精品解析：江苏苏州市虎丘区苏州工业园区星汇学校2025-2026学年九年级下学期数学 第二周学情自测

星汇学校初三数学第二周周练 一、选择题 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．由已知比例式，利用等式的基本性质，将等式变形后验证各选项即可． 【详解】解：， 设，（）， A、，，，故A选项等式成立，符合题意； B、，，，故B选项等式不成立，不符合题意； C、，，，故C选项等式不成立，不符合题意； D、，故D选项等式不成立，不符合题意； 故选：A． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓是一种膜鸣类打击乐器，由圆桶形鼓框和蒙皮的鼓面构成，通过敲击鼓面振动发声，喜庆集会时击鼓的情景如图1．一个鼓的立体图形如图2所示，该立体图形的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的定义是解题的关键． 根据俯视图是从上面看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是鼓的三视图的图形，故选项不符合题意； B、是主视图，故选项不符合题意； C、是俯视图，故选项符合题意； D、不是鼓的三视图的图形，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立一次函数与二次函数解析式，建立方程，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：直线与抛物线交于、两点，，， ，即， ， 故选：D． 5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ） A. 甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B. 乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C. 乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D. 甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 6. 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．设圆的圆心为点，连接，，求得，即为等边三角形，从而求出的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出为圆的直径，则长的一半即为圆的半径长，故②正确． 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，， ， 角的顶点在圆上， ，即为等边三角形， ， 的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上， 为圆的直径， 长的一半即为圆的半径长，故②正确； 故选：C． 7. 如图，正方形的顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得 ，，，再证明，求得， ，再设，则，再利用勾股定理列式求出，即为正方形的面积，再利用二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：∵四边形 是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， 在 和中， ， ， ， 设， 正方形的边长， ， ， 由勾股定理得， 即正方形的面积， 所以当时，正方形的面积最小，最小面积， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题，掌握相关知识是解题的关键． 8. 如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，若交于点，连接，．有下列结论：；与 全等；线段的长为；若、分别为线段、上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据折叠的性质得垂直平分，，推理出 为等边三角形，于是得到，最后根据直角三角形的两锐角互余即可判断结论①；②根据折叠的性质，可得，，根据，即可判断结论②；③由折叠可知，，，进而可证明为等边三角形，得到，在中，根据勾股定理列式求解即可得到的长，即可判断结论③；④过点作于交于，此时的值最小，根据点和点关于对称，可得，进而可得，解直角三角形求解 的长即可判断结论④． 【详解】解：①如图，连接， 由折叠可知，垂直平分，， ． 为等边三角形， ， ，即结论①正确； ②根据折叠的性质，可得，， ， 与 不全等，即结论②错误； ③由折叠可知，，， ， ， 为等边三角形， ， 在 中，， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去），即结论③正确； ④过点作于交于，此时的值最小， 点和点关于对称， ， ， ，， ， 的最小值是，即结论④错误； 综上分析可知，正确的是①③，共个． 二、填空题 9. 函数 的自变量x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 【详解】解：∵， 解得：， ∵， 解得： ， 故自变量的取值范围是且 . 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，通过观察多项式的两项，找出公因式，然后进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出的范围即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 12. 已知 ，，求_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知分式等式通分变形，结合求出的值，再将所求多项式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 13. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得 是等腰直角三角形，从而得到，再证得 和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 14. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为 ．圆锥母线长为 ，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为 ，圆心角______为扇形纸片． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积，圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 由题意知，扇形的面积为，圆锥的侧面积为，设需半径为 ，圆心角为扇形纸片，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，扇形的面积为（）， 圆锥的侧面积为（）， 设需半径为 ，圆心角为扇形纸片， 依题意得，， 解得，， 故答案为： ． 15. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且， ，，则线段长度为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】以 为边向下作等腰直角三角形，由直线解析式易求得点、的坐标，得到，进而证明，然后在中，利用勾股定理得出结论． 【详解】解：如图，以 为边向下作等腰直角三角形， 则，，， ， 直线与轴、轴分别交于点、， 令，则 ， 令，则， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， ，即， （负值已舍去）． 16. 如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若 ，且，则k的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先证出，再推出，进而求出，再证明，求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点F，过点D作 轴交于点E，连接， ∵ ， ∴， 根据对称得， ，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴, ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， 则， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题 17. 计算 ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①， ， 解得 ， ②， ， 解得 ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，得到化简的结果，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则是解本题的关键． 20. 如图，对角线 ，相交于点O，过点D作 且 ，连接，， ． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ， ∴平行四边形 是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形 是平行四边形．再证平行四边形 是矩形，则 ，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得 ，再由勾股定理得，然后由矩形的在得 ，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形 是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 化学实验课上，杨老师带来了 （镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； （2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用 分别表示 、、、，画树状图如下： 由树状图可知，共有中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 22. 为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为： 20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70． 抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 平均数 众数 中位数 一组团 46.2 a b 二组团 46.2 40 c 根据以上信息，解答下列问题： （1） ____________， ____________，____________； （2）如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？ 【答案】（1）45，45，40 （2） 解：∵一组团、二组团抽取的样本平均数相同，而一组团的众数和中位数高于二组团， ∴选择一组团的村民较好． （3）592人 【解析】 【分析】（1）先将一组团以及二组团村民的锻炼时间从小到大排列，然后根据中位数，以及众数的概念求解； （2）结合平均数，众数，中位数作出判断即可； （3）根据题意，可知，一组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，二组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，然后用总人数乘以相应占比列式计算即可． 【小问1详解】 解：将25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间按从小到大排列后： 20，25，30，30，35，35，40，40，40，45，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60，60，60，65，65，70， ∵45出现次数最多， ∴一组团村民的众数为45，即， ∵总人数为25人， ∴中位数为第13个数据，也就是45，即； 根据条形统计图，二组团村民的平均每天体育锻炼时间从小到大排列后如下：20，25，25，30，30，30，35，35，35，35，40，40，40，40，40，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60， 中位数为第13个数据40，即； 故答案为：45，45，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有592人． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为 ，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为 ， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 24. 某学校操场的主席台安装了如图所示的遮阳棚，其截面示意图如图所示，其中四边形是矩形，主席台高 为米．上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米．一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） （1）求点距离地面的高度； （2）当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 【答案】（1）点距离地面的高度约为米 （2）点需在原高度的基础上向下移动米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，交于点，则四边形为矩形，，，设的长度为米，分别在和，通过解直角三角形可表示出， ，最后根据建立方程解答即可； （2）设改变后的长度为米，同理，米，根据建立方程解答即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点，则， 四边形为矩形，， （米）， 设的长度为米， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 米，米， （米）， （米）， 即． 解得， （米）； 答：点距离地面的高度约为米； 【小问2详解】 解：由（1）知，（米）， （米）， 设改变后的长度为米，结合（1）可知米， 为米，， ，解得， （米）， 点需在原高度的基础上向下移动米． 25. 如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分 ，连接并延长交于点G． （1）求证：是的切线． （2）若平分 ， ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线定义和圆周角定理，设，证明，进而可以解决问题； （2）设，证明，得，设 ，证明，对应边成比例求出，过点E作于点M，再证明，求出，根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分 ， ， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵平分 ， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， , ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，四边形是矩形( )． （1）如图1，若，点是的中点，连接 、交于点． ①求的值； ②如图2，过点作，交于点，求的值； （2）如图3，若平分 ，分别交 、于点、，且满足，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、以及锐角三角函数的定义，关键是灵活运用相似三角形的边的比例关系，结合几何图形性质建立线段和面积的联系，借助方程思想解决几何计算问题． （1）①先根据矩形对边平行的性质推出，再结合是中点的条件求出与的比例，利用相似三角形对应边成比例的性质，直接得出的比值； ②先由得到，根据①的结论得到的比例，进而求出、与、的数量关系，设为，分别表示出梯形和梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式算出两个梯形的面积，最后化简求出面积的比值； （2）先判定 为等腰直角三角形，得到，设、 ，结合的面积公式得出，再由推出，利用相似性质表示出和的长度，过作，结合等腰直角三角形的性质求出的长度，再通过的面积公式化简得到，联立方程组解出、的值，最后根据锐角三角函数的定义，用与的比值求出的值． 【小问1详解】 ①解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中点， ， ∴， 又， ∴， ∴，即； ②解：∵，， ∴， ∴． 由，得， ∴． ∵ ，设， ∴，，． 四边形为直角梯形，，，， ∴． 四边形为直角梯形，， ，， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵平分 ，， ∴． ∵， ∴， ∴ 为等腰直角三角形，． 设， ，则，． ∵，∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． 过作于，则， ∴，化简得． 联立，解得，（舍去 的情况）， ∴，， ∴． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点 ，交轴于点，对称轴为直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 交于点，点是直线上的动点，连接，当最大时，求出此时的坐标及的最大值； （3）如图2，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），最大值为； （3）点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由对称轴得出，再把点A坐标代入解析式中计算求解即可； （2）过点P作轴交于点F，确定，，得出 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的判定得出为等腰直角三角形，，当最大时，即 取得最大，利用待定系数法确定直线的解析式为，设点P的坐标为，则点F的坐标为 ，确定，得出当时， 取得最大，即最大，即可确定点P的坐标，再由三角形三边关系即可确定最值； （3）根据题意得出抛物线的平移相当于将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到新抛物线，确定，连接 ，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，取点，连接 交于点E，利用待定系数法确定直线 的函数解析式为 ，然后联立求解即可；找点M关于点D的对称点，同理即可确定第二个点E． 【小问1详解】 解：∵ ，对称轴为直线， ∴，， 解得：， ∴ ； 【小问2详解】 过点P作轴交于点F，如图所示： 由（1）得 ， 当时， 解得：， ∴， ∴ ， 当时，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，即 取得最大， 设直线的解析式为 ， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点F的坐标为 ， ∴， ∴， ∴当时， 取得最大，即最大， ∴， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，连接 ， ∵点的坐标，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取点，连接 交于点E， ∴， ∴，即， 设直线 的函数解析式为， 将点B、M代入得：， 解得：， ∴直线 的函数解析式为 ， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 找点M关于点D的对称点， ∴， ∴， 同理得直线的函数解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上可得，点E的坐标为或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星汇学校初三数学第二周周练 一、选择题 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓是一种膜鸣类打击乐器，由圆桶形鼓框和蒙皮的鼓面构成，通过敲击鼓面振动发声，喜庆集会时击鼓的情景如图1．一个鼓的立体图形如图2所示，该立体图形的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ） A. 甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B. 乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C. 乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D. 甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 6. 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 7. 如图，正方形的顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，若交于点，连接，．有下列结论：；与 全等；线段的长为；若、 分别为线段、上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 函数 的自变量x的取值范围是 ________． 10. 分解因式：______． 11. 如果不等式的解集为，则 必须满足的条件是________． 12. 已知 ，，求_______ ． 13. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 14. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为 ．圆锥母线长为 ，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为 ，圆心角______为扇形纸片． 15. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且， ，，则线段长度为 ________________ ． 16. 如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若 ，且，则k的值等于________． 三、解答题 17. 计算 ． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，对角线，相交于点O，过点D作 且 ，连接，， ． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 21. 化学实验课上，杨老师带来了 （镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； （2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 22. 为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为： 20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70． 抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 平均数 众数 中位数 一组团 46.2 a b 二组团 46.2 40 c 根据以上信息，解答下列问题： （1） ____________， ____________，____________； （2）如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 24. 某学校操场的主席台安装了如图所示的遮阳棚，其截面示意图如图所示，其中四边形是矩形，主席台高为米．上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米．一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） （1）求点距离地面的高度； （2）当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 25. 如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分 ，连接并延长交于点G． （1）求证：是的切线． （2）若平分 ， ，，求的长． 26. 如图，四边形是矩形( )． （1）如图1，若，点是的中点，连接、交于点． ①求的值； ②如图2，过点作，交于点，求的值； （2）如图3，若平分 ，分别交、于点、，且满足，，求的值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点 ，交轴于点，对称轴为直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 交于点 ，点是直线上的动点，连接，当最大时，求出此时的坐标及的最大值； （3）如图2，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $