重难点专题01 圆的周长与综合应用（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

重难点专题01 圆的周长与综合应用 目录 题型1：圆的切拼转化与周长变化（高频易错点） 1 题型2：组合图形与阴影周长计算（核心拉分点） 5 题型3：生活场景综合应用（高频必考考点） 12 题型4：动态几何与综合拓展压轴题（拔高压轴点） 27 题型1：圆的切拼转化与周长变化（高频易错点） 核心重难点：圆切拼近似长方形的周长变化规律（学生极易混淆周长、面积的变与不变）、半径变化对周长的影响，是单元考、期中期末的必考易错题型。 【解题大招】 1. 圆切拼近似长方形：面积不变，周长增加（1个直径）；长方形长，宽，一步锁定核心量。 2. 半径变化周长增量：，半径每增减，周长直接增减，秒杀填空选择。 3. 半圆周长避坑：半圆周长=，绝非单纯半圆弧长，直接规避易错陷阱。 1．把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（　　） A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定 【答案】 【分析】根据圆的有关性质即可得到结论． 【解答】解：如图，把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个“转化”过程中周长变了，面积没变． 故选：． 【点评】本题考查了数学常识，熟练掌握有关圆的性质是解题的关键． 2．（2025 宝山区校级期中）如图，把一个直径是的圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成图形的周长比原来圆的周长增加了（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】把一个直径是的圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；那么长方形的2条长等于圆的周长，根据长方形的周长（长宽）可知，拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度． 【解答】解： ， 答：拼成图形的周长比原来圆的周长增加了． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的周长，关键是圆的周长相关知识的熟练掌握． 3．（2025 崇明区校级期末）圆的半径由增加到，圆的周长增加了（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用圆的周长，计算周长即可得出答案． 【解答】解：因为， 所以圆的周长增加了． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的周长，能够正确运用圆的周长计算公式是解题的关键． 4．如图，把一个圆沿半径剪开，平均分成等分，拼成一个近似的长方形，此时长方形的周长比圆的周长大10厘米，这个圆的周长是 　 　厘米．取 【答案】31.4． 【分析】由题意求出圆的半径长，即可求出圆的周长． 【解答】解：长方形的周长比圆大10厘米， 圆的半径长是（厘米）， 这个圆的周长是（厘米）． 故答案为：31.4． 【点评】本题考查圆的性质，圆的周长，关键是清楚长方形的周长比圆的周长大圆的两个半径长． 5．（2025 闵行区校级期中）如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是　 　 厘米． 【答案】3． 【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径，所以长方形的周长比原来增加了圆的两个半径的长度，即周长是增加了6厘米． 【解答】解：把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径， 因为圆片切拼成长方形后，周长比原来增加了2条半径的长度， 所以圆的半径为（厘米）． 答：这个圆的半径是3厘米． 故答案为：3． 【点评】本题的关键根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍，求出圆的半径． 6．（2025 浦东新区校级期中）一个圆的半径增加1厘米，那么它的周长增加 　 　 厘米（结果保留． 【答案】． 【分析】根据圆的周长公式进行列式计算即可． 【解答】解：由题可知， 圆的半径为， 则圆的原来周长为：（厘米）， 当圆的半径为时，圆的周长为：（厘米）， 那么它的周长增加为：（厘米）． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的周长，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2025 杨浦区期中）如图1所示，把一个半径是的圆分成24等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是 　 　 ． 【答案】57.96． 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此即可求解． 【解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径， 所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度， 所以拼成图形的周长是． 故答案为：57.96． 【点评】本题考查了圆的周长，解答此题的主要依据是圆的面积推导过程． 8．（2025 徐汇区校级月考）如图，把一个直径是4厘米的圆分成若干等份（如图①，然后把它剪开，按照图②的形状拼起来，拼成图形的周长为 　 　厘米．（结果保留 【答案】． 【分析】根据拼成图形的周长为圆的周长加上直径求解即可． 【解答】解：根据拼成图形的周长为圆的周长加上直径求解可得厘米， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握该知识点是关键． 题型2：组合图形与阴影周长计算（核心拉分点） 核心重难点：半圆弧长求和、多圆组合的周长巧算、阴影部分周长的边界识别、不规则图形周长拆解，是本章分值占比最高、学生失分最多的核心题型，覆盖选择、填空、解答全题型。 【解题大招】 1. 周长拆解核心原则：只算阴影部分实际外露的边界线，完全剔除内部重合线、不外露线段。 2. 多半圆弧长秒杀：同一直线上多个半圆弧长和=以总长度为直径的半圆弧长，无需分步计算，一步出结果。 3. 组合图形巧算：将零散弧长拼接为整圆/半圆，平移线段转化为规则图形周长，大幅减少计算量。 1．（2025 上海期末）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形分别计算各选项中阴影部分的周长，即可求解． 【解答】解：逐项计算判断如下： ．， ．， ．， ．． 阴影部分周长最长的是选项． 故选：． 【点评】本题考查了与圆有关的图形的周长，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025 崇明区期中）如图，4个正方形的边长相等，那么其中阴影部分周长相等的图形是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】 【分析】根据圆的周长及正方形的周长公式分析即可得解． 【解答】解：①和②阴影部分周长是圆的周长与正方形周长的和；③阴影部分周长是圆的周长与正方形周长一半的和；④阴影部分周长是圆的周长， 阴影部分周长相等的图形是①②． 故应选：． 【点评】本题考查圆的周长，关键是善于观察图形和组合图形． 3．（2025 徐汇区校级月考）如图，黑蚂蚁沿大半圆周从点爬到点，白蚂蚁沿三个小半圆周从点爬到点，已知两只蚂蚁同时从点出发，且速度相同（　　） A．黑蚂蚁先到达点 B．白蚂蚁先到达点 C．两只蚂蚁同时到达点 D．不确定 【答案】 【分析】假设大半圆的直径为，三个小半圆的直径分别为，，，则，分别算出两蚂蚁的路程即可得解． 【解答】解：假设大半圆的直径为，三个小半圆的直径分别为，，，则， 黑蚂蚁的路程为， 白蚂蚁的路程为， 由条件可知两只蚂蚁同时到达点． 故选：． 【点评】本题考查了圆的周长，熟记圆的周长公式是解题的关键． 4．（2025 徐汇区校级月考）如图，从甲地到乙地有、两条路可走，这两条路的长度相比（　　） A．路线长 B．路线长 C．同样长 D．无法比较 【答案】 【分析】由图知道小圆的直径是大圆的半径，利用圆的周长公式或分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可． 【解答】解：设小圆的直径为，则大圆的半径为， 路线的长度为：， 路线的长度为：， 所以、两条路的长度一样长， 故选：． 【点评】本题考查了圆的周长，解题的关键是灵活利用圆的周长公式解决问题． 5．（长宁区期末）如图，甲、乙、丙三只蚂蚁同时沿着以下路线从点出发到点，如果三只蚂蚁爬行的速度相同，那么（　　） A．同时到达 B．甲先到达 C．乙先到达 D．丙先到达 【答案】 【分析】设，根据圆的周长公式分别计算出路程，即可得出答案． 【解答】解：设， 则甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路程分别为，，， 三只蚂蚁爬行的速度相同， 同时到达． 故选：． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 6．（2025 闵行区期末）如图，厘米，则点到点的四个半圆的弧长之和是　 　 厘米．取 【答案】31.4． 【分析】圆的周长公式是：，点到点的四个半圆的弧长之和等于四个圆的周长的一半，四个圆的直径和是20厘米，所以点到点的四个半圆的弧长之和是（厘米）． 【解答】解： （厘米）． 答：点到点的四个半圆的弧长之和是31.4厘米．取 故答案为：31.4． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周长公式是解决本题的关键． 7.（2025 普陀区校级月考）如图，厘米，则点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和 是 　 　厘米（结果保留． 【答案】． 【分析】设四个半圆的直径分别为，，，，则满足，厘米，四个半圆的弧长之和为，进而可计算出四个半圆的弧长之和的实线部分的和． 【解答】解：设四个半圆的直径分别为，，，，则（厘米）， （厘米）， 所以，点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和是厘米． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握半圆弧长的计算是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 8．（长宁区期末）如图，三个圆的圆心都在线段上，，那么这三个圆的周长之和为 　 　 ．取 【分析】由图可知，三个圆的直径的和是20，根据圆的周长计算公式解答． 【解答】解：设这三个圆的直径分别为，，， 则， 所以这三个圆的周长之和为． 故答案为：62.8． 【点评】此题主要考查圆的周长计算，直接根据圆的周长公式解答． 9．（2025 徐汇区校级月考）圆是一个神奇的平面图形，它可以组成各种美丽的图案，请计算出下面由圆组成的小逗号的周长．（每个小方格的边长为1厘米，结果保留 【答案】小逗号的周长是厘米． 【分析】由图可得小逗号的周长可以看作半径为1的圆的周长和半径为2的圆的周长的组成，再根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解： （厘米）． 答：小逗号的周长是厘米． 【点评】此题主要考查圆的周长，正确进行计算是解题关键． 10．（2025 普陀区期末）如图，两个相邻的正方形边长分别是和，求图中阴影部分的周长．（结果保留 【答案】． 【分析】图中阴影部分的周长大圆的周长中圆的周长小圆的周长，圆周长公式是：，代入数据计算即可． 【解答】解：， ， ， ． 答：图中阴影部分的周长是． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周长公式计算即可． 11．（2025 上海校级月考）求图形的周长．取3.14，单位：分米） 【答案】58.24分米． 【分析】根据圆的周长公式即可求解． 【解答】解：由图片可得 图形的周长 （分米）． 【点评】本题考查了组合图形的周长，正确识别组合图形是解题的关键． 题型3：生活场景综合应用（高频必考考点） 核心重难点：圆周长在实际场景中的建模应用，包含捆扎问题、硬币自转模型、跑道起跑线问题、齿轮传动问题、滚动问题等，是应用题的核心出题方向，兼顾基础应用与综合拓展。 【解题大招】 1. 捆扎问题通法：个等圆捆扎一圈，绳长个整圆周长条直径（拐角处弧长可拼接为个整圆，直线段为条直径）。 2. 硬币自转模型：等圆外滚圈，自转圈；外滚自转周数（固定圆半径滚动圆半径）滚动圆半径，直接秒杀结论题。 3. 跑道起跑线问题：相邻跑道起跑线差跑道宽度（直道长度相等，仅弯道存在周长差）。 4. 滚动行程问题：先算车轮单圈周长，总时间=总路程÷（单圈周长×单位时间滚动圈数），分步建模无压力。 1．（2025 闵行区校级月考）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周．甲、乙两块挡板之间的距离是　　 A．62.52 B．59.52 C．56.52 【答案】 【分析】根据圆的周长公式，把数据代入公式求出这个圆的周长，甲、乙两块挡板之间的距离等于这个圆的周长的3倍加上半径的2倍，据此解答． 【解答】解：根据圆的周长公式可得： （厘米）， 甲、乙两块挡板之间的距离等于这个圆的周长的3倍加上半径的2倍可得： （厘米）， 即：甲、乙两块挡板之间的距离是62.52厘米． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的周长公式的灵活运用，熟练掌握计算公式是关键． 2．（2025 浦东新区校级期中）一个圆形花坛，周长是9.42米，在离开花坛边0.5米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．10.99米 B．12.56米 C．9.42米 D．10.42米 【答案】 【分析】先求花坛的半径，再计算栏杆的长． 【解答】解：先求花坛的半径，再计算栏杆的长可得： 米． 故选：． 【点评】本题考查了圆的周长公式，掌握圆的周长公式是解题的关键． 3．（2025 松江区期末）为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要　 　 厘米的绳子．（接头处忽略不计） 【答案】71.4． 【分析】圆周长公式是：或，捆一圈至少需要的绳子长度一个圆的周长个半径长，代入数据计算即可． 【解答】解： （厘米）． 答：捆一圈至少需要71.4厘米的绳子． 故答案为：71.4． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周公式是解决本题的关键． 4．（2025 金山区期末）自行车轮胎的外直径是0.8米，每分钟转100圈，通过一条长2512米的隧道需要　 　 分钟． 【答案】10． 【分析】利用圆的周长公式可得轮子滚动一圈的长度为米，若求经过桥需要多少分钟可列式，求解即可． 【解答】解：根据圆的周长公式可得轮子滚动一圈的长度为米，再列式可得： （分钟）， 故答案为：10． 【点评】本题考查圆周长的应用，掌握圆的周长公式是解题的关键． 5.（2025 普陀区期中）爱好手工制作的小海从一块长、宽的长方形木板上锯下一块最大的圆形木板作为车模的轮子，完成后的模型车在平整的地面上沿着直线前进了，那么这个轮子滚动 了　　 圈．取 【答案】100． 【分析】因为小海从一块长、宽的长方形木板上锯下一块最大的圆形木板作为车模的轮子，可得锯下一块最大的圆形木板的直径是，所以模型车在平整的地面上滚动一圈行驶的路程是，，完成后的模型车在平整的地面上沿着直线前进了，那么这个轮子滚动（圈． 【解答】解：锯下一块最大的圆形木板的直径是， ， ， （圈． 答：那么这个轮子滚动了100圈． 故答案为：100． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周长公式是解决本题的关键． 6．（2025 徐汇区校级月考）两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了 　 　周． 【答案】2． 【分析】根据圆的周长公式列式计算即可得解． 【解答】解：假设两个圆的半径为，下面的圆固定，上面的圆滚动一圈， 固定硬币的半径为，滚动硬币的圆心轨迹是一个半径为的圆， 圆心移动的路径周长：， 滚动硬币自身周长：， 自转周数：周， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解此题的关键． 7．（闵行区期末）已知：如图，正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是6米，且圆形轨道置于正方形轨道内部．两个智能机器人同时从两条轨道的接触点出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒3米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒3.14米的速度行进，它们至少经过 　 　秒能再一次在点相遇． 【答案】24． 【分析】分别计算出两个机器人沿各自的轨道行进一周的时间，再计算这两个时间的最小公倍数即可． 【解答】解：沿正方形轨道的机器人行进一周的时间为：（秒， 沿圆形轨道的机器人行进一周的时间为：（秒， 8和6的最小公倍数为24，因此它们至少经过24秒能再一次在点相遇． 故答案为：24． 【点评】本题考查的是圆的周长的有关内容，解题关键在于根据周长、速度计算出两个机器人沿各自的轨道行进一周的时间． 8．（2025 闵行区校级月考）如图，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了 　 　． 【答案】2圈． 【分析】根据自身的周长和滚动的周长求解． 【解答】解：， 另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了2圈． 故答案为：2圈． 【点评】此题考查了圆的周长，要特别注意正确分析另一枚则沿着其边缘滚动一周所走的路程． 9．（徐汇区校级期末）如图，半径分别是8和28的两个圆盘，其中大圆是固定的，小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动．开始时小圆圆周上的点与大圆圆周上的点重合．当、两点再次重合时，至少绕小圆圆心转动了 　 　 圈． 【答案】7． 【分析】根据圆的周长公式以及最小公倍数进行解题即可． 【解答】解：小圆的周长为：， 大圆的周长为：， 16与56的最小公倍数为112， 则小圆需要自转（圈， 小圆绕大圆一周自转（圈， 共（圈． 【点评】本题考查有关圆的应用题，掌握圆的周长公式是解题的关键． 10．（2025 宝山区校级期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 【答案】． 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：经过20分钟，分针的顶端所走的路程是， 答：分针的顶端所走的路程是． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 11．（2025 奉贤区期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道（或长是多少米？取 （2）如图2，如果每条跑道的宽度为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点应该比第一跑道的起点超前多少米？取 （3）如图3，如果每条跑道的宽度为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了 　 　 米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速 　　．（结果精确到 【答案】（1）最内侧跑道的直道长是105.8米； （2）超前7.85米； （3）160，． 【分析】（1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【解答】解：（1）最内侧跑道的直道长是（米， （2）应该超前（米； （3）小海跑的路程为（米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：160，． 【点评】本题考查圆的周长的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025 闵行区校级期末）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？ 【答案】捆4圈至少用绳子199.92厘米 【分析】根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长求解即可． 【解答】解：根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长可得： 厘米， 答：捆4圈至少用绳子199.92厘米． 【点评】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 13．（2025 宝山区校级期中）将4根管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计）取 【答案】114.24厘米． 【分析】观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米和圆的周长公式，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度． 【解答】解：捆扎2圈至少需要（厘米）， 答：至少要114.24厘米的铁丝． 【点评】本题考查了圆的周长，正确进行计算是解题关键． 14．（2025 浦东新区校级期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为48、36，后齿轮齿数为16、20、24、28、32，后轮直径60厘米． （1）①计算传送比：前齿轮36齿：后齿轮32齿 ； ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． （2）①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 　　 ，后齿轮齿数为 　　 ；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动 　　 圈； ②小明以每分钟60圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留 （3）若想保持时速14.13千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【答案】（1）①；②前齿轮48齿，后齿轮32齿；前齿轮36齿，后齿轮24齿； （2）①36，32，1.125；②自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是千米和千米； （3）小明需每分钟蹬圈62.5圈． 【分析】（1）①根据题意化简比，即可求解； ②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为16，进而根据前齿轮齿数前齿轮转数后齿轮齿数后齿轮转数，即可求解； ②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算； （3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解． 【解答】解：（1）①前齿轮36齿：后齿轮32齿， 故答案为：． ②前齿轮48齿，后齿轮32齿；前齿轮36齿，后齿轮24齿， ， ． （2）①明想在上坡时更省力，根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快， 应选择前齿轮齿数为36，后齿轮齿数为32， ， 此时踏脚蹬一圈，后轮转动3圈， 故答案为：36，32，1.125． ②小明的自行车前齿轮齿数为48、36，后齿轮齿数为16、20、24、28、32， 最小传动比为：， 最大传动比为：， 小明以每分钟60圈的速度蹬踏脚， 每分钟，后车轮前进的最少距离为：米，最大距离为：米， 自行车每小时行驶的最小距离为：千米，自行车每小时行驶的最大距离为：千米． （3）14.13千米小时， 后轮直径60厘米， 后轮要转圈， 传动比，， 小明需每分钟蹬圈62.5圈． 【点评】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． 15．（2025 上海校级月考）物体平移的速度常用单位时间内移动的矩离来表示，如汽车每小时行60千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转，分针每小时转1圈或每分钟转，还有电风扇每秒转2圈或（每秒转2圈，1圈是．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从传送到，主动轮每秒转1圈． （1）观察该系统，如果主动轮顺时针转，那么从动轮就会逆时针转 　　． （2）这个系统把货物从传送到，大约要多少秒？（计算时，圆周率取 【答案】（1）； （2）20秒． 【分析】（1）由图可知，主动轮有12个齿，从动轮有24个齿，根据主动轮与从动轮的齿数比，从而求出转动圈数比，根据比值求出从动轮转动的度数； （2）根据货物从点运动到点，经过的长度为18米，从动轮的周长为1.8米，计算出从动轮需要转动10，则主动轮需要转动20圈，又因为主动轮每秒转动1圈，可以求出需要的时间． 【解答】解：（1）从图中可以看出主动轮有12个齿轮，从动轮有24个齿轮， ， 当主动轮转动时，从动轮转动的度数应是， 故答案为：； （2）从动轮的周长为：（米， 要把货物从传送到，从动轮需要转（圈， （圈， 主动轮每秒转1圈， 需要（秒． 这个系统把货物从传送到，大约要多20秒． 【点评】本题主要考查了圆的周长公式，对于两个互相咬合的从动轮、主动轮，从动轮的齿数从动轮转的圈数主动轮的齿数主动轮转的圈数． 16．（2025 闵行区校级期末）阅读材料： 2022年11月12日，长征七号遥六运载火箭，搭载着天舟五号货运飞船在我国文昌航天发射场发射成功．天舟五号货运飞船将与在轨运行的中国空间站（天宫空间站，是中华人民共和国建设中的一个空间站系统）组合体进行自主快速交会对接．中国空间站先后迎接问天、梦天两个实验舱，天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱三舱形成“”字基本构型，将在空间生命科学与人体研究、微重力物理科学、空间天文与地球科学、空间新技术与应用等4个重要领域开展1000多项研究项目，更可支持空间生命、空间材料、基础物理、燃烧等科学实验研究． 已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形．中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时28164千米． （1）地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（结果保留整数） （2）有人说空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 【答案】（1）空间站距离地球表面365千米； （2）不正确；理由见解析． 【分析】（1）根据题意求得空间站同步轨道的周长，进而求得半径，减去地球的半径即可求解； （2）根据路程等于速度乘以时间，求得空间站运行一天的路程与地月距离的2倍比较即可求解． 【解答】解：（1）空间站同步轨道的周长为千米， 所以同步轨道的半径为千米， 所以空间站距离地球表面千米， 答：空间站距离地球表面365千米； （2）不正确，理由如下， 空间站飞行速度每小时28164千米， 1天小时， 所以空间站一天的路程为：千米， 38.4万千米千米， 千米， ， 空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，这种说法不正确． 【点评】本题考查了圆的周长计算，路程等于速度乘以时间，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 题型4：动态几何与综合拓展压轴题（拔高压轴点） 核心重难点：图形翻动的动态路程/面积计算、周长与面积的综合应用、材料利用率问题，是本章的压轴题出题方向，侧重综合分析能力与几何动态思维，用于区分高分段学生。 【解题大招】 1. 图形翻动路径计算：先锁定旋转中心、旋转半径、旋转角度，单段弧长=，总路程为各段弧长之和，无需求解复杂图形。 2. 扫过面积求解：拆分旋转过程中的扇形区域+规则图形区域，剔除重叠部分，用割补法转化为规则扇形/多边形面积和。 3. 综合应用题：先拆解题干核心等量关系，拆分圆的周长、面积独立模块，分步求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025 浦东新区校级期末）劳技课上，老师给每位同学发了一张边长为的正方形纸片，丽丽从正方形纸片中剪下了一个最大的圆形．（利用率． （1）丽丽剪下的圆的面积是多少？取 （2）丽丽的裁剪方式对正方形纸片的利用率有多大？取3，结果化为百分数） 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由圆的面积公式，即可计算； （2）由利用率公式，即可计算． 【解答】解：（1）， 答：丽丽剪下的圆的面积是． （2）正方形的面积， ． 答：丽丽的裁剪方式对正方形纸片的利用率是． 【点评】本题考查圆的认识，百分数的应用，百分数的互化，关键是掌握圆的面积公式，分数化成百分数的方法． 2．（2023秋•金山区期末）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． （1）如图2，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处． ①求点经过的路程；（结果保留 ②如图3所示，求边扫过的阴影面积；（结果保留 （2）如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是厘米，那么点是 厘米．（结果用含有的式子表示） 【分析】（1）①根据弧长公式进行计算即可；②根据扇形面积的计算公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； （2）利用弧长公式进行计算即可． 【解答】解：（1）①如图3，点所经过的路线是以点为圆心，以为半径，圆心角为的弧长，即（厘米）， ② （平方厘米）； （2）设旋转角的度数为，则点经过的路程为厘米， 点经过的路程为（厘米）， 故答案为：． 【点评】本题考查弧长、扇形面积的计算，掌握弧长公式、扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 圆的周长与综合应用 目录 题型1：圆的切拼转化与周长变化（高频易错点） 1 题型2：组合图形与阴影周长计算（核心拉分点） 5 题型3：生活场景综合应用（高频必考考点） 12 题型4：动态几何与综合拓展压轴题（拔高压轴点） 27 题型1：圆的切拼转化与周长变化（高频易错点） 核心重难点：圆切拼近似长方形的周长变化规律（学生极易混淆周长、面积的变与不变）、半径变化对周长的影响，是单元考、期中期末的必考易错题型。 【解题大招】 1. 圆切拼近似长方形：面积不变，周长增加（1个直径）；长方形长，宽，一步锁定核心量。 2. 半径变化周长增量：，半径每增减，周长直接增减，秒杀填空选择。 3. 半圆周长避坑：半圆周长=，绝非单纯半圆弧长，直接规避易错陷阱。 1．把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（　　） A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定 2．（2025 宝山区校级期中）如图，把一个直径是的圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成图形的周长比原来圆的周长增加了（　　） A． B． C． D． 3．（2025 崇明区校级期末）圆的半径由增加到，圆的周长增加了（　　） A． B． C． D． 4．如图，把一个圆沿半径剪开，平均分成等分，拼成一个近似的长方形，此时长方形的周长比圆的周长大10厘米，这个圆的周长是 　 　厘米．取 5．（2025 闵行区校级期中）如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是　 　 厘米． 6．（2025 浦东新区校级期中）一个圆的半径增加1厘米，那么它的周长增加 　 　 厘米（结果保留． 7．（2025 杨浦区期中）如图1所示，把一个半径是的圆分成24等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是 　 　 ． 8．（2025 徐汇区校级月考）如图，把一个直径是4厘米的圆分成若干等份（如图①，然后把它剪开，按照图②的形状拼起来，拼成图形的周长为 　 　厘米．（结果保留 题型2：组合图形与阴影周长计算（核心拉分点） 核心重难点：半圆弧长求和、多圆组合的周长巧算、阴影部分周长的边界识别、不规则图形周长拆解，是本章分值占比最高、学生失分最多的核心题型，覆盖选择、填空、解答全题型。 【解题大招】 1. 周长拆解核心原则：只算阴影部分实际外露的边界线，完全剔除内部重合线、不外露线段。 2. 多半圆弧长秒杀：同一直线上多个半圆弧长和=以总长度为直径的半圆弧长，无需分步计算，一步出结果。 3. 组合图形巧算：将零散弧长拼接为整圆/半圆，平移线段转化为规则图形周长，大幅减少计算量。 1．（2025 上海期末）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025 崇明区期中）如图，4个正方形的边长相等，那么其中阴影部分周长相等的图形是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（2025 徐汇区校级月考）如图，黑蚂蚁沿大半圆周从点爬到点，白蚂蚁沿三个小半圆周从点爬到点，已知两只蚂蚁同时从点出发，且速度相同（　　） A．黑蚂蚁先到达点 B．白蚂蚁先到达点 C．两只蚂蚁同时到达点 D．不确定 4．（2025 徐汇区校级月考）如图，从甲地到乙地有、两条路可走，这两条路的长度相比（　　） A．路线长 B．路线长 C．同样长 D．无法比较 5．（长宁区期末）如图，甲、乙、丙三只蚂蚁同时沿着以下路线从点出发到点，如果三只蚂蚁爬行的速度相同，那么（　　） A．同时到达 B．甲先到达 C．乙先到达 D．丙先到达 6．（2025 闵行区期末）如图，厘米，则点到点的四个半圆的弧长之和是　 　 厘米．取 7.（2025 普陀区校级月考）如图，厘米，则点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和 是 　 　厘米（结果保留． 8．（长宁区期末）如图，三个圆的圆心都在线段上，，那么这三个圆的周长之和为 　 　 ．取 9．（2025 徐汇区校级月考）圆是一个神奇的平面图形，它可以组成各种美丽的图案，请计算出下面由圆组成的小逗号的周长．（每个小方格的边长为1厘米，结果保留 10．（2025 普陀区期末）如图，两个相邻的正方形边长分别是和，求图中阴影部分的周长．（结果保留 11．（2025 上海校级月考）求图形的周长．取3.14，单位：分米） 题型3：生活场景综合应用（高频必考考点） 核心重难点：圆周长在实际场景中的建模应用，包含捆扎问题、硬币自转模型、跑道起跑线问题、齿轮传动问题、滚动问题等，是应用题的核心出题方向，兼顾基础应用与综合拓展。 【解题大招】 1. 捆扎问题通法：个等圆捆扎一圈，绳长个整圆周长条直径（拐角处弧长可拼接为个整圆，直线段为条直径）。 2. 硬币自转模型：等圆外滚圈，自转圈；外滚自转周数（固定圆半径滚动圆半径）滚动圆半径，直接秒杀结论题。 3. 跑道起跑线问题：相邻跑道起跑线差跑道宽度（直道长度相等，仅弯道存在周长差）。 4. 滚动行程问题：先算车轮单圈周长，总时间=总路程÷（单圈周长×单位时间滚动圈数），分步建模无压力。 1．（2025 闵行区校级月考）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周．甲、乙两块挡板之间的距离是　　 A．62.52 B．59.52 C．56.52 2．（2025 浦东新区校级期中）一个圆形花坛，周长是9.42米，在离开花坛边0.5米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．10.99米 B．12.56米 C．9.42米 D．10.42米 3．（2025 松江区期末）为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要　 　 厘米的绳子．（接头处忽略不计） 4．（2025 金山区期末）自行车轮胎的外直径是0.8米，每分钟转100圈，通过一条长2512米的隧道需要　 　 分钟． 5.（2025 普陀区期中）爱好手工制作的小海从一块长、宽的长方形木板上锯下一块最大的圆形木板作为车模的轮子，完成后的模型车在平整的地面上沿着直线前进了，那么这个轮子滚动 了　　 圈．取 6．（2025 徐汇区校级月考）两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了 　 　周． 7．（闵行区期末）已知：如图，正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是6米，且圆形轨道置于正方形轨道内部．两个智能机器人同时从两条轨道的接触点出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒3米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒3.14米的速度行进，它们至少经过 　 　秒能再一次在点相遇． 8．（2025 闵行区校级月考）如图，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了 　 　． 9．（徐汇区校级期末）如图，半径分别是8和28的两个圆盘，其中大圆是固定的，小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动．开始时小圆圆周上的点与大圆圆周上的点重合．当、两点再次重合时，至少绕小圆圆心转动了 　 　 圈． 10．（2025 宝山区校级期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 11．（2025 奉贤区期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． （1）如图1，求最内侧跑道的直道（或长是多少米？取 （2）如图2，如果每条跑道的宽度为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点应该比第一跑道的起点超前多少米？取 （3）如图3，如果每条跑道的宽度为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了 　 　 米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速 　　．（结果精确到 12．（2025 闵行区校级期末）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？ 13．（2025 宝山区校级期中）将4根管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计）取 14．（2025 浦东新区校级期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为48、36，后齿轮齿数为16、20、24、28、32，后轮直径60厘米． （1）①计算传送比：前齿轮36齿：后齿轮32齿 ； ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． （2）①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 　　 ，后齿轮齿数为 　　 ；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动 　　 圈； ②小明以每分钟60圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留 （3）若想保持时速14.13千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 15．（2025 上海校级月考）物体平移的速度常用单位时间内移动的矩离来表示，如汽车每小时行60千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转，分针每小时转1圈或每分钟转，还有电风扇每秒转2圈或（每秒转2圈，1圈是．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从传送到，主动轮每秒转1圈． （1）观察该系统，如果主动轮顺时针转，那么从动轮就会逆时针转 　 　． （2）这个系统把货物从传送到，大约要多少秒？（计算时，圆周率取 16．（2025 闵行区校级期末）阅读材料： 2022年11月12日，长征七号遥六运载火箭，搭载着天舟五号货运飞船在我国文昌航天发射场发射成功．天舟五号货运飞船将与在轨运行的中国空间站（天宫空间站，是中华人民共和国建设中的一个空间站系统）组合体进行自主快速交会对接．中国空间站先后迎接问天、梦天两个实验舱，天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱三舱形成“”字基本构型，将在空间生命科学与人体研究、微重力物理科学、空间天文与地球科学、空间新技术与应用等4个重要领域开展1000多项研究项目，更可支持空间生命、空间材料、基础物理、燃烧等科学实验研究． 已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形．中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时28164千米． （1）地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（结果保留整数） （2）有人说空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 题型4：动态几何与综合拓展压轴题（拔高压轴点） 核心重难点：图形翻动的动态路程/面积计算、周长与面积的综合应用、材料利用率问题，是本章的压轴题出题方向，侧重综合分析能力与几何动态思维，用于区分高分段学生。 【解题大招】 1. 图形翻动路径计算：先锁定旋转中心、旋转半径、旋转角度，单段弧长=，总路程为各段弧长之和，无需求解复杂图形。 2. 扫过面积求解：拆分旋转过程中的扇形区域+规则图形区域，剔除重叠部分，用割补法转化为规则扇形/多边形面积和。 3. 综合应用题：先拆解题干核心等量关系，拆分圆的周长、面积独立模块，分步求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025 浦东新区校级期末）劳技课上，老师给每位同学发了一张边长为的正方形纸片，丽丽从正方形纸片中剪下了一个最大的圆形．（利用率． （1）丽丽剪下的圆的面积是多少？取 （2）丽丽的裁剪方式对正方形纸片的利用率有多大？取3，结果化为百分数） 2．（2023秋•金山区期末）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． （1）如图2，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处． ①求点经过的路程；（结果保留 ②如图3所示，求边扫过的阴影面积；（结果保留 （2）如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是厘米，那么点 是 ．（结果用含有的式子表示） 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $