专题7.2 不等式的基本性质（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题7.2 不等式的基本性质 教学目标 教学目标： 1.掌握不等式的三条基本性质，能准确用符号语言表示性质。 2.能区分不等式与等式基本性质的异同，避免变形错误。 3.会运用不等式基本性质对不等式进行正确变形。 4.能利用不等式性质解决比较大小、求参数范围等简单问题。 5.经历性质的探究与应用过程，提升逻辑推理和代数变形能力。 教学重难点 重点 （1）不等式三条基本性质的理解与符号语言表达。 （2）运用不等式基本性质对不等式进行正确变形。 （3）不等式与等式基本性质的异同辨析。 （4）作差比较法和传递性的简单应用。 难点 （1）不等式基本性质3的理解与应用，尤其是乘除负数时不等号方向的改变。 （2）含参数的不等式变形中，根据解集求参数的取值范围。 （3）利用不等式基本性质进行代数推理和证明。 （4）结合数轴，运用性质判断含字母的不等关系。 知识点01：不等式的基本性质 1.基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言：若，则，；若，则，。 2.基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言：若且，则，；若且，则，。 3.基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言：若且，则，；若且，则，。 4. 特殊说明：不等式两边不能乘或除以0，乘0会变为等式，0不能作除数。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴当时，；当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同乘，不等号方向改变，则，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴根据不等式两边同时加，不等号方向不变， ∴，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故该选项成立，符合题意； 故选：． 知识点02：不等式的衍生性质 1.传递性：若且，则；若且，则。 2.作差比较法：比较与的大小，只需判断与0的关系；若，则；若，则；若，则。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解： ，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2），理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形． （1）根据不等式的性质分析即可求解； （2）根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：（1） ，且（已知）， （依据：不 等 式 的 性 质 2 ）， （依据：不 等 式 的 性 质 1）， 故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1； （2），理由如下： ，且（已知）， （依据：不等式的性质3）， （依据：不等式的性质1）． 知识点03：不等式与等式基本性质的异同 对比维度 不等式基本性质 等式基本性质 相同点 1.两边加（减）同一个数/整式，式子仍成立； 2.两边乘（除）同一个正数，式子仍成立。 1.两边加（减）同一个数/整式，等式仍成立； 2.两边乘（除）同一个正数（除数不为0），等式仍成立。 不同点 两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。 两边乘（除）同一个负数（除数不为0），等式仍成立。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 题型01利用不等式性质判断变形正误 方法技巧：逐一对不等式的变形步骤拆解分析，明确每一步变形的依据是哪条性质；重点检查乘除运算中，所乘/除的数的符号，若为负数，需确认不等号方向是否改变，若含字母未标注符号，该变形则不一定成立。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式两边加（或减）同一个整式，不等号方向不变的性质判断各选项即可． 【详解】解：选项，左右加减不同的数，不满足性质，举反例，可得，，，选项错误； 选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，选项错误； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项正确； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项错误． 【变式1】. （25-26八年级上·山东潍坊·期末）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，理解并掌握不等式的性质是关键． 不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变；由此分析各选项即可． 【详解】解：∵， A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江宁波·期末）设，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴； 故只有选项D正确； 故选D． 【变式3】. （25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型02利用不等式性质对不等式变形 方法技巧：根据不等式的变形需求，选择对应的基本性质；变形时遵循“两边同时操作”的一致性原则，加、减、乘、除的数/整式需同时作用于不等式两边；若乘除含字母的代数式，需先判断其符号（正/负/0），再决定是否改变不等号方向。 【典例2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）指出下列不等式变形的依据： (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【答案】(1)不等式两边都减去同一个整式，不等号方向不变 (2)不等式两边都除以同一个正数，不等号方向不变 (3)不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 (4)不等式两边都加上或减去同一个整式，以及除以同一个正数，不等号方向不变 【分析】考查知识点：不等式的基本性质（性质1、2、3）．解题关键：区分不等式变形时所依据的性质（尤其是除以/乘以负数时不等号方向的变化）．易错点：混淆性质2与性质3，忽略乘以/除以负数时不等号方向的改变． 先观察不等式变形前后的变化（如加减整式、乘除数）；再对应不等式的基本性质（性质1：加减不变向；性质2：乘除正数不变向；性质3：乘除负数变向）；最后明确每一步变形所依据的具体性质． 【详解】（1）变形依据：不等式的基本性质1（不等式两边同时减去同一个整式，不等号方向不变），两边同时减． （2）变形依据：不等式的基本性质2（不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变），两边同时除以2． （3）变形依据：不等式的基本性质3（不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变），两边同时乘以． （4）变形依据：先利用不等式的基本性质1（两边同时减并加2），再利用不等式的基本性质2（两边同时除以4）． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 题型03天平情境下的不等关系判断与推导 方法技巧：先根据天平倾斜方向列出不等式（平衡为等式），用字母表示各物体质量；再运用不等式基本性质对式子化简变形，结合传递性推导物体质量的大小关系；若含多个天平情境，联立不等式/等式逐步分析，排除矛盾结论。 【典例3】. （25-26八年级上·浙江温州·期中）图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式性质的应用，结合图形进行分析，找到不等式关系是解题的关键； 【详解】 解：∵ ∴当两边同时加时，则， 故选：D. 【变式1】. （24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等关系表示实际生活中的情境，涉及不等式性质，根据题意，数形结合得到不等式，再由不等式性质化简求解即可得到答案，将实际生活情境转化为不等式表示是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 解得， 故选：C． 【变式2】. （23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是________． 【答案】 【分析】先根据图示可得不等式组，求解即可． 本题考查了不等式的性质，解题关键是不等式组中出现的等式也可类似解方程组的方法，使用代入法求解． 【详解】解：根据图示可知 ， 由①②得④， 把④代入③得， ∴． 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 题型04结合数轴判断含字母的不等关系 方法技巧：先根据数轴上点的位置，确定字母的符号（正/负）、字母间的大小关系以及绝对值的大小；再根据不等式的基本性质，对字母进行加、减、乘、除变形，推导变形后的不等关系；变形时注意若乘除负数，及时改变不等号方向。 【典例4】. （25-26八年级下·全国·课后作业）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac________ab． （2）ab________cb． （3）________． （4）________． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）（2）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论； （3）（4）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （2）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （3）由图可知，．根据不等式的性质1，得． ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （4）由图可知，．根据不等式的性质1，得． 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 【变式3】. （24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据相反数的定义即可得解； （2）先判断、、的正负号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据相反数的定义，在数轴上表示出，的相反数的位置如下： （2）解：，，， ，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上的点表示有理数，不等式的性质，化简绝对值，整式的加减等知识点，确定、、的正负性是解题的关键． 题型05根据不等式变形结果求参数范围 方法技巧：逆用不等式的基本性质，对比变形前后的不等号方向，判断变形时乘/除的含参数代数式的符号；若不等号方向改变，说明所乘/除的代数式为负数，列关于参数的不等式；若方向不变，说明代数式为正数，同时注意排除代数式为0的情况。 【典例5】. （25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·江西赣州·期末）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．由关于的不等式的解集为，知，解之即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 则， 故答案：． 【变式3】. （24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式解集的方向判断未知数系数的符号． 已知不等式的解集为，观察可知不等号方向发生了改变，根据不等式的基本性质（不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变），可判断未知数的系数为负数，进而求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， 又∵不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变， ∴， 解得 ． 故答案为：． 题型06利用作差比较法比较大小 方法技巧：第一步对需要比较的两个数或代数式作差，将差式进行化简（去括号、合并同类项等）；第二步判断化简后差式与0的大小关系；第三步根据作差比较法的规则，由差式的符号确定原数/代数式的大小。 【典例6】. （24-25八年级下·河南周口·月考）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为任意实数，的取值范围为 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 【变式1】. （23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 【变式2】. （24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 【答案】(1)卡片A小于卡片C，理由见解析 (2)B卡片最大，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减，不等式的性质，掌握“求差法”比较大小是解题的关键． （1）由题意可得，，将得到即可求解； （2）同（1）思路，比较出，，即可解答． 【详解】（1）解：卡片A小于卡片C，理由如下： 由题意可得，， ，得， ∴ （2）解：B卡片最大，理由如下： 由题意可得，， ∵，， ∴，得，即， ，得，即， 由（1）由， ∴， ∴B卡片最大． 【变式3】. （24-25七年级下·云南昆明·期中）阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应选方案二 (2)当时，图1的周长大于图2的周长；当时，图1的周长等于图2的周长；当时，图1的周长小于图2的周边 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质，理解材料提示的计算方法，不等式的性质是关键． （1）设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且，分别表示出各自的面积，根据材料提示方法求解即可． （2）根据图示得到周长，根据材料图示方法比较即可． 【详解】（1）解：设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且， ∴方案一的产品的面积为：，方案二的产品的面积为：， ∴， ∵， ∴， ∴方案二的面积小， ∴从省料角度考虑，应选方案二； （2）解：图1的周长为：，图2的周长为：， ∴ ， 当时，图1的周长大于图2的周长， 当时，图1的周长等于图2的周长， 当时，图1的周长小于图2的周边． 题型07不等式性质在实际问题中的简单应用 方法技巧：先从实际问题中提取关键的不等关系关键词（如“不大于”“不小于”“超过”），转化为对应的不等号；再用未知数表示实际问题中的量，列出不等式雏形；最后运用不等式基本性质对不等式进行简单变形，初步求解并验证结果是否符合实际问题的取值要求（如人数、长度为正整数）。 【典例7】. （24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【答案】(1)他获利元； (2)他这次买卖是赚钱了，理由见解析． 【分析】此题主要考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题关键． （1）利用进价与利润之间的关系得出总的利润即可； （2）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案． 【详解】（1）解： 答：他获利元． （2）解： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 【变式1】. （24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ (1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． (2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了不等式的应用，不等式的性质，正确找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据，得到； （2）先得到①   ②   ③，再对着三个式子进行变形，结合不等式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵①   ②   ③ 由①，②可知， 由②－③，得， ∴， ∴， 由③得④， ②－④，得， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （24-25七年级下·黑龙江佳木斯·月考）某商场促销方案： 方案一：买2件商品送1件； 方案二：每件商品打8折． 若购买3件原价均为x元的商品，哪种方案更优惠？ 【答案】方案一 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质．先分别表示出两种方案的总价，再进行比较即可解答． 【详解】解：方案一：3件总价为元， 方案二：3件总价为（元）， ∵， ∴， ∴方案一更优惠． 【变式3】. （24-25七年级下·湖北宜昌·期末）数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有：1，2，3，…，，． 游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 (1)卡片A和卡片C中，哪张卡片上的数字较大？为什么？ (2)求出五张卡片上的数字之和； (3)指出哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【答案】(1)卡片A数字较大，理由见解析 (2) (3)卡片D数字最大，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． （1）根据题中所给的等量关系比较大小即可得出答案； （2）根据题中所给的等量关系结合等式的性质计算即可； （3）先计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】（1）解：卡片A数字较大，理由如下： ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵，，，，， ∴， ∴． （3）解：∵，，，，，， ∴卡片A：， ∴卡片B：， ∴卡片C：， ∴卡片D：， ∴卡片E：， ∵， ∴． 题型08利用不等式性质进行代数推理 方法技巧：以不等式的三条基本性质和传递性为唯一推理依据，每一步变形都需明确标注所依据的性质；推理时遵循“由已知推未知”的逻辑，逐步对不等式进行变形，推导得出结论；若遇证明题，可采用“倒推法”梳理推理思路，再正向书写过程。 【典例8】. （24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1】. （24-25七年级下·福建泉州·月考）阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得 ** ，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填_______； (2)请尝试证明：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时加上c得到，由此即可证明问题． 【详解】（1）解：∵， 将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得，② 由①②，可得， 故答案为：； （2）证明：因为，将不等式两边都加上c，由不等式的性质1， 可得，① 因为，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1， 可得，， ② 由①②，得． 【变式2】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 【变式3】. （24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 一、单选题 1．已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质．结合已知，利用不等式性质逐一判断选项． 【详解】解：∵， 当时，，故选项A不一定成立，该选项不符合题意； 在两边同时乘2，得，故选项B符合题意； 在两边同时乘，得，故选项C不符合题意； 在两边乘得，两边加1得，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质．熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，是解题的关键．通过对已知不等式进行合理变形，对比选项即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴不等式两边同时加， ∴， 即，其他选项均不符合不等式的基本性质． 故选：． 3．下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质1：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：A、若，两边同时减1，得，正确； B、若，两边同时乘6，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加1，得，正确. 4．若是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据的条件，利用不等式性质与正负数运算的符号规律，判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵， ∴（不等式两边同时减去，不等号方向不变）， 又∵， ∴， ∵两个负数相加的结果为负数， ∴，D正确； 取，，，可得，A错误； 取，，，可得，B错误； ∵，， ∴， 又， ∴，C错误； 故选：D． 二、填空题 5．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的值可以是__________（写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以后，不等号方向没有改变，说明除数是正数，因此，只需写出一个正数即可． 【详解】解：已知不等式两边同时除以，得到． 不等号方向没有改变，说明． 因此，的值可以是 1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是根据不等号方向是否改变，判断除数的符号． 6．若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 【答案】 【分析】本题主要考查去绝对值，取绝对值存在两种取值范围是解题的关键． 首先将进行化简求值得到或，即可以写出的值． 【详解】解：∵，即，解得：或， ∴可取（或任意小于的数即可）， 故答案为：． 7．已知，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 8．已知，请用“”或“”填空： （1）________； （2）________； （3） ________； （4）________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 三、解答题 9．已知，且．求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向会改变，据此求解即可． 【详解】解：∵，且（不等号方向发生了改变）， ∴是负数， ∴． 10．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 11．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可； （2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 12．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 【答案】，12（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的应用，不等式的基本性质，正确理解题意并列不等式求解是关键．由题意得，原来的两位数是，对调后的两位数是，则，根据不等式的基本性质可求得，再举例即可． 【详解】解：原来的两位数是，对调后的两位数是， 由题意可知，， 由不等式的基本性质1和2，可得， 这样的两位数举例：12（答案不唯一）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 不等式的基本性质 教学目标 教学目标： 1.掌握不等式的三条基本性质，能准确用符号语言表示性质。 2.能区分不等式与等式基本性质的异同，避免变形错误。 3.会运用不等式基本性质对不等式进行正确变形。 4.能利用不等式性质解决比较大小、求参数范围等简单问题。 5.经历性质的探究与应用过程，提升逻辑推理和代数变形能力。 教学重难点 重点 （1）不等式三条基本性质的理解与符号语言表达。 （2）运用不等式基本性质对不等式进行正确变形。 （3）不等式与等式基本性质的异同辨析。 （4）作差比较法和传递性的简单应用。 难点 （1）不等式基本性质3的理解与应用，尤其是乘除负数时不等号方向的改变。 （2）含参数的不等式变形中，根据解集求参数的取值范围。 （3）利用不等式基本性质进行代数推理和证明。 （4）结合数轴，运用性质判断含字母的不等关系。 知识点01：不等式的基本性质 1.基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言：若，则，；若，则，。 2.基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言：若且，则，；若且，则，。 3.基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言：若且，则，；若且，则，。 4. 特殊说明：不等式两边不能乘或除以0，乘0会变为等式，0不能作除数。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：不等式的衍生性质 1.传递性：若且，则；若且，则。 2.作差比较法：比较与的大小，只需判断与0的关系；若，则；若，则；若，则。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解： ，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 知识点03：不等式与等式基本性质的异同 对比维度 不等式基本性质 等式基本性质 相同点 1.两边加（减）同一个数/整式，式子仍成立； 2.两边乘（除）同一个正数，式子仍成立。 1.两边加（减）同一个数/整式，等式仍成立； 2.两边乘（除）同一个正数（除数不为0），等式仍成立。 不同点 两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。 两边乘（除）同一个负数（除数不为0），等式仍成立。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型01利用不等式性质判断变形正误 方法技巧：逐一对不等式的变形步骤拆解分析，明确每一步变形的依据是哪条性质；重点检查乘除运算中，所乘/除的数的符号，若为负数，需确认不等号方向是否改变，若含字母未标注符号，该变形则不一定成立。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·山东潍坊·期末）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江宁波·期末）设，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型02利用不等式性质对不等式变形 方法技巧：根据不等式的变形需求，选择对应的基本性质；变形时遵循“两边同时操作”的一致性原则，加、减、乘、除的数/整式需同时作用于不等式两边；若乘除含字母的代数式，需先判断其符号（正/负/0），再决定是否改变不等号方向。 【典例2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）指出下列不等式变形的依据： (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03天平情境下的不等关系判断与推导 方法技巧：先根据天平倾斜方向列出不等式（平衡为等式），用字母表示各物体质量；再运用不等式基本性质对式子化简变形，结合传递性推导物体质量的大小关系；若含多个天平情境，联立不等式/等式逐步分析，排除矛盾结论。 【典例3】. （25-26八年级上·浙江温州·期中）图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是________． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 题型04结合数轴判断含字母的不等关系 方法技巧：先根据数轴上点的位置，确定字母的符号（正/负）、字母间的大小关系以及绝对值的大小；再根据不等式的基本性质，对字母进行加、减、乘、除变形，推导变形后的不等关系；变形时注意若乘除负数，及时改变不等号方向。 【典例4】. （25-26八年级下·全国·课后作业）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac________ab． （2）ab________cb． （3）________． （4）________． 【变式2】. （25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 题型05根据不等式变形结果求参数范围 方法技巧：逆用不等式的基本性质，对比变形前后的不等号方向，判断变形时乘/除的含参数代数式的符号；若不等号方向改变，说明所乘/除的代数式为负数，列关于参数的不等式；若方向不变，说明代数式为正数，同时注意排除代数式为0的情况。 【典例5】. （25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 【变式1】. （24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【变式2】. （24-25七年级下·江西赣州·期末）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 【变式3】. （24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 题型06利用作差比较法比较大小 方法技巧：第一步对需要比较的两个数或代数式作差，将差式进行化简（去括号、合并同类项等）；第二步判断化简后差式与0的大小关系；第三步根据作差比较法的规则，由差式的符号确定原数/代数式的大小。 【典例6】. （24-25八年级下·河南周口·月考）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【变式1】. （23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【变式2】. （24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 【变式3】. （24-25七年级下·云南昆明·期中）阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 题型07不等式性质在实际问题中的简单应用 方法技巧：先从实际问题中提取关键的不等关系关键词（如“不大于”“不小于”“超过”），转化为对应的不等号；再用未知数表示实际问题中的量，列出不等式雏形；最后运用不等式基本性质对不等式进行简单变形，初步求解并验证结果是否符合实际问题的取值要求（如人数、长度为正整数）。 【典例7】. （24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【变式1】. （24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ (1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． (2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 【变式2】. （24-25七年级下·黑龙江佳木斯·月考）某商场促销方案： 方案一：买2件商品送1件； 方案二：每件商品打8折． 若购买3件原价均为x元的商品，哪种方案更优惠？ 【变式3】. （24-25七年级下·湖北宜昌·期末）数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有：1，2，3，…，，． 游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 (1)卡片A和卡片C中，哪张卡片上的数字较大？为什么？ (2)求出五张卡片上的数字之和； (3)指出哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 题型08利用不等式性质进行代数推理 方法技巧：以不等式的三条基本性质和传递性为唯一推理依据，每一步变形都需明确标注所依据的性质；推理时遵循“由已知推未知”的逻辑，逐步对不等式进行变形，推导得出结论；若遇证明题，可采用“倒推法”梳理推理思路，再正向书写过程。 【典例8】. （24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【变式1】. （24-25七年级下·福建泉州·月考）阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得 ** ，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填_______； (2)请尝试证明：若，则． 【变式2】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【变式3】. （24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 一、单选题 1．已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．若是实数，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的值可以是__________（写出一种情况即可）． 6．若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 7．已知，且，则的取值范围是______． 8．已知，请用“”或“”填空： （1）________； （2）________； （3） ________； （4）________． 三、解答题 9．已知，且．求m的取值范围． 10．已知，求证：． 11．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 12．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $