费用为3600元列方程求解． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元 根据题意得： 解得： 则 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为67， 答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【变式2】. （24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 (2)该超市有13种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． （2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 题型07连写型不等式组的解法 方法技巧：转化为普通不等式组（如），或直接三边同时变形（仅中间含未知数时），注意乘/除负数变号。 【典例7】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）已知实数，满足，，求取最大值时，的值． 【答案】 【分析】先利用待定系数法将变形为的形式，再根据和的范围结合不等式的性质求出的范围．求出当最大时，与的值，代入所求的代数式即可． 【详解】解：设， 则， 解得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 当取得最大值时， ， 解得， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，所有整数解的和为 【详解】解：不等式组，即， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为， ∴它的所有整数解的和为． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）若，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，先根据b的取值范围求出的取值范围，再结合a的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】. （2025八年级上·浙江·专题练习）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了不等式组的求解以及新定义： （1）先解不等式组，再根据定义得到解集的长度，再求“整点”； （2）先求不等式组，根据不等式组的长度来确定的值． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 题型08代数式取值范围的确定 方法技巧：用一个未知数表示另一个未知数（如由得），结合已知未知数的取值范围，建立不等式，推导代数式的取值范围。 【典例8】. （24-25七年级下·江苏苏州·期末）【阅读思考】 已知，且，，求的取值范围． 解法如下：， ． ． 又即， ． 又， ． ． ． 即：的取值范围是． 【理解应用】 根据以上解题过程，解答下列问题： （1）若，且，则的取值范围是________； （2）已知，且，，求的取值范围； 【拓展应用】 （3）已知，且，，求的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，的取值范围为；当时，的取值范围为 【分析】本题考查求不等式的解集．解题的关键是理解并掌握题干中给定的解题方法． （1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）根据题干中给定的方法进行求解即可； （3）根据题干中给定的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； （3）∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， 又∵， 当，即时， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； 当，即时， ∴， ∴， ∴，即的取值范围为； 综上，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为． 【变式1】. （24-25七年级下·河南新乡·期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？ 【回顾】 （1）小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知，设，那么y的取值范围是______． 【探究】 小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目． （2）由得，则． 由，，得关于x的一元一次不等式组：______， 解该不等式组得到x的取值范围为______，则w的取值范围是______． 【应用】 （3）已知，且，设，求t的取值范围； （4）已知（n是大于0的常数），且，的最大值为______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ，，；（3）；（4） 【分析】（1）根据不等式的性质，解答即可． （2）根据（1）的思路，解答即可． （3）根据（2）的思路，解答即可． （4）根据（2）的思路，解答即可． 本题考查了不等式的性质，解不等式组，应用不等式性质求最值，熟练掌握解不等式或不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：由得，则． 由，，得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：，，． （3）解：由得，则． 由，得， 解得， ∴， ∴， ∴． （4）解：由得，则． 由，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故的最大值为． 故答案为：． 【变式2】. （2023七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)(1) ； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 【变式3】. （25-26八年级上·广西南宁·开学考试）阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； （3）先根据已知条件把用表示出来，再根据，求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，即， 故答案为：； （2）解：由，得， 将代入得，， 即， ， ， 由，得， 将代入得，， 即， ∵， ∴， ， ． （3）解：， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ； ， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列选项中，是的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再判断选项中的值是否满足解集即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 不等式两边同时减得， 即 ， ∵ 四个选项中只有满足， ∴ 故选：D. 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式的三条性质逐一分析选项，找出变形错误的选项即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变. 可得，，故A、D正确； 根据不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 可得，故B正确； 根据不等式性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 可得，故C错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，关键是准确掌握不等式的三个核心性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变． 【详解】解：选项A：∵，根据不等式性质①，两边同时加2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项B：∵，根据不等式性质①，两边同时减2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项C：∵，根据不等式性质②，两边同时乘正数2，不等号方向不变， ∴，变形正确； 选项D：∵，根据不等式性质③，两边同时乘负数，不等号方向需改变， ∴，而选项中写，变形错误； 故选：C． 4．（25-26七年级·上海·假期作业）把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的关系． 先根据“每人分5本，则可多分8个人”求出书的总数，再结合“每人分11本，则不够”的数量关系列出不等式． 【详解】解：∵设有名同学，每人分5本可多分8个人， ∴书的总数为， ∵每人分11本不够，即书的总数小于， ∴可列不等式． 故选：A． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）将不等式化为“”或“”的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式． 根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）写出不等式的一个负整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次不等式及求整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．先求解不等式，再找出负整数解即可． 【详解】解：， ， ， 解得， ∴ 不等式的负整数解为、、， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 【答案】 【分析】本题考查不等式的应用，准确理解题意，列出并求解对应不等式是解题的关键． 电梯限载量减去甲、乙两人体重之和，得到可用于搬运货物的最大重量，再除以每箱货物质量，取整数部分即为最多搬运箱数． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据限载量，有不等式， 解不等式得， ∵为整数，故最大值为， 故答案为． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表．某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买_____盒爆米花． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式在实际消费场景的应用；先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花．由题意得， ， 解得， ∴最大为 ． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边都除以，得． （1）的取值范围是__________； （2）化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质和绝对值的化简，解题的关键是根据不等式变形时不等号方向的改变，确定的符号，进而求出的取值范围；再根据的范围判断绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号进行化简． 【详解】（1）解：∵ 不等式两边除以后，不等号方向改变， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵ ， ∴ ，， ∴ ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析 【分析】（1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 在数轴上表示为： （2）解：， ， ， ， ， . 在数轴上表示为： 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 13．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 【答案】(1)①，数轴见解析；②1 (2)当时，该不等式有解．当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）①代入，按解一元一次不等式的基本步骤求解，并在数轴上表示解集； ②根据解集确定正整数解． （2）先整理不等式，再根据含参数的系数正负分情况讨论，确定不等式有解的条件及解集． 【详解】（1）解：①当时，原不等式为， 去分母得， 移项、合并同类项得，两边都除以－2， 得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． ②． 【提示】由①可知，该不等式的解集为， ∴该不等式的正整数解为． （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ∴当，即时，该不等式有解． 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法与含参数不等式的分类讨论，掌握解不等式的基本步骤，以及根据系数正负分类讨论解集是解题的关键． 15．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $