重难点专题05 扇形（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

重难点专题05 扇形 目录 题型01：扇形与圆的面积占比及圆心角关系（高频基础重难点） 1 题型02：扇形面积的影响因素辨析（基础易错重难点） 4 题型03：扇形面积基础公式计算（高频基础考试重点） 8 题型04：扇环与不规则扇形面积计算（中档核心重难点） 11 题型05：扇形组合图形的阴影周长计算（核心易错重难点） 14 题型06：基础组合图形阴影面积计算（核心基础重难点） 20 题型07：正方形与扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 23 题型08：多边形与多扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 25 题型09：扇形动态活动范围综合应用题（拔高压轴重难点） 28 题型01：扇形与圆的面积占比及圆心角关系（高频基础重难点） 核心重难点：扇形面积与所在圆面积的比例关系、圆心角与周角的占比换算，是扇形章节的入门必考基础，核心易错点为圆心角与面积占比的换算失误。 【解题方法】 1. 核心比例关系：扇形面积占所在圆面积的比例=扇形圆心角度数÷360°，弧长占所在圆周长的比例同理，直接通过圆心角速算占比。 2. 逆算技巧：已知扇形面积占圆面积的比例，直接用占比×360°，即可快速求出扇形的圆心角度数。 1．（2025•崇明区校级期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据扇形和圆的面积公式得“扇形面积与其所在圆面积的比等于圆心角与周角的比”，据此求解即可． 【解答】解：根据扇形和圆的面积公式得“扇形面积与其所在圆面积的比等于圆心角与周角的比”可知：扇形面积占圆面积的比例为， 该扇形的面积是所在圆面积的， 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握该知识点是关键． 2．把一张圆形纸片剪去一个圆心角是的扇形，则余下部分是原来整个圆的（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆心角和周角的定义即可得到结论． 【解答】解：， 答：余下部分是原来整个圆的， 故选：． 【点评】本题考查了扇形的面积，正确地列出算式是解题的关键． 3．（2025•上海期末）若一扇形的弧长是所在圆周长的，则扇形的面积是所在圆的　 　 （填几分之几）． 【答案】． 【分析】根据扇形面积的弧长与周长之比等于扇形面积与圆的面积之比求解即可． 【解答】解：根据题意可知，扇形的面积是所在圆的． 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形的面积，弧长，圆的周长，掌握相应的定义是关键． 4.（2025•徐汇区校级期末）如果一个扇形的面积是它所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角 是 　 　度． 【答案】45． 【分析】设圆心角为．半径为．利用圆面积以及扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：设圆心角为，半径为． 根据圆和扇形的面积公式得， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025•浦东新区期末）一个扇形的圆心角是，它的面积是所在圆面积的 （填分数）． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式，扇形面积与圆面积的比例等于圆心角与的比例即可解答． 【解答】解：根据扇形面积公式，扇形面积与圆面积的比例等于圆心角与的比例可知： 因为扇形的圆心角是，整个圆的圆心角为， 所以它的面积是所在圆面积的． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比的应用．熟练掌握该知识点是关键． 6．一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积占整个圆面积的 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据扇形的圆心角度数所占圆心角的比例可得答案． 【解答】解：一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积占整个圆面积的． 故答案为：． 【点评】此题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与之比． 题型02：扇形面积的影响因素辨析（基础易错重难点） 核心重难点：半径、圆心角的变化对扇形弧长、面积的影响规律，不同圆心角扇形的弧长、面积大小比较，核心易错点为忽略半径对弧长、面积的决定性作用，仅通过圆心角判断大小。 【解题方法】 1. 核心公式速记：弧长，扇形面积，弧长和面积均由圆心角n、半径r两个因素共同决定。 2. 变化规律速解：半径扩大n倍，圆心角不变，弧长扩大n倍，面积扩大n²倍；圆心角和半径同时变化时，分别代入倍数关系计算，无需分步算具体数值。 3. 大小比较原则：半径不确定时，仅通过圆心角无法比较弧长、面积的大小，二者可通过半径调整实现相等。 1．（2025•嘉定区期中）如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（　　） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长不一定相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 【答案】 【分析】根据弧长、扇形面积的计算方法进行判断即可． 【解答】解：甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，而甲、乙扇形的半径不确定， 甲扇形的弧长与乙扇形的弧长无法比较大小，因此选项不符合题意； 甲、乙扇形的弧长不一定相等，因此选项符合题意； 甲、乙扇形的弧长不一定相等，因此选项不符合题意； 甲、乙扇形的面积不一定相等，因此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积、弧长，掌握弧长的计算方法，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 2．（2025•徐汇区校级期末）扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】 【分析】设原来扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式求出扇形变形前后的面积，再求出答案即可． 【解答】解：设原来扇形的半径为，圆心角为，则变形后扇形的半径为，圆心角为， 原扇形的面积，变形后扇形的面积为， 所以面积扩大为原来的2倍， 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积的计算，灵活应用扇形面积公式进行计算是解题的关键． 3．两个扇形半径相等，如果小扇形的弧长是大扇形弧长的，那么大扇形的面积是小扇形面积的（　　） A．2倍 B．4倍 C．16倍 D．32倍 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式为，代入数据求解即可． 【解答】解：设小扇形的弧长为．则大扇形的弧长为，半径均为， 则大扇形的面积：小扇形的面积． 即大扇形的面积是小扇形面积的4倍． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积公式，正确记忆扇形的面积公式是解题关键． 4．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么它的面积（　　） A．与原来一样 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】 【分析】设原扇形的圆心角为，半径为，则变形后的扇形的圆心角为，半径为，先根据扇形面积公式计算，再求出答案即可． 【解答】解：设原扇形的圆心角为，半径为，则变形后的扇形的圆心角为，半径为， 根据题意得：原扇形的面积，变化后的扇形面积是， 所以变化后的面积缩小到原来面积的． 故选：． 【点评】本题考查了扇形面积公式和比的意义，解答此题的关键是能利用扇形面积公式求出扇形变形前后的面积． 5．扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍 【答案】 【分析】先设出原来扇形的半径和圆心角，由题意可以得到变化后的扇形的半径和圆心角，然后后来扇形的面积除以原来扇形的面积，即可解答本题． 【解答】解：设扇形原来的半径为，圆心角为，则变形后扇形的半径为，圆心角为， 则变形前扇形的面积为，变形后扇形的面积是， 所以变形前后扇形的面积不变， 故选：． 【点评】本题考查扇形面积的计算，明确扇形的面积是解答本题的关键． 6．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（　　） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 【答案】 【分析】结合扇形的弧长公式和面积公式求解可得． 【解答】解：．因为甲、乙扇形的半径未知，所以不能判断弧长之间的关系，故本选项不符合题意； ．当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等，故本选项符合题意； ．甲、乙扇形的弧长可以相等（当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等），故本选项不符合题意； ．甲、乙扇形的面积可以相等，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的计算公式． 题型03：扇形面积基础公式计算（高频基础考试重点） 核心重难点：扇形面积公式的正用与逆用、钟表指针扫过的扇形面积计算、已知周长/弧长求扇形面积，核心易错点为扇形面积公式混用、扇形周长与弧长的概念混淆。 【解题方法】 1. 扇形面积双公式：①（已知圆心角和半径，优先选用）；②（已知弧长和半径，简化计算）。 2. 钟表问题速解：时针1小时转30°，分针1分钟转6°，先确定转动的圆心角度数，再代入公式计算扫过的面积。 3. 周长逆算技巧：扇形周长=弧长+2r，已知周长和半径先求弧长，再用弧长半径公式快速求面积。 对应题号： 1．（2025•青浦区期末）时钟的分针长6厘米，从到，分针扫过的面积是 　 　 平方厘米． 【分析】先求出时钟的分针从到时分针转动的度数，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【解答】解：时钟的分针从到时，分针转动了， 又时钟的分针长6厘米， 分针扫过的面积是：（平方厘米）． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了扇形的面积，正确掌握扇形的面积公式是解题关键． 2.（2025•普陀区月考）小华家的闹钟的时针长，那么经过4小时的时间时针扫过的面积 为　 　 取． 【答案】37.68． 【分析】先判断出时针扫过的面积是圆心角为，半径为的扇形面积，再根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：时针扫过的面积是圆心角为，半径为的扇形面积， 时针扫过的面积为：． 故答案为：37.68． 【点评】本题主要考查扇形的面积，解题关键是掌握扇形的面积公式． 3.已知扇形的圆心角为，弧长为6.28厘米，那么这个扇形的面积 为 　 　平方厘米． 【答案】15.7． 【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形的面积计算公式求值即可． 【解答】解：设圆的半径为， ， ， 扇形的面积． 故答案为15.7． 【点评】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的综合应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 4．如果用50厘米的铁丝做成一个半径为15厘米的扇形，那么这个扇形的面积等于 　 　平方厘米． 【答案】150． 【分析】因为扇形的周长弧长半径，据此即可得出圆心角的度数，进而依据扇形的面积公式，即，代入数据即可求解． 【解答】解：设扇形的弧长为，根据扇形的周长弧长半径， 即， ， ， ， ， ， （平方厘米）． 答：这个扇形的面积是150平方厘米． 故答案为：150． 【点评】本题考查了扇形的周长和面积的计算方法的灵活应用，掌握扇形的周长和面积计算公式是关键． 5．圆心角为，半径为12厘米的扇形面积是 　 　平方厘米． 【答案】． 【分析】扇形的面积，由此代入数据即可解决问题． 【解答】解：扇形的圆心角为，半径为12厘米， 该扇形的面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【点评】此题考查了扇形的面积公式的计算应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 6．一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是 　 　平方厘米． 【答案】48． 【分析】直接利用扇形面积公式，代入后计算即可． 【解答】解：一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米， ， 即扇形的面积是48平方厘米． 故答案为：48． 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键． 7．已知扇形的弧长是31.4米，半径是10米，那么扇形的面积是 　 　平方米． 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：扇形的弧长是31.4米，半径是10米， 扇形的面积（平方米）． 故答案为：157． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 题型04：扇环与不规则扇形面积计算（中档核心重难点） 核心重难点：扇环面积计算、雨刮器/扇子类的环形扇形面积计算，核心易错点为大小扇形的半径锁定错误、圆心角应用失误。 【解题方法】 1. 扇环面积核心公式：，即大扇形面积减小扇形面积，圆心角相同时，优先计算半径平方差，再代入公式简化计算。 2. 生活场景速解：雨刮器、扇子类问题，先确定扫过区域的内外半径和旋转圆心角，直接套用扇环公式计算，无需拆分零散区域。 1．（2025•上海校级期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分） （平方厘米）， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为　 　 取． 【答案】15.7． 【分析】由图可知，大扇形的半径，小扇形的半径，且扇环对应的圆心角为（即圆），根据扇形面积公式为圆心角度数），大扇形面积为：，小扇形面积为：，扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积：． 【解答】解： ． 答：该扇环的面积为． 故答案为：15.7． 【点评】本题考查了扇形的面积，解决本题的关键是先确定大扇形和小扇形的半径，再根据扇形面积公式求出两者面积差，即为扇环面积． 3．如图，已知一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨架的长是40厘米，扇面宽的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留 【答案】． 【分析】根据图形，根据扇形的面积公式，分别求出扇子总面积和扇子骨架的面积，扇面的面积等于扇子的总面积减去扇子骨架的面积，计算求值即可． 【解答】解：根据题意有， （厘米）， 扇子的总面积：， 扇骨的面积：， 扇面的面积：（平方厘米）． 答：扇面的面积是平方厘米． 【点评】此题考查了扇形的面积公式的实际应用，熟记公式即可解答问题． 题型05：扇形组合图形的阴影周长计算（核心易错重难点） 核心重难点：扇形、圆、多边形组合的阴影部分周长计算，核心易错点为阴影周长的边界识别错误，漏算线段或多算内部重合的弧长、线段。 【解题方法】 1. 周长计算核心原则：先描出阴影部分实际外露的所有边界，拆分为圆弧段和直线段两部分，分别计算后求和。 2. 圆弧速算技巧：多段零散圆弧，优先拼接为整圆、半圆或规则扇形，利用圆心角的和计算总弧长，避免分步计算的繁琐。 1.如图，矩形的长是，宽是，则阴影部分周长是 　 　厘米． 【答案】35.7． 【分析】首先根据图示，可得：两个扇形的半径的长度之和等于矩形的长，也就是；然后根据：阴影部分的周长半径是的圆的周长矩形的长，求出阴影部分周长是多少即可． 【解答】解： （厘米）． 答：阴影部分周长是35.7厘米． 故答案为：35.7． 【点评】此题主要考查了扇形的面积，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确圆的周长的求法． 2．如图，求边长为10的正方形中阴影部分的周长和面积． 【答案】． 【分析】其周长为半圆弧长圆的弧长正方形边长，面积为圆的面积圆的面积，据此列式计算可得． 【解答】解：周长为； 面积为． 【点评】本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式． 3．本题结果保留． 求阴影周长； 【答案】； 【分析】根据阴影周长等于三个半圆的长的和即可得出答案； 【解答】解：， 答：阴影周长为； 【点评】此题主要考查了扇形的面积和弧长，正确掌握圆的面积公式和圆的周长公式是解题关键． 4．如图，求阴影部分的周长和面积．（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）根据圆面积、周长的计算方法进行计算即可； （2）根据正方形面积、圆面积、周长的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1） ， 〔〕 ； （2） ， ． 【点评】本题考查认识平面图形，掌握圆面积、周长，正方形面积、周长的计算方法是解此题的关键． 5．求图中阴影部分的周长和面积．（结果保留 【答案】．． 【分析】根据圆的周长和面积公式解答即可． 【解答】解：阴影部分的周长； 阴影部分的面积． 【点评】此题考查平面图形，关键是能根据圆的周长和面积公式解答． 6．求下面各图形中阴影部分的周长或面积．（单位： 周长：　　 面积：　　 【答案】，． 【分析】根据周长和面积公式求解即可． 【解答】解：第一个图形阴影部分的周长为， 第二个图形阴影部分的面积为， 故答案为：，． 【点评】此题考查平面图形，扇形的周长和面积等知识点，关键是能根据圆的周长和面积公式解答． 7．计算下面图形阴影部分的周长和面积．（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）周长：，面积：．（2）周长：，面积：． 【分析】（1）根据题意可得阴影部分的周长等于两个小半圆的周长之和，面积等于两个小半圆的面积之和，即可求解； （2）根据题意可得阴影部分的周长等于两个小半圆圆周的长加上正方形的两个边长，即可求解． 【解答】解：（1）周长：， 面积：； （2）周长：， 面积：． 【点评】本题考查了组合图形的周长和面积，掌握圆的周长和面积公式是关键． 8．已知正方形的边长为4，如图所示，求阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为； 阴影部分的面积为． 【分析】根据阴影部分的周长就是圆周长的一半，阴影部分的面积就是圆面积的减去正方形面积的一半的2倍解答即可． 【解答】解：阴影部分的周长为： ； 阴影部分的面积为： ． 【点评】本题考查了扇形的弧长和面积公式．解题的关键是熟练掌握扇形的弧长和面积公式． 题型06：基础组合图形阴影面积计算（核心基础重难点） 核心重难点：单个规则图形与扇形组合的阴影面积计算，利用整体减空白、割补法求解基础阴影面积，是复杂阴影题的入门必考内容。 【解题方法】 1. 核心计算原则：优先用整体规则图形面积-空白规则图形面积求解，思路清晰不易错。 2. 简单图形速解：正方形、长方形与扇形的基础组合，先锁定扇形的圆心角和半径，再套用面积公式作和差，简单图形可直接用割补法拼接为规则图形。 1．根据图中标出的数据，求阴影部分面积． （1） （2） 【答案】7.695；9.12． 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 2．求阴影部分的面积．（单位：厘米） 【答案】（1）2.86平方厘米； （2）9.42平方厘米． 【分析】（1）用长方形的面积减去圆的面积即可； （2）用大扇形的面积减去小扇形的面积即可． 【解答】解：（1） （平方厘米）； （2） （平方厘米）． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式的应用是解答本题的关键． 3．求阴影部分的面积．（其中正方形的边长是 【答案】． 【分析】用正方形的面积减去四分之一的圆的面积即可． 【解答】解： ， 阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是理解阴影部分面积为正方形面积减去四分之一圆的面积． 4．已知：如图，，求图中阴影部分的面积．取． 【答案】6.28． 【分析】根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：根据题意可知阴影部分的面积为：， 取3.14， 阴影部分的面积为：6.28． 答：阴影部分面积为6.28． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解决问题的关键． 题型07：正方形与扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：正方形与扇形、半圆组合的阴影面积计算，是考试中最常见的阴影题型，核心易错点为扇形半径与正方形边长的对应关系混淆、重叠部分处理失误。 【解题方法】 1. 核心模型速解：正方形内的扇形阴影，优先利用对称、割补，将阴影转化为扇形与三角形/正方形的面积和差。 2. 容斥巧算：正方形内双扇形交叉的阴影，用两个扇形面积和减去正方形面积，直接求出重叠阴影面积。 1．（2024秋•浦东新区期末）下列选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】 【分析】根据正方形的边长相等，可知正方形的面积相等，只要图中的空白部分面积相等，则阴影部分面积就相等． 【解答】解：图（1）中阴影部分面积正方形的面积圆的面积，不符合题意； 图（2）中阴影部分面积正方形的面积以正方形对角线为直径的半圆的面积，符合题意； 图（3）中阴影部分面积正方形的面积圆的面积，不符合题意； 图（4）中阴影部分面积正方形的面积圆的面积，不符合题意； 答：阴影部分的面积与其他三个不同的图案是图（2）， 故选：． 【点评】本题考查了认识平面图形，弄清楚图中阴影部分的面积是解题的关键． 2．求阴影部分的面积．（其中正方形的边长是 【答案】． 【分析】用正方形的面积减去四分之一的圆的面积即可． 【解答】解： ， 阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是理解阴影部分面积为正方形面积减去四分之一圆的面积． 3．计算下列图形阴影部分的面积． 【答案】21.5平方厘米，25.12平方厘米． 【分析】图1，用正方形面积减去空白部分的面积，4个空白部分加起来是一个直径为10厘米的圆；图2，阴影部分是4个半圆，半圆直径为4厘米． 【解答】解：—（平方厘米）． （平方厘米）． 【点评】本题考查的是计算扇形面积，扇形面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，关键在于找出扇形的圆心角和半径． 4．如图，求阴影部分的面积．（单位：厘米）取 【答案】16.82平方厘米． 【分析】根据阴影部分的面积等于扇形的面积加上扇形的面积减去矩形的面积计算即可． 【解答】解： （平方厘米）， 答：阴影部分的面积为16.82平方厘米． 【点评】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 题型08：多边形与多扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：长方形、三角形与多扇形、多圆组合的复杂阴影面积计算，侧重多图形的综合拆解能力，核心易错点为半径、圆心角的锁定错误。 【解题方法】 1. 拆分原则：将复杂图形拆分为多个基础规则图形，分别计算阴影部分的构成，再求和/作差。 2. 等积替换：利用同半径、同圆心角的扇形面积相等，替换零散阴影，拼接为完整图形计算。 1．已知，求图中阴影部分面积 　 　． 【答案】4.5． 【分析】由三角形面积公式，推出阴影的面积的面积，即可计算． 【解答】解：的面积的面积， 阴影的面积的面积． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查三角形的面积，扇形的面积，关键是得到阴影的面积的面积． 2．看图计算阴影部分的面积．（单位： 【答案】；． 【分析】根据圆的面积公式计算即可． 【解答】解：，，， 第一个图形阴影部分的面积； 第二个阴影部分的面积． 【点评】本题考查了扇形的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．图形计算 求阴影部分面积． 【答案】． 【分析】根据阴影扇形长方形扇形进行计算即可． 【解答】解：如图所示： 长方形的长，， ，，， ， ． 【点评】此题主要考查了圆的周长和面积，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆的周长和面积公式，扇形的面积公式是解决问题的关键． 4求如图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【答案】，． 【分析】图（1）阴影部分的面积等于边长为2的正方形面积加上半径为2的扇形的面积，减去三角形的面积，再减去半径为2的扇形的面积；图（2）阴影部分的面积等于两个半圆的面积的和减去三角形的面积． 【解答】解：图（1）阴影部分的面积， 图（2）阴影部分的面积． 【点评】本题考查了扇形的面积，熟练掌握几何图形的面积公式是解题的关键． 题型09：扇形动态活动范围综合应用题（拔高压轴重难点） 核心重难点：定点拴绳的动物活动范围计算，多边形拐角处的扇形面积叠加，是本章的压轴题型，侧重空间想象能力与多段扇形的拆分求和能力。 【解题方法】 1. 动态范围拆解原则：先确定拴绳点、绳长、障碍物的边长，画出活动轨迹，将活动范围拆分为不同圆心、不同半径、不同圆心角的扇形，分别计算面积后求和。 2. 拐角轨迹技巧：绕障碍物拐角时，绳长会减去对应边长，旋转圆心角根据多边形内角确定，优先锁定每一段扇形的圆心、半径、圆心角三个核心量，再计算面积。 1．（2025•浦东新区校级期中）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用绳子拴着一只羊（如图）． （1）当绳长为10米时，求这只羊能够活动的范围大小． （2）当绳长为30米时，求这只羊能够活动的范围大小．（结果保留 【答案】（1）平方米， （2）平方米． 【分析】（1）画出这只羊活动的区域图，根据扇形面积的计算方法进行计算即可； （2）根据半径的长度，画出这只羊活动的区域图，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，当绳长为10米时，这只羊能够活动的范围如图中阴影部分， 所以其活动的面积为（平方米）， （2）如图2，当绳长为30米时，这只羊能够活动的范围的面积为扇形①与扇形②与扇形③的和，所以其活动区域的面积为 （平方米）． 【点评】本题考查圆面积、扇形面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题05 扇形 目录 题型01：扇形与圆的面积占比及圆心角关系（高频基础重难点） 1 题型02：扇形面积的影响因素辨析（基础易错重难点） 4 题型03：扇形面积基础公式计算（高频基础考试重点） 8 题型04：扇环与不规则扇形面积计算（中档核心重难点） 11 题型05：扇形组合图形的阴影周长计算（核心易错重难点） 14 题型06：基础组合图形阴影面积计算（核心基础重难点） 20 题型07：正方形与扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 23 题型08：多边形与多扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 25 题型09：扇形动态活动范围综合应用题（拔高压轴重难点） 28 题型01：扇形与圆的面积占比及圆心角关系（高频基础重难点） 核心重难点：扇形面积与所在圆面积的比例关系、圆心角与周角的占比换算，是扇形章节的入门必考基础，核心易错点为圆心角与面积占比的换算失误。 【解题方法】 1. 核心比例关系：扇形面积占所在圆面积的比例=扇形圆心角度数÷360°，弧长占所在圆周长的比例同理，直接通过圆心角速算占比。 2. 逆算技巧：已知扇形面积占圆面积的比例，直接用占比×360°，即可快速求出扇形的圆心角度数。 1．（2025•崇明区校级期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（　　） A． B． C． D．无法确定 2．把一张圆形纸片剪去一个圆心角是的扇形，则余下部分是原来整个圆的（　　） A． B． C． D． 3．（2025•上海期末）若一扇形的弧长是所在圆周长的，则扇形的面积是所在圆的　 　 （填几分之几）． 4.（2025•徐汇区校级期末）如果一个扇形的面积是它所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角 是 　 　度． 5．（2025•浦东新区期末）一个扇形的圆心角是，它的面积是所在圆面积的 （填分数）． 6．一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积占整个圆面积的 　 　 ． 题型02：扇形面积的影响因素辨析（基础易错重难点） 核心重难点：半径、圆心角的变化对扇形弧长、面积的影响规律，不同圆心角扇形的弧长、面积大小比较，核心易错点为忽略半径对弧长、面积的决定性作用，仅通过圆心角判断大小。 【解题方法】 1. 核心公式速记：弧长，扇形面积，弧长和面积均由圆心角n、半径r两个因素共同决定。 2. 变化规律速解：半径扩大n倍，圆心角不变，弧长扩大n倍，面积扩大n²倍；圆心角和半径同时变化时，分别代入倍数关系计算，无需分步算具体数值。 3. 大小比较原则：半径不确定时，仅通过圆心角无法比较弧长、面积的大小，二者可通过半径调整实现相等。 1．（2025•嘉定区期中）如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（　　） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长不一定相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 2．（2025•徐汇区校级期末）扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 3．两个扇形半径相等，如果小扇形的弧长是大扇形弧长的，那么大扇形的面积是小扇形面积的（　　） A．2倍 B．4倍 C．16倍 D．32倍 4．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么它的面积（　　） A．与原来一样 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 5．扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍 6．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（　　） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 题型03：扇形面积基础公式计算（高频基础考试重点） 核心重难点：扇形面积公式的正用与逆用、钟表指针扫过的扇形面积计算、已知周长/弧长求扇形面积，核心易错点为扇形面积公式混用、扇形周长与弧长的概念混淆。 【解题方法】 1. 扇形面积双公式：①（已知圆心角和半径，优先选用）；②（已知弧长和半径，简化计算）。 2. 钟表问题速解：时针1小时转30°，分针1分钟转6°，先确定转动的圆心角度数，再代入公式计算扫过的面积。 3. 周长逆算技巧：扇形周长=弧长+2r，已知周长和半径先求弧长，再用弧长半径公式快速求面积。 对应题号： 1．（2025•青浦区期末）时钟的分针长6厘米，从到，分针扫过的面积是 　 　 平方厘米． 2.（2025•普陀区月考）小华家的闹钟的时针长，那么经过4小时的时间时针扫过的面积 为　 　 取． 3.已知扇形的圆心角为，弧长为6.28厘米，那么这个扇形的面积 为 　 　平方厘米． 4．如果用50厘米的铁丝做成一个半径为15厘米的扇形，那么这个扇形的面积等于 　 　平方厘米． 5．圆心角为，半径为12厘米的扇形面积是 　 　平方厘米． 6．一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是 　 　平方厘米． 7．已知扇形的弧长是31.4米，半径是10米，那么扇形的面积是 　 　平方米． 题型04：扇环与不规则扇形面积计算（中档核心重难点） 核心重难点：扇环面积计算、雨刮器/扇子类的环形扇形面积计算，核心易错点为大小扇形的半径锁定错误、圆心角应用失误。 【解题方法】 1. 扇环面积核心公式：，即大扇形面积减小扇形面积，圆心角相同时，优先计算半径平方差，再代入公式简化计算。 2. 生活场景速解：雨刮器、扇子类问题，先确定扫过区域的内外半径和旋转圆心角，直接套用扇环公式计算，无需拆分零散区域。 1．（2025•上海校级期中）如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留． 2．如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为　 　 取． 3．如图，已知一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨架的长是40厘米，扇面宽的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留 题型05：扇形组合图形的阴影周长计算（核心易错重难点） 核心重难点：扇形、圆、多边形组合的阴影部分周长计算，核心易错点为阴影周长的边界识别错误，漏算线段或多算内部重合的弧长、线段。 【解题方法】 1. 周长计算核心原则：先描出阴影部分实际外露的所有边界，拆分为圆弧段和直线段两部分，分别计算后求和。 2. 圆弧速算技巧：多段零散圆弧，优先拼接为整圆、半圆或规则扇形，利用圆心角的和计算总弧长，避免分步计算的繁琐。 1.如图，矩形的长是，宽是，则阴影部分周长是 　 　厘米． 2．如图，求边长为10的正方形中阴影部分的周长和面积． 3．本题结果保留． 求阴影周长； 4．如图，求阴影部分的周长和面积．（单位：厘米） （1） （2） 5．求图中阴影部分的周长和面积．（结果保留 6．求下面各图形中阴影部分的周长或面积．（单位： 7．计算下面图形阴影部分的周长和面积．（单位：厘米） （1） （2） 8．已知正方形的边长为4，如图所示，求阴影部分的周长和面积． 题型06：基础组合图形阴影面积计算（核心基础重难点） 核心重难点：单个规则图形与扇形组合的阴影面积计算，利用整体减空白、割补法求解基础阴影面积，是复杂阴影题的入门必考内容。 【解题方法】 1. 核心计算原则：优先用整体规则图形面积-空白规则图形面积求解，思路清晰不易错。 2. 简单图形速解：正方形、长方形与扇形的基础组合，先锁定扇形的圆心角和半径，再套用面积公式作和差，简单图形可直接用割补法拼接为规则图形。 1．根据图中标出的数据，求阴影部分面积． （1） （2） 2．求阴影部分的面积．（单位：厘米） 3．求阴影部分的面积．（其中正方形的边长是 4．已知：如图，，求图中阴影部分的面积．取． 题型07：正方形与扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：正方形与扇形、半圆组合的阴影面积计算，是考试中最常见的阴影题型，核心易错点为扇形半径与正方形边长的对应关系混淆、重叠部分处理失误。 【解题方法】 1. 核心模型速解：正方形内的扇形阴影，优先利用对称、割补，将阴影转化为扇形与三角形/正方形的面积和差。 2. 容斥巧算：正方形内双扇形交叉的阴影，用两个扇形面积和减去正方形面积，直接求出重叠阴影面积。 1．（2024秋•浦东新区期末）下列选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．求阴影部分的面积．（其中正方形的边长是 3．计算下列图形阴影部分的面积． 4．如图，求阴影部分的面积．（单位：厘米）取 题型08：多边形与多扇形组合阴影面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：长方形、三角形与多扇形、多圆组合的复杂阴影面积计算，侧重多图形的综合拆解能力，核心易错点为半径、圆心角的锁定错误。 【解题方法】 1. 拆分原则：将复杂图形拆分为多个基础规则图形，分别计算阴影部分的构成，再求和/作差。 2. 等积替换：利用同半径、同圆心角的扇形面积相等，替换零散阴影，拼接为完整图形计算。 1．已知，求图中阴影部分面积 　 　． 2．看图计算阴影部分的面积．（单位： 3．图形计算 求阴影部分面积． 4求如图中阴影部分的面积（结果用表示）． 题型09：扇形动态活动范围综合应用题（拔高压轴重难点） 核心重难点：定点拴绳的动物活动范围计算，多边形拐角处的扇形面积叠加，是本章的压轴题型，侧重空间想象能力与多段扇形的拆分求和能力。 【解题方法】 1. 动态范围拆解原则：先确定拴绳点、绳长、障碍物的边长，画出活动轨迹，将活动范围拆分为不同圆心、不同半径、不同圆心角的扇形，分别计算面积后求和。 2. 拐角轨迹技巧：绕障碍物拐角时，绳长会减去对应边长，旋转圆心角根据多边形内角确定，优先锁定每一段扇形的圆心、半径、圆心角三个核心量，再计算面积。 1．（2025•浦东新区校级期中）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用绳子拴着一只羊（如图）． （1）当绳长为10米时，求这只羊能够活动的范围大小． （2）当绳长为30米时，求这只羊能够活动的范围大小．（结果保留 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $