重难点专题04 圆的周长与面积9类综合应用（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

重难点专题04 圆的周长与面积9类综合应用 目录 题型01：圆的周长应用（车轮滚动问题）（高频基础重难点） 1 题型02：圆的周长应用（生活场景应用）（必考基础重难点） 4 题型03：圆的面积应用（高频基础重难点） 5 题型04：圆环面积应用（高频必考重难点） 8 题型05：圆的周长与面积综合（生活相关问题）（综合应用重难点） 10 题型06：圆与多边形的综合拓展题（中档综合重难点） 18 题型07：比例尺与圆的综合计算（基础易错重难点） 21 题型08：阴影部分周长与面积计算（核心拉分重难点） 23 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴重难点） 25 题型01：圆的周长应用（车轮滚动问题）（高频基础重难点） 核心重难点：圆的周长公式正逆用、车轮滚动前进距离计算，是本章最基础的必考内容，核心易错点为直径与半径的换算、单位换算失误。 【解题方法】 1. 周长核心公式：，已知半径/直径直接套用，已知周长先反求半径/直径再计算。 2. 滚动问题速解：滚动圈前进距离=单圈周长×圈数，先算单圈周长，再反求总距离或滚动圈数。 1．（2025•普陀区校级期中）一辆自行车的车轮半径为0.5米，车轮往前滚动20周前进了 　 　米．取 【答案】62.8． 【分析】根据圆的周长公式进行计算即可． 【解答】解：车轮往前滚动20周前进了：（米， 故答案为：62.8． 【点评】本题主要考查了圆的周长运算，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式． 2．（2025•上海校级月考）车轮的直径是1米，向前滚动100周后前进了　 　 米．取 【答案】314． 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：根据圆的周长公式计算可得： ， 故答案为：314． 【点评】本题考查圆的周长在实际问题中的计算．熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025•徐汇区校级月考）车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为 　 　 米．取 【答案】2.512． 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：车轮的直径是0.8米， 车轮滚动一周的长为：（米， 故答案为：2.512． 【点评】本题考查圆的周长，掌握在实际问题中的计算是解题的关键． 4.（2025•浦东新区期中）已知校车轮胎的外直径为，那么轮胎向前滚动100圈后，校车前进 了　 　 ．取 【答案】314． 【分析】根据圆的周长公式求出滚动1圈的长度，再乘100即可解答． 【解答】解：， ， 故答案为：314． 【点评】本题考查了有关圆的应用题，解题的关键是掌握圆的周长公式． 5．一辆汽车在高速公路上行驶，已知它的车轮的外直径为60厘米． （1）如果汽车行驶942米，那么车轮转动了多少圈？ （2）如果车轮每分钟转动1000圈，那么这时的车速是否超过这条路段每小时120千米的限速规定？请说明理由．取 【分析】（1）根据圆的周长公式：，求出车轮的周长，用行驶的距离除以车轮的周长即可； （2）根据（1）求出的车轮的周长，即转动一周所行的米数；然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，1小时分，最后用每分钟行的米数乘60即可． 【解答】解：（1）60厘米米 （圈 答：车轮转动了500圈． （2） （米 （千米）千米． 答：如果车轮每分钟转动1000圈，那么这时的车速为每小时113.04千米，没有超过每小时120千米的限速规定． 【点评】此题属于圆的周长公式的实际应用，利用圆的周长公式进行解答． 题型02：圆的周长应用（生活场景应用）（必考基础重难点） 核心重难点：圆的周长结合封闭图形植树问题、间隔摆放、餐桌就餐人数计算，核心易错点为封闭图形的间隔数计算、间距与周长的匹配失误。 【解题方法】 1. 封闭图形植树速解：圆形/环形上的摆放数量=圆的周长÷间隔距离，封闭图形中间隔数=摆放数，无需额外加减1。 2. 就餐人数计算：先算圆桌周长，再用周长÷单人所需宽度，结果用去尾法取整。 1．（2025•青浦区校级月考）一个圆形花坛，它的半径是6米，现在在花坛的边上每隔1.57米放一盆花，那么共需要放　 　 盆花． 【答案】24． 【分析】求出圆的周长，除以间距即可． 【解答】解：圆的周长为（米， 花坛的边上每隔1.57米放一盆花数量为（盆； 故答案为：24． 【点评】本题考查圆的周长计算，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024•虹口区校级月考）一个圆形喷泉的周长为50.24米，喷泉外围修了一条宽1.5米的步行道．现在沿着步道外围放置花盆，每隔1.57米放一盆，一共要放　 　 盆． 【答案】38． 【分析】先求得喷泉的直径，再求出步道外围直径，然后求得步道外围的周长，最后求得花盆的数量即可． 【解答】解：由题意可得：喷泉的直径为（米， 步道外围周长为：（米， 每隔1.57米放一盆，一共要放盆． 故答案为：38． 【点评】本题主要考查了圆周长的应用，掌握圆的周长公式成为解题的关键． 3．一个圆形餐桌桌面的直径是． 如果一个人需要宽的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？ 【答案】这张餐桌大约能坐19人． 【分析】求出圆周长后，用圆周长除以0.5即可解答； 【解答】解：（人， 答：这张餐桌大约能坐19人． 【点评】本题考查了有关圆的应用题，解题的关键是根据周长公式和面积公式来计算． 4．广场中央的圆形水池的直径是16米，在水池的周围是一条宽2米的环形石子路． 如果在石子路的外沿上每隔0.4米装一盏地灯，一共要安装多少盏地灯？ 【答案】157盏． 【分析】由“围成圆圈植树时，植树棵数间隔数”，可得出安装地灯的数量间隔数，此题得解． 【解答】解：（盏． 答：一共要安装157盏地灯． 【点评】本题考查了有关圆的应用题以及圆的面积，解题的关键是：（1）牢记圆环面积的计算方法；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 题型03：圆的面积应用（高频基础重难点） 核心重难点：圆的面积公式正逆用、已知周长求面积、半径变化对面积的影响，核心易错点为半径平方的计算失误、周长反求半径的步骤错误。 【解题方法】 1. 面积核心公式：，已知直径/周长，必须先换算出半径，再计算面积。 2. 逆算技巧：已知圆的面积，先通过面积反求半径平方，再开方得半径，适配周长、半径的延伸计算。 1．（2025•嘉定区校级期中）一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么新花坛的半径长是　 　 米．取 【答案】5． 【分析】先利用圆的面积公式求得原来花坛的面积，再求得扩大后花坛的总面积，再结合面积公式即可求解． 【解答】解：原来花坛的面积（平方米）， 扩大后花坛的总面积（平方米）， 而（米，（米， 将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么则新花坛的半径为5米， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用．牢记圆的面积公式是解决问题的关键． 2．（2025•闵行区期中）一块圆形草坪的周长是50.24米，则这块草坪的占地面积是　 　 平方米． 【答案】200.96． 【分析】先利用圆的周长公式求出圆的半径，再利用圆的面积公式即可求其面积． 【解答】解：草坪的半径：（米， 草坪的面积：（平方米）． 故答案为：200.96． 【点评】此题主要考查有关圆的应用题，解题的关键是先求出圆的半径． 3．（2024•崇明区期末）一个圆形花坛，它的直径约为2米，那么它的面积约为 　　平方米． 【答案】． 【分析】圆的面积． 【解答】解：圆形花坛的面积（平方米）， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的面积，关键是掌握圆的面积公式． 4．如图，把一个半径为4的圆分成、两部分，其中较小部分为，且较小部分的面积与较大部分的面积比为． （1）求、两部分的面积； （2）若将较大部分分出一部分给较小的部分，且使此时两部分面积的比为，则应从较大部分分出去多大面积？ 【答案】（1）部分的面积是，两部分的面积是； （2）应从较大部分分出去的面积为或． 【分析】（1）根据圆的面积公式计算可求圆的面积，再根据面积比可求、两部分的面积； （2）根据面积比可求两部分面积，进一步可求应从较大部分分出去多大面积． 【解答】解：（1）， ， ． 故部分的面积是，两部分的面积是； （2）， ， ， 或． 故应从较大部分分出去的面积为或． 【点评】本题考查了圆的面积计算，关键是熟练掌握圆的面积公式． 题型04：圆环面积应用（高频必考重难点） 核心重难点：标准圆环的面积公式应用、花坛/水池外围小路的环形面积计算，核心易错点为环宽与内外圆半径的换算失误。 【解题方法】 1. 圆环面积核心公式：，优先计算半径平方差，再乘π，简化计算步骤。 2. 环宽换算技巧：外圆半径内圆半径环宽；已知内圆周长，先通过周长公式反求内圆半径，再算外圆半径。 1．（2025•嘉定区期中）一个圆形花坛的直径为10米，在花坛周边铺一条宽2米的碎石小路，那么这条碎石小路的面积是 　 　 平方米．（结果保留 【分析】求小路的面积实则是求环形的面积，用含小路的大圆面积减去花坛圆的面积即可． 【解答】解：小路外沿所在圆的半径为（米， 所以小路的面积为：（平方米）． 故答案为：． 【点评】本题考查有关圆的应用题，圆的面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的前提． 2．（2025•黄浦区期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 　 　 平方米．（结果保留 【答案】． 【分析】根据圆的面积公式进行解题即可． 【解答】解：由题可知， （平方米）． 答：这条小路的面积等于平方米． 故答案为：． 【点评】本题考查有关圆的应用题、圆的面积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2025•普陀区期中）学校要在周长为18.84米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？取 【答案】（1）这个圆形花坛的半径是3米．（2）环形塑胶跑道的面积是50.24平方米． 【分析】（1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答， （2）根据环形面积公式：，把数据代入公式解答． 【解答】解：（1）， 解得， 答：这个圆形花坛的半径是3米． （2） （平方米）， 答：环形塑胶跑道的面积是50.24平方米． 【点评】此题主要考查了有关圆的应用题，解题的关键是熟记公式进行解答． 4．（2024•金山区期末）已知一个圆形花坛的周长是25.12米，沿着它的外侧铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积． 【答案】28.26平方米． 【分析】根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再根据圆环的面积公式计算即可求解． 【解答】解：圆形花坛的半径为：（米， 所以小路外沿所在圆的半径为：（米， 故这条小路的面积为：（平方米）． 【点评】本题考查认识平面图形，掌握圆面积的计算方法是正确解答的前提． 5．（2025秋•浦东新区期末）一个圆形花坛的周长是37.68米，在花坛的周围修一条1米宽的小路，求小路的面积是多少平方米取？ 【答案】40.82平方米． 【分析】根据周长为37.68米，列式计算得圆形花坛的半径，再求出圆形花坛的面积，因为圆形花坛外围修一条宽1米的小路，所以进行列式计算，得出这条小路的面积，即可作答． 【解答】解：一个圆形花坛的周长是37.68米，在花坛的周围修一条1米宽的小路， 花坛半径：（米， 外圆半径：（米， 小路面积（圆环面积） （平方米） 答：小路的面积是40.82平方米． 【点评】本题考查了圆的面积，圆的周长，圆环的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型05：圆的周长与面积综合（生活相关问题）（综合应用重难点） 核心重难点：圆的周长与面积在生活场景中的多步骤综合应用，结合实际场景建模，核心易错点为场景理解不到位、核心量锁定错误。 【解题方法】 先拆解题干的核心需求，将周长、面积模块独立拆分，分步锁定半径、圆心角、环宽等核心量，逐步拆解求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025•徐汇区校级月考）儿童乐园要修建一个圆形的旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆，所需栏杆是 　 　 ．取 【答案】31.4． 【分析】先求出外侧圆的半径，再根据周长公式计算即可． 【解答】解：外圆的半径为， 外圆周长为， 所需栏杆为， 故答案为：31.4． 【点评】本题考查了圆的周长，掌握周长公式是解题的关键． 2．（2025•闵行区期中）如图所示为一个盒子的底面，这个盒子里正好放5瓶牛奶，已知每瓶牛奶的瓶底半径是3厘米，这个盒子的底面面积是　 　 平方厘米． 【答案】180． 【分析】由题意可知这个盒子的长为（厘米），宽为6厘米，再根据长方形的面积公式即可求解． 【解答】解：这个盒子的长为（厘米）， 宽为（厘米）， 这个盒子的底面面积是， 故答案为：180． 【点评】本题考查了有关圆的应用题，正确得出长方形的长与宽是解题的关键． 3．（2025•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． （1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ （2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）能够浇灌的最大面积是平方米； （2）能够浇灌的最大面积是平方米． 【分析】（1）求出半径是11米的圆面积即可； （2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案． 【解答】解：（1）某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”， （平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米； （2）正方形轨道中，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图： “自动旋转喷头”射程为12米， 米， （平方米），（平方米），（平方米）， （平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米． 【点评】本题考查了有关圆的应用，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用． 4．如图，准备在一个广场中心建一个直径为的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． （1）请你求出花坛中小圆部分的周长； （2）如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知品种与品种的费用之比为，品种和品种的费用之比为，如果购买品种花卉比购买品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 【答案】（1）； （2）33000元． 【分析】（1）根据圆的面积公式计算可求圆形花坛的面积，进一步求出小圆的面积，可求小圆的半径，进一步求出花坛中小圆部分的周长； （2）首先求出品种、品种和品种的费用之比为，再根据购买品种花卉比购买品种花卉多花了7000元，可求购买1份的费用，进一步求出购买三种花卉总费用多少元． 【解答】解：（1） ， ， ． 故花坛中小圆部分的周长是； （2）品种与品种的费用之比为，品种和品种的费用之比为， 品种、品种和品种的费用之比为， 购买品种花卉比购买品种花卉多花了7000元， 购买三种花卉总费用为： （元． 故购买三种花卉总费用33000元． 【点评】本题考查圆的周长和面积公式的应用，关键是掌握圆的周长和面积计算公式． 5．一根长314厘米的铁丝，问： （1）如果将其围成一个正方形，它的面积是多少？ （2）如果将其围成一个长方形，长：宽，它的面积是多少？ （3）如果将其围成一个圆形，它的面积是多少？ 【答案】（1）6162.25平方厘米； （2）5915.76平方厘米； （3）7850平方厘米． 【分析】（1）正方形的周长边长，铁丝的长度就是正方形的周长，因此可以求出正方形的边长，再根据正方形的面积边长边长即可求解； （2）先求出长方形的长宽的和，再根据长：宽，求出长方形的长和宽，再根据长方形的面积长宽即可求解； （3）利用圆的周长公式，即可得到圆的半径，再根据圆的面积即可求解． 【解答】解：（1）（厘米）， （平方厘米）， 答：它的面积是6162.25平方厘米； （2）（厘米）， （厘米）， （厘米）， （平方厘米）， 答：它的面积是5915.76平方厘米； （3）（厘米）， （平方厘米）， 答：它的面积是7850平方厘米． 【点评】此题主要考查正方形、长方形和圆的周长和面积的计算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 6．小华沿着一个圆形储水池的四周走了一圈，一共走了157步，已知小华每步长是0.5米，这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【答案】490.625． 【分析】根据题意先计算出圆的周长，再求出圆的半径，最后根据圆的面积公式求出花坛的占地面积即可． 【解答】解：由题可知，圆的周长为：（米， 圆的半径为：（米， 故花坛的面积为：（平方米）． 答：花坛的占地面积是490.625平方米． 【点评】本题考查圆的面积，能够题意算出花坛的半径是解题的关键． 7．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米．这座体育馆的占地面积是多少？ 【答案】11304平方米． 【分析】首先用步长乘步数求出周长是多少米，根据圆的周长公式：，那么，据此求出半径，再根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答． 【解答】解：（米， （平方米）， 答：这座体育馆的占地面积是11304平方米． 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 8．一食堂有10张大小相同的圆桌，桌面直径为，现需要把桌面刷上油漆（只刷上面），桌面每平方米需用油漆．取 （1）求一个桌面的面积？ （2）求出刷这些圆桌需要油漆多少？ （3）一家油漆商店销售一桶的油漆15元，该商店油漆只能整桶出售，食堂负责人经过讨价还价后油漆商店的店主答应八折优惠，那么食堂需要花多少钱？ 【答案】（1）；（2）；（3）48元． 【分析】（1）根据圆的面积公式，可以计算出一个桌面的面积； （2）根据（1）中的结果和题目中的数据，可以计算出刷这些圆桌需要油漆多少； （3）根据题意和（2）中的结果，可以计算出食堂需要花多少钱． 【解答】解：（1） ， 即一个桌面的面积是； （2） ， 即刷这些圆桌需要油漆； （3）一家油漆商店销售一桶的油漆15元，该商店油漆只能整桶出售， 需要4桶油漆， 食堂负责人经过讨价还价后油漆商店的店主答应八折优惠， 食堂需要花： （元， 即食堂需要花48元． 【点评】本题考查有关圆的应用题、圆的面积，解答本题的关键是明确题意，求出圆的面积． 题型06：圆与多边形的综合拓展题（中档综合重难点） 核心重难点：圆与长方形、正方形、梯形的综合计算，面积与周长的联动变形题，侧重公式的灵活运用与图形拆解能力。 【解题方法】 先根据题干条件锁定圆的核心半径/直径，再结合多边形的边长、角度，拆分出规则的圆、扇形、多边形模块，分别计算后按题干要求求和/作差。 1．（2025•虹口区期末）白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”描述了雨点打在水面上荡开层层的波纹．已知水池是一个长、宽的长方形，那么当波纹到池边时所形成的最大整圆的周长是 　 　 ．取 【答案】1570 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：水池是一个长、宽的长方形， 当波纹到池边时所形成的最大整圆的直径为， 当波纹到池边时所形成的最大整圆的周长是． 故答案为：1570． 【点评】本题考查了有关圆的应用题，圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式是关键． 2．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．取 （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 【答案】（1）350； （2）． 【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可． 【解答】解：（1）（平方米）， 答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米； （2）（平方米）， （平方米）， 所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为． 【点评】本题考查平面图形面积的计算方法，掌握圆、长方形、扇形的面积计算方法是得出正确结果的关键． 3．一个圆形花坛的直径是12米，中间一个圆形的喷水池直径6米，其余地方全部种花．（本题结果保留 （1）求种花部分的面积是多少平方米？ （2）在花坛周围建造一圈1.2米高的篱笆，则篱笆的面积是多少平方米？ 【答案】（1）种花部分的面积是平方米； （2）篱笆的面积是平方米． 【分析】（1）用圆形花坛的面积减去圆形喷水池的面积即可得到答案； （2）根据圆柱的侧面积公式进行求解即可． 【解答】解：（1）（平方米）， 答：种花部分的面积是平方米； （2）解：（平方米） 答：篱笆的面积是平方米． 【点评】本题主要考查了求圆的面积，圆柱的侧面积，熟知相关计算公式是解题的关键． 4．广场中央的圆形水池的直径是16米，在水池的周围是一条宽2米的环形石子路． 这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米； 【分析】利用圆环的面积大圆的面积小圆的面积，即可求出结论； 【解答】解：根据题意得：大圆半径为（米， 小圆半径为（米， 环的面积为（平方米）． 答：这条石子路的面积是113.04平方米； 【点评】本题考查了有关圆的应用题以及圆的面积，解题的关键是：（1）牢记圆环面积的计算方法；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 题型07：比例尺与圆的综合计算（基础易错重难点） 核心重难点：比例尺结合圆的直径、半径、周长计算，核心易错点为图上距离与实际距离的换算、半径与直径的概念混淆。 【解题方法】 1. 核心换算逻辑：先根据比例尺公式“比例尺=图上距离：实际距离”，算出圆的实际直径/半径，注意单位统一。 2. 计算原则：锁定实际半径后，再代入圆的周长、面积公式计算，规避先算图上周长再换算的易错步骤。 1．（2025•浦东新区校级期末）在比例尺是的图纸上测得一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的实际直径是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，图纸上的长度与实际长度的比为，即图上1厘米代表实际3厘米，已知图纸上的直径为2厘米，将其乘以比例尺的分母即可得到实际直径． 【解答】解：由题意可得：实际直径为：． 故选：． 【点评】本题主要考查比例尺的运用，理解比例尺的计算方法是关键． 2．（2025•普陀区月考）一种机械手表上的圆形螺丝直径是，设计图纸上的比例尺为，那么画在设计图上的直径为 　 　 ． 【答案】6． 【分析】根据比例尺的知识点进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 即， 解得图上距离， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查有关圆的应用题、比例尺、圆的周长，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2024•奉贤区校级期中）一种机械手表的圆形螺丝设计图的比例尺为，该圆形螺丝直径是，则这画在设计图纸上的尺寸是　 　 ． 【答案】6． 【分析】根据比例尺的知识点进行解题即可． 【解答】解：画在设计图纸上的尺寸是， 由题意得：， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查有关圆的应用题、比例尺、圆的周长，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．在比例尺为的零件图纸上，一个圆形部件在图纸上的直径为40厘米，则该部件的实际半径是 　 　厘米，实际周长是 　　厘米． 【答案】2，． 【分析】设该部件的实际半径是厘米，根据比例的性质可求出该部件的实际半径，再由圆的周长公式计算，即可求解． 【解答】解：设该部件的实际半径是厘米，根据题意得：， 解得：， 即该部件的实际半径是2厘米， 实际周长是厘米． 故答案为：2；． 【点评】本题主要考查了比例尺的应用，求圆的周长，熟练掌握比例的基本性质，圆的周长公式是解题的关键． 题型08：阴影部分周长与面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：圆、扇形、多边形组合的阴影部分周长与面积计算，是本章核心拉分题型，核心易错点为阴影周长的边界识别、面积割补的逻辑失误。 【解题方法】 1. 阴影周长计算：先锁定阴影部分实际外露的所有边界，拆分为弧长和线段两部分，分别计算后求和，切勿漏算线段或多算内部重合线。 2. 阴影面积计算：优先用整体减空白法，复杂图形用割补法、平移法、等积变形法，将不规则阴影转化为规则图形的面积和差。 3. 旋转图形巧算：利用旋转的性质，将分散的阴影拼接为完整的扇形/圆形，规避分步计算的复杂过程。 1．（2025•闵行区期中）如图，请计算阴影部分的周长和面积． 【答案】周长为；面积为． 【分析】用半径为4的半圆的周长加上半径为8，圆心角为的扇形的弧长可得阴影部分的周长；用半径为8，圆心角为的扇形的面积减去其中空白部分的面积可得阴影部分的面积． 【解答】解：阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为：． 【点评】本题考查了圆的应用题，圆的周长与面积，掌握相关公式是解答本题的关键． 2．（2025•普陀区期中）如图，一个直径为的半圆形绕着点逆时针方向转动，此时点移动到点． （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积．取 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据图形，可知阴影部分的周长为扇形的弧长两个半圆的弧长，然后代入数据计算即可； （2）根据图形，可知阴影部分的面积为扇形的面积一个半圆的面积一个半圆的面积，然后代入数据计算即可． 【解答】解：（1）由图可得， 阴影部分的周长为： ， 即阴影部分的周长为； （2）由图可得， 阴影部分的面积 ， 即阴影部分的面积为． 【点评】本题考查有关圆的应用题、圆的周长、圆的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴重难点） 核心重难点：圆在图形内侧/外侧滚动的扫过面积计算、多边形拐角处的滚动轨迹分析，是本章的压轴难点，侧重空间想象能力与图形拆解能力。 【解题方法】 1. 滚动扫过面积速解：先画出滚动轨迹，将扫过区域拆分为规则长方形+拐角扇形，直线段滚动对应长方形面积，拐角处的扇形可拼接为整圆/半圆，分别计算后求和。 2. 拐角轨迹技巧：图形外侧滚动时，拐角处的旋转圆心角=180°多边形内角，优先锁定旋转半径和圆心角，再计算扇形面积。 1．（2025•徐汇区校级期末）如图，梯形中，，，，，，、分别为、上的点，且，一个半径为的圆在梯形的外侧，沿着梯形的边连续地从点经过点、无滑动地滚动到点，求圆滚过区域的面积（结果保留． 【答案】． 【分析】根据题意把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，，拐角处分别为半径为的扇形，起点、终点加起来正好是一个半径长为圆的面积；，拐角处面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【解答】解：如图， ，，且， ，， ， ，， 拐角处为半径为，圆心角为的扇形，拐角处为半径为，圆心角为的扇形， ， ，拐角处面积之和是半径为2厘米的半圆的面积， 起点、终点加起来正好是一个半径长为圆的面积，点到点，点到点，点到点，都为长方形，且， 圆滚过区域的面积． 【点评】本题考查与圆有关的面积问题，解题的关键是理解题意，掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025•闵行区期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等． 于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留 （1）已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，则扫过的面积是 　 　 ，组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留 （2）如图1，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图2，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是 　　 ． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）扫过的面积等于矩形的面积加上两个半圆的面积； （2）（3）画出滚动的轨迹，根据扇形、圆、矩形的面积公式计算即可； （4）计算出拐弯时的圆心角，根据扇形、圆、矩形的面积公式计算即可； 【解答】解：（1）扫过的面积为：； 故答案为：； （2）运动轨迹如下： 扫过的面积 ； （3）运动轨迹如下： 扫过的面积 ； （4）运动轨迹如图： ， ， 扫过的面积 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了组合图形的面积，正确的判断运动轨迹是本题解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 圆的周长与面积9类综合应用 目录 题型01：圆的周长应用（车轮滚动问题）（高频基础重难点） 1 题型02：圆的周长应用（生活场景应用）（必考基础重难点） 4 题型03：圆的面积应用（高频基础重难点） 5 题型04：圆环面积应用（高频必考重难点） 8 题型05：圆的周长与面积综合（生活相关问题）（综合应用重难点） 10 题型06：圆与多边形的综合拓展题（中档综合重难点） 18 题型07：比例尺与圆的综合计算（基础易错重难点） 21 题型08：阴影部分周长与面积计算（核心拉分重难点） 23 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴重难点） 25 题型01：圆的周长应用（车轮滚动问题）（高频基础重难点） 核心重难点：圆的周长公式正逆用、车轮滚动前进距离计算，是本章最基础的必考内容，核心易错点为直径与半径的换算、单位换算失误。 【解题方法】 1. 周长核心公式：，已知半径/直径直接套用，已知周长先反求半径/直径再计算。 2. 滚动问题速解：滚动圈前进距离=单圈周长×圈数，先算单圈周长，再反求总距离或滚动圈数。 1．（2025•普陀区校级期中）一辆自行车的车轮半径为0.5米，车轮往前滚动20周前进了 　 　米．取 2．（2025•上海校级月考）车轮的直径是1米，向前滚动100周后前进了　 　 米．取 3．（2025•徐汇区校级月考）车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为 　 　 米．取 4.（2025•浦东新区期中）已知校车轮胎的外直径为，那么轮胎向前滚动100圈后，校车前进 了　 　 ．取 5．一辆汽车在高速公路上行驶，已知它的车轮的外直径为60厘米． （1）如果汽车行驶942米，那么车轮转动了多少圈？ （2）如果车轮每分钟转动1000圈，那么这时的车速是否超过这条路段每小时120千米的限速规定？请说明理由．取 题型02：圆的周长应用（生活场景应用）（必考基础重难点） 核心重难点：圆的周长结合封闭图形植树问题、间隔摆放、餐桌就餐人数计算，核心易错点为封闭图形的间隔数计算、间距与周长的匹配失误。 【解题方法】 1. 封闭图形植树速解：圆形/环形上的摆放数量=圆的周长÷间隔距离，封闭图形中间隔数=摆放数，无需额外加减1。 2. 就餐人数计算：先算圆桌周长，再用周长÷单人所需宽度，结果用去尾法取整。 1．（2025•青浦区校级月考）一个圆形花坛，它的半径是6米，现在在花坛的边上每隔1.57米放一盆花，那么共需要放　 　 盆花． 2．（2024•虹口区校级月考）一个圆形喷泉的周长为50.24米，喷泉外围修了一条宽1.5米的步行道．现在沿着步道外围放置花盆，每隔1.57米放一盆，一共要放　 　 盆． 3．一个圆形餐桌桌面的直径是． 如果一个人需要宽的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？ 4．广场中央的圆形水池的直径是16米，在水池的周围是一条宽2米的环形石子路． 如果在石子路的外沿上每隔0.4米装一盏地灯，一共要安装多少盏地灯？ 题型03：圆的面积应用（高频基础重难点） 核心重难点：圆的面积公式正逆用、已知周长求面积、半径变化对面积的影响，核心易错点为半径平方的计算失误、周长反求半径的步骤错误。 【解题方法】 1. 面积核心公式：，已知直径/周长，必须先换算出半径，再计算面积。 2. 逆算技巧：已知圆的面积，先通过面积反求半径平方，再开方得半径，适配周长、半径的延伸计算。 1．（2025•嘉定区校级期中）一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么新花坛的半径长是　 　 米．取 2．（2025•闵行区期中）一块圆形草坪的周长是50.24米，则这块草坪的占地面积是　 　 平方米． 3．（2024•崇明区期末）一个圆形花坛，它的直径约为2米，那么它的面积约为 　　平方米． 4．如图，把一个半径为4的圆分成、两部分，其中较小部分为，且较小部分的面积与较大部分的面积比为． （1）求、两部分的面积； （2）若将较大部分分出一部分给较小的部分，且使此时两部分面积的比为，则应从较大部分分出去多大面积？ 题型04：圆环面积应用（高频必考重难点） 核心重难点：标准圆环的面积公式应用、花坛/水池外围小路的环形面积计算，核心易错点为环宽与内外圆半径的换算失误。 【解题方法】 1. 圆环面积核心公式：，优先计算半径平方差，再乘π，简化计算步骤。 2. 环宽换算技巧：外圆半径内圆半径环宽；已知内圆周长，先通过周长公式反求内圆半径，再算外圆半径。 1．（2025•嘉定区期中）一个圆形花坛的直径为10米，在花坛周边铺一条宽2米的碎石小路，那么这条碎石小路的面积是 　 　 平方米．（结果保留 2．（2025•黄浦区期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 　 　 平方米．（结果保留 3．（2025•普陀区期中）学校要在周长为18.84米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？取 4．（2024•金山区期末）已知一个圆形花坛的周长是25.12米，沿着它的外侧铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积． 5．（2025秋•浦东新区期末）一个圆形花坛的周长是37.68米，在花坛的周围修一条1米宽的小路，求小路的面积是多少平方米取？ 题型05：圆的周长与面积综合（生活相关问题）（综合应用重难点） 核心重难点：圆的周长与面积在生活场景中的多步骤综合应用，结合实际场景建模，核心易错点为场景理解不到位、核心量锁定错误。 【解题方法】 先拆解题干的核心需求，将周长、面积模块独立拆分，分步锁定半径、圆心角、环宽等核心量，逐步拆解求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025•徐汇区校级月考）儿童乐园要修建一个圆形的旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆，所需栏杆是 　 　 ．取 2．（2025•闵行区期中）如图所示为一个盒子的底面，这个盒子里正好放5瓶牛奶，已知每瓶牛奶的瓶底半径是3厘米，这个盒子的底面面积是　 　 平方厘米． 3．（2025•青浦区校级月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． （1）选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ （2）如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 4．如图，准备在一个广场中心建一个直径为的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． （1）请你求出花坛中小圆部分的周长； （2）如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知品种与品种的费用之比为，品种和品种的费用之比为，如果购买品种花卉比购买品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 5．一根长314厘米的铁丝，问： （1）如果将其围成一个正方形，它的面积是多少？ （2）如果将其围成一个长方形，长：宽，它的面积是多少？ （3）如果将其围成一个圆形，它的面积是多少？ 6．小华沿着一个圆形储水池的四周走了一圈，一共走了157步，已知小华每步长是0.5米，这个花坛的占地面积是多少平方米？ 7．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米．这座体育馆的占地面积是多少？ 8．一食堂有10张大小相同的圆桌，桌面直径为，现需要把桌面刷上油漆（只刷上面），桌面每平方米需用油漆．取 （1）求一个桌面的面积？ （2）求出刷这些圆桌需要油漆多少？ （3）一家油漆商店销售一桶的油漆15元，该商店油漆只能整桶出售，食堂负责人经过讨价还价后油漆商店的店主答应八折优惠，那么食堂需要花多少钱？ 题型06：圆与多边形的综合拓展题（中档综合重难点） 核心重难点：圆与长方形、正方形、梯形的综合计算，面积与周长的联动变形题，侧重公式的灵活运用与图形拆解能力。 【解题方法】 先根据题干条件锁定圆的核心半径/直径，再结合多边形的边长、角度，拆分出规则的圆、扇形、多边形模块，分别计算后按题干要求求和/作差。 1．（2025•虹口区期末）白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”描述了雨点打在水面上荡开层层的波纹．已知水池是一个长、宽的长方形，那么当波纹到池边时所形成的最大整圆的周长是 　 　 ．取 2．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．取 （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 3．一个圆形花坛的直径是12米，中间一个圆形的喷水池直径6米，其余地方全部种花．（本题结果保留 （1）求种花部分的面积是多少平方米？ （2）在花坛周围建造一圈1.2米高的篱笆，则篱笆的面积是多少平方米？ 4．广场中央的圆形水池的直径是16米，在水池的周围是一条宽2米的环形石子路． 这条石子路的面积是多少平方米？ 题型07：比例尺与圆的综合计算（基础易错重难点） 核心重难点：比例尺结合圆的直径、半径、周长计算，核心易错点为图上距离与实际距离的换算、半径与直径的概念混淆。 【解题方法】 1. 核心换算逻辑：先根据比例尺公式“比例尺=图上距离：实际距离”，算出圆的实际直径/半径，注意单位统一。 2. 计算原则：锁定实际半径后，再代入圆的周长、面积公式计算，规避先算图上周长再换算的易错步骤。 1．（2025•浦东新区校级期末）在比例尺是的图纸上测得一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的实际直径是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•普陀区月考）一种机械手表上的圆形螺丝直径是，设计图纸上的比例尺为，那么画在设计图上的直径为 　 　 ． 3．（2024•奉贤区校级期中）一种机械手表的圆形螺丝设计图的比例尺为，该圆形螺丝直径是，则这画在设计图纸上的尺寸是　 　 ． 4．在比例尺为的零件图纸上，一个圆形部件在图纸上的直径为40厘米，则该部件的实际半径是 　 　厘米，实际周长是 　　厘米． 题型08：阴影部分周长与面积计算（核心拉分重难点） 核心重难点：圆、扇形、多边形组合的阴影部分周长与面积计算，是本章核心拉分题型，核心易错点为阴影周长的边界识别、面积割补的逻辑失误。 【解题方法】 1. 阴影周长计算：先锁定阴影部分实际外露的所有边界，拆分为弧长和线段两部分，分别计算后求和，切勿漏算线段或多算内部重合线。 2. 阴影面积计算：优先用整体减空白法，复杂图形用割补法、平移法、等积变形法，将不规则阴影转化为规则图形的面积和差。 3. 旋转图形巧算：利用旋转的性质，将分散的阴影拼接为完整的扇形/圆形，规避分步计算的复杂过程。 1．（2025•闵行区期中）如图，请计算阴影部分的周长和面积． 2．（2025•普陀区期中）如图，一个直径为的半圆形绕着点逆时针方向转动，此时点移动到点． （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积．取 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴重难点） 核心重难点：圆在图形内侧/外侧滚动的扫过面积计算、多边形拐角处的滚动轨迹分析，是本章的压轴难点，侧重空间想象能力与图形拆解能力。 【解题方法】 1. 滚动扫过面积速解：先画出滚动轨迹，将扫过区域拆分为规则长方形+拐角扇形，直线段滚动对应长方形面积，拐角处的扇形可拼接为整圆/半圆，分别计算后求和。 2. 拐角轨迹技巧：图形外侧滚动时，拐角处的旋转圆心角=180°多边形内角，优先锁定旋转半径和圆心角，再计算扇形面积。 1．（2025•徐汇区校级期末）如图，梯形中，，，，，，、分别为、上的点，且，一个半径为的圆在梯形的外侧，沿着梯形的边连续地从点经过点、无滑动地滚动到点，求圆滚过区域的面积（结果保留． 2．（2025•闵行区期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等． 于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留 （1）已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，则扫过的面积是 　 　 ，组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留 （2）如图1，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图2，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是 　　 ． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $