第一章 导数及其应用（单元测试卷）高二数学湘教版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 导数 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数是，且（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题，则． 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出即可. 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 4．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 5．已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可. 【详解】函数，求导得， 由，解得或， 所以所求递增区间是. 故选：A 7．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 8．已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是奇函数并结合奇函数的定义可得是奇函数，设，求导后可得单调递增，结合单调性可得单调递减，由奇函数可将转化为，由单调递减可得，进而可求得解集. 【详解】由是奇函数可得，即， 则有，所以为奇函数， 设，则，故在R上单调递增， 因为单调递减，所以单调递减， 转化为， 由于为奇函数，则有， 由于在R上单调递减，则有， 解得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数的导函数的图象关于y轴对称，则的解析式不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出各选项中函数的导函数，结合基本初等函数的奇偶性判断可得出结论. 【详解】函数的导函数的图象关于y轴对称，的导函数为偶函数. 对于A，为奇函数，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C正确； 对于D，为非奇非偶函数，故D错误． 故选：ABD. 10．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察条件中的，不难发现这是求导后的分子，故设，求导后由题意可得在为增函数，则有，即，最终可得AB错误. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在为增函数，则有，即. 易得是的充分不必要条件，CD正确，AB错误. 故选：AB. 11．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．有且仅有一个零点，且该零点为 【答案】ACD 【分析】求定义域判断A，换元法结合二次函数值域计算判断B，求导得出单调性判断C，令函数值为0计算得出零点判断D. 【详解】的定义域为，A正确. 令，则，所以的值域为，B错误. ，当时，，所以在上单调递增，，C正确. 令，即，即，且，解得，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】利用导数求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】对函数求导得， 故曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】将题设等价于在上恒成立即可求解. 【详解】由题可得在上恒成立， 因为的图像是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)若函数的极大值点是，求的值； (2)若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极值点与导函数零点的关系代入解方程可得，经检验符合题意； （2）根据两个极值点的符号关系，由韦达定理得出导函数的两根之积为负值可得结果. 【详解】（1）易知，由题意得， 解得，故． 经验证可知，在处取得极大值，符合题意； 故．……7分 （2）由题意，方程有一正一负两个实数根， 设为，则． 故的取值范围是．...................13分 16．（16分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【详解】（1）因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．……10分 （2）由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以．.....................15分 17．(15分）设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为，       因为，       因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：.       即，的值为：，.……7分 （2）.       ①当时，在上恒成立，所以的解集为；       ②当时，令，解得：.       综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为....................15分 18．（17分）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2) 【分析】（1）直接求导即可解决； （2）根据（1）所求的单调区间求解即可． 【详解】（1）， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．……4分 （2）由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为，……10分 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为．....................17分 19．（17分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增.……4分 （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由.……10分 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点......................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 导数 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数是，且（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 4．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 7．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数的导函数的图象关于y轴对称，则的解析式不可能为（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．有且仅有一个零点，且该零点为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在点处的切线方程为______． 13．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)若函数的极大值点是，求的值； (2)若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 16．（16分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 17．(15分）设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 18．（17分）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 导数（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D D A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AB ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）易知，由题意得， 解得，故． 经验证可知，在处取得极大值，符合题意； 故．……7分 （2）由题意，方程有一正一负两个实数根， 设为，则． 故的取值范围是．...................13分 16．（15分） 【详解】（1）因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．……10分 （2）由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以．.....................15分 17．(15分） 【详解】（1）易知的定义域为，       因为，       因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：.       即，的值为：，.……7分 （2）.       ①当时，在上恒成立，所以的解集为；       ②当时，令，解得：.       综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为....................15分 18．（17分） 【详解】（1）， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．……4分 （2）由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为，……10分 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为．....................17分 19．（17分） 【详解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增.……4分 （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由.……10分 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点......................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $