重难点专题03 圆与扇形面积综合（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

重难点专题03：圆与扇形面积综合 目录 题型01：圆的面积基础公式与半径变化规律（高频基础易错点） 1 题型02：圆与规则图形的面积对比计算（必考基础考点） 5 题型03：圆切拼长方形的面积与周长变化（高频易错考点） 9 题型04：圆环面积基础计算（高频必考考点） 12 题型05：特殊圆环与间接求圆环面积（中档易错考点） 16 题型06：扇形面积与弧长综合基础计算（高频基础考点） 19 题型07：阴影面积基础计算（和差法）（核心基础考点） 22 题型08：阴影面积进阶计算（割补平移巧算）（核心拉分易错点） 25 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴考点） 31 题型10：圆的面积生活场景综合应用题（综合应用考点） 36 题型01：圆的面积基础公式与半径变化规律（高频基础易错点） 核心重难点：圆的面积公式正逆用、半径/直径/周长变化对面积的影响规律、面积与周长的基础辨析，是本章入门必考的基础题型，核心易错点为半径平方的变化规律混淆。 【解题大招】 1. 面积核心公式：，已知直径/周长需先换算出半径，再计算面积，规避直接用直径计算的易错问题。 2. 变化规律速解：圆的半径扩大倍，周长同步扩大倍，面积扩大倍；两圆的半径比=直径比=周长比，面积比=半径的平方比，一步速解比例类题目。 1．（2025•普陀区校级期中）要画一个面积是4π平方厘米的圆，应用圆规的两脚在刻度尺上量取（　　） A．4厘米 B．3厘米 C．2厘米 D．1厘米 2．（2025•徐汇区校级期中）若一个圆的半径扩大为原来的3倍，则它的周长与面积分别扩大为原来的（　　） A．3倍，3倍 B．3倍，6倍 C．6倍，3倍 D．3倍，9倍 3．（2025•杨浦区校级期末）一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C． D． 4．（2025•徐汇区校级月考）把一个圆的直径扩大到原来的3倍，则这个圆的面积扩大到原来的　　倍． A．3 B．6 C．9 D．36 5．（2025•青浦区校级月考）圆的半径由5厘米增加到10厘米，圆的面积（　　） A．增加平方厘米 B．增加平方厘米 C．增加平方厘米 D．增加平方厘米 6．（2025•闵行区校级月考）用圆规画圆，如果圆规两脚间的距离是3厘米，则所画圆的面积是　　平方厘米． A． B． C． D． 7．（2025•宝山区校级期末）一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的（　　） A．36倍 B．3倍 C．9倍 D．6倍 题型02：圆与规则图形的面积对比计算（必考基础考点） 核心重难点：正方形/长方形内最大圆的面积计算、圆与规则图形的面积占比、等面积图形的面积对比，是单元考选择填空的高频基础题型。 【解题大招】 1. 最大圆半径速解：长方形内最大圆的直径=长方形的宽；正方形内最大圆的直径正方形的边长，直接锁定核心半径。 2. 面积占比计算：先分别求出圆与规则图形的面积，再作比/作差，核心是先锁定圆的半径，再分步计算。 1．（2025•上海校级期中）在一个长为，宽为的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个长方形面积的（　　） A． B． C． D． 2．（2025•嘉定区校级期中）一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不能比较 3．（2025•宝山区校级期中）一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（　　） A． B． C． D． 4．（2025•嘉定区校级月考）在如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•虹口区期末）已知小圆直径与大圆直径之比是，那么小圆面积与大圆面积之比是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•浦东新区期末）如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为、，则（　　） A． B． C． D．不能确定 7．（2025•虹口区校级月考）以下是三个相等正方形，将下面三幅图中阴影部分的面积相比较则有（　　） A．图（1）大 B．图（2）大 C．图（3）大 D．同样大 题型03：圆切拼长方形的面积与周长变化（高频易错考点） 核心重难点：圆切拼近似长方形的变与不变辨析、切拼后圆的半径与面积求解、圆与长方形等面积模型，是本章必考的易错题型，学生极易混淆周长与面积的变化规律。 【解题大招】 1. 切拼核心结论：圆切拼近似长方形，面积不变，周长增加（个直径），直接规避变与不变的判断误区。 2. 等面积模型速解：若圆与长方形面积相等，长方形的宽圆的半径，长方形的长，直接套用结论锁定未知量。 1．（2025•金山区期末）图中圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是5厘米，那么长方形的长是　　厘米． A．15.7 B．20.7 C．41.4 D．78.5 2．（2025•普陀区期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（　　） A．变化前后，图形的面积和周长都不变 B．变化前后，图形的面积和周长都增加了 C．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 3．（2025•虹口区期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了，则圆的面积是 　 　．取 4．（2025•浦东新区校级期中）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米，则圆的面积是　 　 平方厘米．（结果保留 5．（2025•徐汇区校级月考）把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加，那么，这个圆的面积是 　 　 ．取 题型04：圆环面积基础计算（高频必考考点） 核心重难点：标准圆环的面积公式应用、已知内外圆半径/直径求圆环面积、生活场景的环形面积计算，是应用题的高频基础出题方向。 【解题大招】 1. 圆环面积核心公式：，优先计算半径平方差，再乘，大幅简化计算步骤。 2. 环宽换算技巧：环宽外圆半径内圆半径，已知直径/周长先换算为半径，再代入公式计算。 1．（2025•虹口区期中）如图，是直径为18米的圆形花坛，它的周围有一条宽为3米的小路环绕，小路的面积是 　 　平方米（结果保留． 2.（2025•宝山区校级期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积 为　 　 ． 3．（2025•浦东新区校级期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是　 　 平方厘米．（结果保留 4．（2025•松江区校级月考）已知圆环的内圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米，那么这个圆环的面积是 　 　 平方厘米． 5．（2025•上海校级期中）一个圆环，外直径是5分米，内直径是3分米，圆环的面积是 　 　平方分米． 6．（2025•宝山区校级期中）广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路． （1）这条水泥路的面积是多少平方米？取 （2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 7．（2025•上海校级期中）如图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积（结果保留到整数位）． 题型05：特殊圆环与间接求圆环面积（中档易错考点） 核心重难点：“平等圆环”专项计算、通过已知条件间接求、圆环与周长结合的综合计算，是基础圆环题的进阶变形，侧重公式的灵活运用。 【解题大招】 1. “平等圆环”速解：外圆半径=内圆直径，环宽=内圆半径r，通过环宽直接锁定内外圆半径，一步代入公式。 2. 间接求面积技巧：若已知的整体值，直接代入圆环公式计算，无需单独求解和，规避复杂计算。 1．（2025•闵行区校级期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为　 　 平方厘米．（保留 2.（2025•徐汇区校级期中）一个圆环的外圆周长为，宽度为，则它的内圆周长 为　 　 ． 3．（2025•普陀区期末）圆环是由两个同心圆所围成的平面图形，即由外圆的内部与内圆的外部组成的区域，两个圆的半径之差称为环宽．如果一个圆环的外圆半径等于内圆直径，那么将此圆环称为“平等圆环”．环宽是的“平等圆环”的面积是 　 　 （结果保留． 4．（2025•松江区期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是　 　 ． 题型06：扇形面积与弧长综合基础计算（高频基础考点） 核心重难点：扇形面积计算、圆心角与扇形面积占比的关系、扇形周长与面积的综合辨析，易错点为扇形周长漏加半径、面积与周长比的概念混淆。 【解题大招】 1. 扇形面积速解：，扇形面积占比=圆心角占周角的比例，优先用占比计算，无需分步换算。 2. 易错点规避：扇形周长弧长条半径，切勿只计算弧长；扇形的面积与圆的面积比扇形与圆的周长比，直接规避概念误区。 1．（2025•宝山区校级期中）圆的半径由增加到，面积增加了　　． A． B． C． D． 2．（2025•徐汇区校级期末）一个圆形花坛的周长是25.12米，这个花坛的面积是　 　 平方米． 3．（2025•闵行区校级期末）图阴影部分面积比图的阴影部分面积小 　 　 ．（结果保留 4.（2025•闵行区期中）已知线段，中点为，以点为圆心、为半径作半圆，得到扇形：以为圆心、为半径作弧，连接，得到扇形，已知， 则 　 　 ． 5．（2025•普陀区校级月考）扇形的面积和其所在圆的面积比等于它们的周长比． 　 　 （判断对错） 题型07：阴影面积基础计算（和差法）（核心基础考点） 核心重难点：利用“整体面积空白面积”求解阴影面积，覆盖圆、扇形、多边形的基础组合图形，是阴影类题型的入门必考内容。 【解题大招】 核心计算原则：阴影面积整体规则图形面积-空白规则图形面积，先锁定整体与空白的形状，分别套用公式计算后再作差，思路清晰不易错。 1．（2025•松江区期中）如图，三个圆的直径分别为10，8，6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为　 　 ． 2．（2025•浦东新区校级期中）现在很多家庭都使用折叠型桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面．如图1为餐桌的未翻开的形状，直径、相交于圆心，，小华用皮尺量出圆桌的直径为8分米．如果桌面翻成圆桌（如图后，那么桌子面积会增加　 　 平方分米（结果保留． 3．（2024秋•杨浦区期末）如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 　 　 ． 4．（2024秋•青浦区校级期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 　 　 ． 5．如图，正方形的边长为4，则阴影部分面积为 　 　．（结果保留 题型08：阴影面积进阶计算（割补平移巧算）（核心拉分易错点） 核心重难点：不规则阴影面积的割补、平移、对称、等积变形，复杂组合图形的面积巧算，是本章分值占比最高、学生失分最多的核心拉分题型。 【解题大招】 1. 割补平移法：将零散的阴影部分拼接为完整的规则图形（圆、扇形、正方形等），直接套用公式计算，大幅降低计算难度。 2. 容斥原理应用：多图形重叠的阴影面积，通过“各部分面积和重叠部分面积”求解，避免重复计算或漏算。 3. 等积变形技巧：将难计算的阴影部分，替换为面积相等的易计算规则图形，简化求解步骤。 1．（2025•浦东新区校级期中）如图所示，6个圆形纸片由大到小堆叠在一起，圆弧共同交于同一点．已知最小的圆半径为2厘米且每个圆形纸片的半径依次增加2厘米．那么黑色图案约占整个图案的百分之　　？ A．40 B．42 C．44 D．46 2．（2025•普陀区校级期中）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为　 　． 3．三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分的面积是最大圆面积的 　 　（填“几分之几” ． 4．如图，阴影部分面积是小圆面积的，是大圆面积的，则大圆面积与小圆面积的比是 　 　． 5．（2025•宝山区校级期中）如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留 6．（2025•长宁区校级期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留 7．（2025•青浦区校级月考）求阴影部分的周长和面积． 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴考点） 核心重难点：圆在图形内/外滚动的扫过面积、图形翻动的路径与扫过面积计算，是本章的压轴题出题方向，侧重空间想象能力与综合分析能力，用于区分高分段学生。 【解题大招】 1. 滚动扫过面积速解：先锁定滚动的圆心轨迹、旋转半径与旋转角度，将扫过区域拆分为规则矩形+扇形，分别计算后求和，化繁为简。 2. 图形翻动计算技巧：先确定每次翻动的旋转中心、旋转半径、旋转角度，单段扇形面积按公式计算，总面积为各段有效面积之和，剔除无效重叠部分。 1．（2025•普陀区校级月考）已知正方形的边长为，半径均为的与分别在正方形的内部与外部紧沿正方形的边进行滚动，则与扫过的面积之比为 　 　 （结果保留． 2．（2025•浦东新区校级期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． （1）如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； （2）如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 3．（2025•普陀区校级月考）已知一长方形厂房的宽米，长米，厂房负责人在点处用铁链拴着一条护卫犬巡视厂房，已知护卫犬恰可以紧沿厂房的墙壁到达点处，求护卫犬在厂房外围可活动的最大区域面积（结果保留． 4．如图，已知正方形的边长为1厘米，分别、为圆心，以正方形的边长为半径画弧或画圆，得到如图所示的图形． （1）求图中阴影部分所示的图形的周长（不含阴影区内的线段、的长度）； （2）求图中阴影部分所示的图形的面积（计算结果保留． 题型10：圆的面积生活场景综合应用题（综合应用考点） 核心重难点：圆与圆环面积在生活场景中的综合应用，多条件、多步骤的综合计算，结合周长、比例等知识点，侧重建模能力与分步计算能力。 【解题大招】 先拆解题干核心等量关系，将面积、周长模块独立拆分，分步锁定核心量（半径、圆心角、环宽等），逐步拆解求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025•虹口区期中）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是 　 　 米取． 2．（2025•杨浦区校级月考）大小两个圆重叠在一起，重叠部分面积占小圆面积的，占大圆面积的，那么小圆面积与大圆面积之比是 　 　 ． 3．大、小两个圆的面积之比为，周长之差为，那么大、小两个圆的面积之和是 　 　 ． 4．（2025•奉贤区期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是　 　 平方米．（结果保留 5．（2025•嘉定区期末）请根据材料完成如下三个任务： 扫地机器人的清洁场景 素材1 如图1，某智能扫地机器人通过机身圆形底盘进行清扫，机身上凸起的圆形激光发射器可发射激光实现定位和避障．示意图如图2，大圆代表扫地机器人，内部的小圆代表激光发射器，已知激光发射器的半径是2厘米，且机身圆型底盘面积是激光发射器面积的100倍， 素材2 扫地机器人因圆形底盘设计，在一些转角处会产生一部分无法清扫区域，这一部分被称为物理清扫盲区，如图3中的阴影部分， 问题解决： 任务 计算该扫地机器人机身圆型底盘半径为 　20　 厘米． 任务2 某空置房间尺寸如图4，请计算此房间该扫地机器人的物理清扫盲区的面积共为 　　 平方厘米（结果保留． 任务3 如果在这个房间摆放一台冰箱和一个花盆，位置如图5所示，冰箱和花盆底部都是直接接触地面，扫地机器人无法进入．冰箱底面可看作是长为1米、宽为0.8米的长方形，花盆底面可看作是圆形，半径与扫地机器人底盘半径相同．请计算此时扫地机器人无法清扫到的面积是 　　 平方厘米（结果保留． 6．（2025•嘉定区期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积取． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03：圆与扇形面积综合 目录 题型01：圆的面积基础公式与半径变化规律（高频基础易错点） 1 题型02：圆与规则图形的面积对比计算（必考基础考点） 5 题型03：圆切拼长方形的面积与周长变化（高频易错考点） 9 题型04：圆环面积基础计算（高频必考考点） 12 题型05：特殊圆环与间接求圆环面积（中档易错考点） 16 题型06：扇形面积与弧长综合基础计算（高频基础考点） 19 题型07：阴影面积基础计算（和差法）（核心基础考点） 22 题型08：阴影面积进阶计算（割补平移巧算）（核心拉分易错点） 25 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴考点） 31 题型10：圆的面积生活场景综合应用题（综合应用考点） 36 题型01：圆的面积基础公式与半径变化规律（高频基础易错点） 核心重难点：圆的面积公式正逆用、半径/直径/周长变化对面积的影响规律、面积与周长的基础辨析，是本章入门必考的基础题型，核心易错点为半径平方的变化规律混淆。 【解题大招】 1. 面积核心公式：，已知直径/周长需先换算出半径，再计算面积，规避直接用直径计算的易错问题。 2. 变化规律速解：圆的半径扩大倍，周长同步扩大倍，面积扩大倍；两圆的半径比=直径比=周长比，面积比=半径的平方比，一步速解比例类题目。 1．（2025•普陀区校级期中）要画一个面积是4π平方厘米的圆，应用圆规的两脚在刻度尺上量取（　　） A．4厘米 B．3厘米 C．2厘米 D．1厘米 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式计算即可． 【解答】解：设圆的半径为r厘米， 则πr2＝4π， 解得r＝2， 所以应用圆规的两脚在刻度尺上量取2厘米． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是运用圆的面积公式来解答． 2．（2025•徐汇区校级期中）若一个圆的半径扩大为原来的3倍，则它的周长与面积分别扩大为原来的（　　） A．3倍，3倍 B．3倍，6倍 C．6倍，3倍 D．3倍，9倍 【答案】 【分析】设原来圆的半径为，则圆的周长为：，圆的面积为，半径扩大3倍后，圆的半径为，圆的周长为，圆的面积为，由此分析即可得出答案． 【解答】解：设原来圆的半径为，则圆的周长为：，圆的面积为， 半径扩大3倍后，圆的半径为， 则圆的周长为，圆的面积为， 周长扩大到原来的：倍， 面积扩大到原来的：倍， 故选：． 【点评】本题考查了圆的面积与周长计算．熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025•杨浦区校级期末）一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C． D． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式进行解题即可． 【解答】解：原来的面积为：， 现在圆的面积为：， ． 即圆的面积变为原来的4倍． 故选：． 【点评】本题考查圆的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025•徐汇区校级月考）把一个圆的直径扩大到原来的3倍，则这个圆的面积扩大到原来的　　倍． A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】 【分析】设原来圆的直径为，面积为，直径扩大到原来的3倍后圆的直径变为，面积变为，根据圆的面积公式分别用含的代数式将和表示出来，从而得到和数量关系即可． 【解答】解：设原来圆的直径为，面积为，直径扩大到原来的3倍后圆的直径变为，面积变为， 则，， ， 这个圆的面积扩大到原来的9倍． 故选：． 【点评】本题考查圆的面积，掌握圆的面积计算公式是解题的关键． 5．（2025•青浦区校级月考）圆的半径由5厘米增加到10厘米，圆的面积（　　） A．增加平方厘米 B．增加平方厘米 C．增加平方厘米 D．增加平方厘米 【答案】 【分析】根据圆的面积公式：，可以求出圆的面积，两次求出的面积差就是要求的答案． 【解答】解： （平方厘米）； 故选：． 【点评】本题考查了圆的面积，解答此题的关键是牢记圆的面积公式，，尤其是半径的平方，计算时要注意，是两个半径相乘． 6．（2025•闵行区校级月考）用圆规画圆，如果圆规两脚间的距离是3厘米，则所画圆的面积是　　平方厘米． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆规两脚间的距离为半径，结合圆的面积公式进行计算即可． 【解答】解：根据圆规两脚间的距离为半径可知：圆的面积为：平方厘米； 故选：． 【点评】本题考查求圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是关键． 7．（2025•宝山区校级期末）一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的（　　） A．36倍 B．3倍 C．9倍 D．6倍 【答案】 【分析】根据圆的面积公式解答即可． 【解答】解：， 即一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的9倍． 故选：． 【点评】本题考查了圆的面积，掌握圆的面积公式是解答本题的关键． 题型02：圆与规则图形的面积对比计算（必考基础考点） 核心重难点：正方形/长方形内最大圆的面积计算、圆与规则图形的面积占比、等面积图形的面积对比，是单元考选择填空的高频基础题型。 【解题大招】 1. 最大圆半径速解：长方形内最大圆的直径=长方形的宽；正方形内最大圆的直径正方形的边长，直接锁定核心半径。 2. 面积占比计算：先分别求出圆与规则图形的面积，再作比/作差，核心是先锁定圆的半径，再分步计算。 1．（2025•上海校级期中）在一个长为，宽为的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个长方形面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出最大圆的直径，求出圆的面积和长方形的面积再作比值． 【解答】解：根据题意知，这个圆的直径为， 圆的面积为：， 长方形的面积为， ， 这个圆的面积占整个长方形面积， 故选：． 【点评】本题考查圆的面积，关键是掌握圆的面积公式． 2．（2025•嘉定区校级期中）一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不能比较 【答案】 【分析】根据圆及正方形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令圆的半径长为1， 则正方形的边长为2， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的面积，熟知圆及正方形的面积公式是解题的关键． 3．（2025•宝山区校级期中）一个大圆的半径正好是小圆的直径，那么小圆面积是大圆面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】假设大圆的半径是2，那么小圆的半径就是，再根据圆的面积公式进行计算即可． 【解答】解：假设大圆的半径是2， 那么小圆的直径也是2，小圆的半径就是， 大圆的面积是：， 小圆的面积是：， 则小圆面积是大圆面积的：． 答：小圆面积是大圆面积的． 故选：． 【点评】本题考查了圆的面积和圆的认识，熟练运用圆的面积公式是解决本题的关键． 4．（2025•嘉定区校级月考）在如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设两个圆的直径，根据圆面积的计算方法用度数是表示两个圆的面积，再求出面积的比即可． 【解答】解：设大圆直径为，则小圆的直径为， 所以大圆的面积为，小圆的面积为， 因此这两个圆的面积的比为， 故选：． 【点评】本题考查圆的面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键． 5．（2025•虹口区期末）已知小圆直径与大圆直径之比是，那么小圆面积与大圆面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】因为小圆直径与大圆直径之比是，所以小圆直径与大圆半径之比是，根据圆的面积公式：，求出面积比是． 【解答】解：设小圆的直径是，大圆的直径是， 所以小圆的半径是，大圆的半径是， 小圆的面积是：， 大圆的面积是：， 小圆面积与大圆面积之比是． 答：小圆面积与大圆面积之比是． 故选：． 【点评】本题考查了圆的面积，熟练运用圆的面积公式是解决本题的关键． 6．（2024秋•浦东新区期末）如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为、，则（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】分别计算、比较大小即可． 【解答】解：（平方厘米）， （平方厘米）， ． 故选：． 【点评】此题考查圆的面积计算，分别计算圆的面积是解题的关键． 7．（2025•虹口区校级月考）以下是三个相等正方形，将下面三幅图中阴影部分的面积相比较则有（　　） A．图（1）大 B．图（2）大 C．图（3）大 D．同样大 【答案】 【分析】三个图的阴影部分的面积都等于正方形的面积减去一个圆的面积． 【解答】解：因为三个图的阴影部分的面积都等于正方形的面积减去一个圆的面积， 所以三个图的阴影部分的面积相等． 故选：． 【点评】本题考查圆的面积，解题的关键是看懂图形，灵活运用所学知识解决问题． 题型03：圆切拼长方形的面积与周长变化（高频易错考点） 核心重难点：圆切拼近似长方形的变与不变辨析、切拼后圆的半径与面积求解、圆与长方形等面积模型，是本章必考的易错题型，学生极易混淆周长与面积的变化规律。 【解题大招】 1. 切拼核心结论：圆切拼近似长方形，面积不变，周长增加（个直径），直接规避变与不变的判断误区。 2. 等面积模型速解：若圆与长方形面积相等，长方形的宽圆的半径，长方形的长，直接套用结论锁定未知量。 1．（2025•金山区期末）图中圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是5厘米，那么长方形的长是　　厘米． A．15.7 B．20.7 C．41.4 D．78.5 【答案】 【分析】利用圆的面积公式，把数代入求出圆的面积，利用，长宽，由于长方形的宽和圆的半径相等，把数代入公式即可求解． 【解答】解：由条件可知， ，长方形的宽， 保留两位小数），则： ． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的面积和长方形面积的公式，解题的关键是熟练掌握图形的面积公式并灵活应用． 2．（2025•普陀区期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（　　） A．变化前后，图形的面积和周长都不变 B．变化前后，图形的面积和周长都增加了 C．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 【答案】 【分析】由图可知，长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长等于2倍的长与宽的和，长方形的两个长边的和即为圆的周长，长方形的两个宽边的和为2个圆的半径，即可得出结论． 【解答】解：长方形的面积等于圆的面积， 长方形的两个长边的和即为圆的周长， 长方形的周长比圆多了两条宽的长度，即增加了2个半径的长度， 变化前后，图形的面积不变，周长增加了． 故选：． 【点评】本题考查圆的周长和面积．熟练掌握变化过程中，面积不变，周长变化是解题的关键． 3．（2025•虹口区期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了，则圆的面积是 　 　．取 【答案】50.24． 【分析】根据题意，将圆拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径解答即可． 【解答】解：将圆拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径， 可得：长方形的周长比原来圆的周长增加了圆的直径，直径为， 所以半径为， 圆的面积． 故答案为：50.24． 【点评】此题主要考查了圆的面积，设出圆的半径并熟记圆的周长与面积公式是解题的关键． 4．（2025•浦东新区校级期中）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米，则圆的面积是　 　 平方厘米．（结果保留 【答案】． 【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了8厘米，是因为近似的长方形的周长比圆的周长多了圆的两个半径．据此可求出圆的半径，然后求圆的面积即可． 【解答】解：由条件可知圆的半径为厘米， 所以圆的面积为平方厘米， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆的面积公式推导以及求圆的面积，根据题意求出圆的半径是解答本题的关键． 5．（2025•徐汇区校级月考）把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加，那么，这个圆的面积是 　 　 ．取 【答案】78.5． 【分析】根据题意可得圆的半径为，再根据圆的面积公式计算即可求解． 【解答】解：由题意得：圆的半径为， ， 故答案为：78.5． 【点评】本题考查了圆的面积，根据题意求出圆的半径是解题的关键． 题型04：圆环面积基础计算（高频必考考点） 核心重难点：标准圆环的面积公式应用、已知内外圆半径/直径求圆环面积、生活场景的环形面积计算，是应用题的高频基础出题方向。 【解题大招】 1. 圆环面积核心公式：，优先计算半径平方差，再乘，大幅简化计算步骤。 2. 环宽换算技巧：环宽外圆半径内圆半径，已知直径/周长先换算为半径，再代入公式计算。 1．（2025•虹口区期中）如图，是直径为18米的圆形花坛，它的周围有一条宽为3米的小路环绕，小路的面积是 　 　平方米（结果保留． 【答案】． 【分析】根据圆环的面积公式计算即可求解． 【解答】解：（米， （米， （平方米）． 故这条小路的面积是平方米． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆环的面积计算，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 2.（2025•宝山区校级期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积 为　 　 ． 【答案】 【分析】根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，即可计算． 【解答】解：． 该圆环的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆环，关键是掌握圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积． 3．（2025•浦东新区校级期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是　 　 平方厘米．（结果保留 【答案】． 【分析】用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【解答】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 4．（2025•松江区校级月考）已知圆环的内圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米，那么这个圆环的面积是 　 　 平方厘米． 【答案】． 【分析】求出半径为，半径为的两个圆的面积差即可． 【解答】解：圆环的内圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米， 圆环的内圆面积为平方厘米，外圆面积为平方厘米， 这个圆环的面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【点评】本题考查圆环，掌握圆环面积的计算方法是正确解答的关键． 5．（2025•上海校级期中）一个圆环，外直径是5分米，内直径是3分米，圆环的面积是 　 　平方分米． 【答案】12.56． 【分析】根据圆的面积公式列出式子进行解题即可． 【解答】解：由题可知，（平方分米）． 故答案为：12.56． 【点评】本题考查圆环，掌握圆的面积公式是解题的关键． 6．（2025•宝山区校级期中）广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路． （1）这条水泥路的面积是多少平方米？取 （2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 【答案】（1）942平方米； （2）4把． 【分析】（1）求水泥路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：，据此代入数值进行计算即可； （2）根据圆的周长公式：，据此求出水泥路外沿的长度，则根据植树问题，椅子的把数水泥路外沿的长度间隔长度，据此解答即可． 【解答】解：（1） （平方米）． 答：这条水泥路的面积是942平方米； （2） （把． 答：需要4把椅子． 【点评】本题考查圆环的面积和圆的周长，熟记公式是解题的关键． 7．（2025•上海校级期中）如图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积（结果保留到整数位）． 【答案】28平方米． 【分析】根据圆的面积公式计算即可． 【解答】解：（米， （平方米）， 答：小路的面积约为28平方米． 【点评】本题考查了圆环，正确圆的面积公式是解答本题的关键． 题型05：特殊圆环与间接求圆环面积（中档易错考点） 核心重难点：“平等圆环”专项计算、通过已知条件间接求、圆环与周长结合的综合计算，是基础圆环题的进阶变形，侧重公式的灵活运用。 【解题大招】 1. “平等圆环”速解：外圆半径=内圆直径，环宽=内圆半径r，通过环宽直接锁定内外圆半径，一步代入公式。 2. 间接求面积技巧：若已知的整体值，直接代入圆环公式计算，无需单独求解和，规避复杂计算。 1．（2025•闵行区校级期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为　 　 平方厘米．（保留 【答案】． 【分析】先根据环宽和“平等圆环”的定义求出内圆的半径，再求出外圆的半径，再根据圆环的面积公式，求出答案即可． 【解答】解：设圆环的内圆的半径为厘米，则圆环的外圆的半径为厘米， 环宽是5厘米， ， 解得， 圆环的内圆的半径为5厘米，外圆的半径为10厘米， 这个“平等圆环”面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，掌握圆环的面积计算方法是解决问题的关键． 2.（2025•徐汇区校级期中）一个圆环的外圆周长为，宽度为，则它的内圆周长 为　 　 ． 【答案】15.7． 【分析】先求出内圆半径再进一步求出内圆周长即可． 【解答】解：根据圆环的宽度等于大小圆的半径之差可得： 内圆半径为， 则内圆周长为， 故答案为：15.7． 【点评】本题考查了圆的周长，掌握圆环的宽度等于大小圆的半径之差为解题关键． 3．（2025•普陀区期末）圆环是由两个同心圆所围成的平面图形，即由外圆的内部与内圆的外部组成的区域，两个圆的半径之差称为环宽．如果一个圆环的外圆半径等于内圆直径，那么将此圆环称为“平等圆环”．环宽是的“平等圆环”的面积是 　 　 （结果保留． 【答案】． 【分析】设圆环的外圆半径是 ，内圆半径是 ，由题意得到，求出，，由圆面积公式即可求出这个“平等圆环”的面积． 【解答】解：设圆环的外圆半径是 ，内圆半径是 ， 由题意得到：， ， ， ， 这个“平等圆环”的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查圆环，关键是掌握圆的面积公式． 4．（2025•松江区期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是　 　 ． 【答案】94.2． 【分析】根据阴影部分的面积为大三角形的面积减去小三角形的面积，大三角形的面积等于大圆半径的平方除以2，小三角形面积同理即可解答． 【解答】解：设大圆半径为 ，小圆半径为 ， 则， ， 圆环的面积是． 故答案为：94.2． 【点评】本题主要考查了圆环，掌握圆的面积公式是关键． 题型06：扇形面积与弧长综合基础计算（高频基础考点） 核心重难点：扇形面积计算、圆心角与扇形面积占比的关系、扇形周长与面积的综合辨析，易错点为扇形周长漏加半径、面积与周长比的概念混淆。 【解题大招】 1. 扇形面积速解：，扇形面积占比=圆心角占周角的比例，优先用占比计算，无需分步换算。 2. 易错点规避：扇形周长弧长条半径，切勿只计算弧长；扇形的面积与圆的面积比扇形与圆的周长比，直接规避概念误区。 1．（2025•宝山区校级期中）圆的半径由增加到，面积增加了　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式计算即可． 【解答】解：半径是的圆的面积是，半径是的圆的面积是， 圆的面积增加了：． 故选：． 【点评】本题考查圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 2．（2025•徐汇区校级期末）一个圆形花坛的周长是25.12米，这个花坛的面积是　 　 平方米． 【答案】50.24． 【分析】根据周长是25.12米，先求出半径，进而求花坛面积． 【解答】解：一个圆形花坛的周长是25.12米， 面积 （平方米）． 故答案为：50.24． 【点评】本题考查圆的周长和面积，解题关键是熟练掌握圆的周长和面积公式． 3．（2025•闵行区校级期末）图阴影部分面积比图的阴影部分面积小 　 　 ．（结果保留 【答案】． 【分析】求出半圆的面积和三角形的面积，即可得到答案． 【解答】解：， 图阴影部分面积比图的阴影部分面积小． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的面积，关键是掌握圆面积的计算公式． 4.（2025•闵行区期中）已知线段，中点为，以点为圆心、为半径作半圆，得到扇形：以为圆心、为半径作弧，连接，得到扇形，已知， 则 　 　 ． 【答案】31.4． 【分析】空白面积）空白面积）扇形得面积扇形得面积，扇形的面积公式是：，代入数据计算即可． 【解答】解：因为， 所以， ． 故答案为：31.4． 【点评】本题考查了圆的面积，熟练运用扇形的面积公式是解决本题的关键． 5．（2025•普陀区校级月考）扇形的面积和其所在圆的面积比等于它们的周长比． 　 　 （判断对错） 【答案】错． 【分析】由扇形的面积和其所在圆的面积比等于扇形的弧长和其所在圆的周长比．即可得答案为错． 【解答】解：扇形的面积和其所在圆的面积比等于扇形的弧长和其所在圆的周长比． 故答案为：错． 【点评】本题主要考查了扇形的面积与周长比，解题关键是正确判断． 题型07：阴影面积基础计算（和差法）（核心基础考点） 核心重难点：利用“整体面积空白面积”求解阴影面积，覆盖圆、扇形、多边形的基础组合图形，是阴影类题型的入门必考内容。 【解题大招】 核心计算原则：阴影面积整体规则图形面积-空白规则图形面积，先锁定整体与空白的形状，分别套用公式计算后再作差，思路清晰不易错。 1．（2025•松江区期中）如图，三个圆的直径分别为10，8，6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为　 　 ． 【答案】． 【分析】分别根据圆的面积公式计算出最大圆的面积与两个小圆的面积和，再根据阴影部分的面积等于圆的面积减去空白的面积即可得出结论． 【解答】解：最大圆的面积为，两个小圆的面积和， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是关键． 2．（2025•浦东新区校级期中）现在很多家庭都使用折叠型桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面．如图1为餐桌的未翻开的形状，直径、相交于圆心，，小华用皮尺量出圆桌的直径为8分米．如果桌面翻成圆桌（如图后，那么桌子面积会增加　 　 平方分米（结果保留． 【答案】． 【分析】根据题意可知桌面增加的面积是2个弓形的面积，即即可． 【解答】解：由圆的对称性可知， 平方分米， 故答案为：． 【点评】本题考查圆面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键． 3．（2024秋•杨浦区期末）如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 　 　 ． 【分析】分析图形，发现非阴影部分的面积之和是阴影部分的面积之和的3倍，那么大圆面积等于阴影部分的面积之和的4倍． 【解答】解：分析图形，发现非阴影部分的面积之和是阴影部分的面积之和的3倍，那么大圆面积等于阴影部分的面积之和的4倍． 那么阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆的面积，关键在于分析图形，找到阴影部分的面积之和与大圆面积的关系． 4．（2024秋•青浦区校级期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 　 　 ． 【分析】根据题意得阴影部分的面积：，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得． 【解答】解：阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10， 阴影部分的面积：， 阴影面积是大面积的， 大圆的面积：， 则大圆半径的平方：， 大圆的半径：， 故答案为：15． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式． 5．如图，正方形的边长为4，则阴影部分面积为 　 　．（结果保留 【答案】． 【分析】根据即可求解． 【解答】解：如图所示，对角线与弧交于点， 正方形的边长为4，是对角线， ， ，，以为直径的半圆的面积， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查不规则图形面积的计算，理解图示的组成部分，掌握扇形面积的计算方法，圆面积的计算方法是解题的关键． 题型08：阴影面积进阶计算（割补平移巧算）（核心拉分易错点） 核心重难点：不规则阴影面积的割补、平移、对称、等积变形，复杂组合图形的面积巧算，是本章分值占比最高、学生失分最多的核心拉分题型。 【解题大招】 1. 割补平移法：将零散的阴影部分拼接为完整的规则图形（圆、扇形、正方形等），直接套用公式计算，大幅降低计算难度。 2. 容斥原理应用：多图形重叠的阴影面积，通过“各部分面积和重叠部分面积”求解，避免重复计算或漏算。 3. 等积变形技巧：将难计算的阴影部分，替换为面积相等的易计算规则图形，简化求解步骤。 1．（2025•浦东新区校级期中）如图所示，6个圆形纸片由大到小堆叠在一起，圆弧共同交于同一点．已知最小的圆半径为2厘米且每个圆形纸片的半径依次增加2厘米．那么黑色图案约占整个图案的百分之　　？ A．40 B．42 C．44 D．46 【答案】 【分析】根据圆面积的计算方法求出阴影部分的面积以及大圆的面积即可． 【解答】解：由题意可知，从小到大圆的半径分别为，，，，，， 所以最大圆的面积为， ，，， ， 阴影部分所占的百分比为， 故选：． 【点评】本题考查圆面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键． 2．（2025•普陀区校级期中）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为　 　． 【答案】． 【分析】根据圆的周长比，可以设三个圆的半径为，，，再根据图形和圆的面积公式计算即可． 【解答】解：设三个圆的半径为，，， 则阴影部分面积为， 空白部分面积为， 所以阴影部分面积与空白部分面积的比值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 3．三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分的面积是最大圆面积的 　 　（填“几分之几” ． 【答案】． 【分析】根据三个圆的周长比得到三个圆的半径比，再用圆的面积公式表示出阴影部分和最大圆的面积，最后进行相比、化简即可． 【解答】解：三个圆的周长比为， 三个圆的半径比为． 阴影部分面积：； 大圆的面积：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的面积，解题的关键是运用圆的面积公式来解答． 4．如图，阴影部分面积是小圆面积的，是大圆面积的，则大圆面积与小圆面积的比是 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意得出大圆的面积小圆的面积，进而解答即可． 【解答】解：阴影部分面积是小圆面积的，是大圆面积的， 大圆的面积小圆的面积， 大圆面积与小圆面积的比是． 故答案为：． 【点评】此题考查认识平面图形，解题的关键是得出大圆的面积小圆的面积． 5．（2025•宝山区校级期中）如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留 【答案】阴影的面积；阴影的周长． 【分析】求出大正方形中的阴影面积和小正方形中的阴影面积，即可得到图形的阴影面积；由圆的周长公式即可求出阴影的周长． 【解答】解：大正方形中的阴影面积，小正方形中的阴影面积， 阴影部分的面积； 阴影的周长． 【点评】本题考查圆的面积，圆的周长，关键是掌握圆的面积和周长公式． 6．（2025•长宁区校级期中）如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留 【答案】阴影部分的周长为厘米，面积为8平方厘米． 【分析】利用整体的思想方法和圆的周长公式与面积公式解答即可． 【解答】解：由题意得：阴影部分的周长为4个小圆的周长之和， 每个圆的半径都是1厘米， 阴影部分的周长为（厘米）， 添加如图所示的辅助线， 则图中大正方形外部的8个小弓形补到中间空白部分，拼成1个大正方形， 阴影部分的面积边长为厘米的正方形的面积， 阴影部分的面积（平方厘米）． 答：阴影部分的周长为厘米，面积为8平方厘米． 【点评】本题主要考查了圆的有关计算，正确利用整体的思想方法解答是解题的关键． 7．（2025•青浦区校级月考）求阴影部分的周长和面积． 【答案】图（1）阴影部分的周长为12.56，阴影部分的面积为4.56；图（2）阴影部分的周长为20.56，阴影部分的面积为8； 【分析】图（1）的周长等于的大圆的弧长与两个的小圆的弧长和，面积等于的大圆减去一个三角形的面积，据此列式计算即可得解； 图（2）的周长等于一个大圆的周长与两条直径和，面积等于两个小正方形的面积和，据此列式计算即可得解． 【解答】解：图（1）阴影部分的周长为 ， 阴影部分的面积为． 图（2）阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了圆的周长和面积，掌握相关知识点是解题的关键． 题型09：圆的动态滚动与扫过面积计算（拔高压轴考点） 核心重难点：圆在图形内/外滚动的扫过面积、图形翻动的路径与扫过面积计算，是本章的压轴题出题方向，侧重空间想象能力与综合分析能力，用于区分高分段学生。 【解题大招】 1. 滚动扫过面积速解：先锁定滚动的圆心轨迹、旋转半径与旋转角度，将扫过区域拆分为规则矩形+扇形，分别计算后求和，化繁为简。 2. 图形翻动计算技巧：先确定每次翻动的旋转中心、旋转半径、旋转角度，单段扇形面积按公式计算，总面积为各段有效面积之和，剔除无效重叠部分。 1．（2025•普陀区校级月考）已知正方形的边长为，半径均为的与分别在正方形的内部与外部紧沿正方形的边进行滚动，则与扫过的面积之比为 　 　 （结果保留． 【答案】． 【分析】根据题意判定球扫过的面积包含四个面积相等的扇形和四个面积相等的矩形，而球扫过的面积也包含4个面积相等的矩形，四个面积相等的矩形，以及一个边长为的正方形．根据矩形和扇形的面积公式分别求出、，即可求出答案． 【解答】解：如图，球在正方形外四边上滚动，球在正方形内四边上滚动． 正方形外部的球扫过的面积包含4个面积为的矩形和四个面积为的扇形； 正方形内部的球扫过的面积包含4个面积为的扇，4个面积为的矩形，还有中间一个边长为的正方形． ，． ． ，． ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形、扇形、正方形的面积，本题的难点在于把球和球运动时扫过的面积分解成多个规则图形． 2．（2025•浦东新区校级期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． （1）如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； （2）如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）如图所示，圆滚过的面积长方形的面积中间白色长方形的面积四个直角处的面积和；四个直角处的面积和边长为2厘米的正方形的面积半径为的圆的面积，据此解答即可； （2）如图把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为2厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为1厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【解答】（1）解：如图中，圆滚过的面积长方形的面积中间白色长方形的面积四个直角处的面积和；四个直角处的面积和边长为2厘米的正方形的面积半径为的圆的面积， 空白部分的长，宽， 圆滚过的面积为：， （2）如图2中， 由题意，， 圆滚过的面积为． 【点评】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2025•普陀区校级月考）已知一长方形厂房的宽米，长米，厂房负责人在点处用铁链拴着一条护卫犬巡视厂房，已知护卫犬恰可以紧沿厂房的墙壁到达点处，求护卫犬在厂房外围可活动的最大区域面积（结果保留． 【答案】． 【分析】护卫犬的铁链长度等于长方形对角线的长度，因此其活动区域由三部分组成：未绕墙时的270度扇形，绕点后的四分之一圆，以及绕点后的四分之一圆． 【解答】：由题意可知，护卫犬活动区域由三部分组成：未绕墙时的270度扇形，绕点后的四分之一圆，以及绕点后的四分之一圆，如图所示： 卫犬恰可以紧沿厂房的墙壁到达点处， 铁链的长度为米， 铁链长绕点后剩余铁链长度为米，绕点后剩余铁链长度为米， ． 【点评】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是要知道护卫犬的活动区域由三部分组成． 4．如图，已知正方形的边长为1厘米，分别、为圆心，以正方形的边长为半径画弧或画圆，得到如图所示的图形． （1）求图中阴影部分所示的图形的周长（不含阴影区内的线段、的长度）； （2）求图中阴影部分所示的图形的面积（计算结果保留． 【答案】（1）厘米； （2）． 【分析】（1）用正方形的两条边长加上半径为1的圆的周长以及四分之一圆的周长即可； （2）用四分之一圆的面积减去的面积即可得出一个弓形的面积，再用正方形的面积减去两个弓形的面积即可求出正方形内部的阴影部分所示的图形的面积，然后再加上半径为1的圆的面积的四分之三即可． 【解答】解：（1）图中阴影部分所示的图形的周长为：（厘米）； （2）如图，连接， 则弓形的面积为：， 故图中阴影部分所示的图形的面积为： ． 【点评】本题考查了圆的周长与面积，掌握相关公式是解答本题的关键． 题型10：圆的面积生活场景综合应用题（综合应用考点） 核心重难点：圆与圆环面积在生活场景中的综合应用，多条件、多步骤的综合计算，结合周长、比例等知识点，侧重建模能力与分步计算能力。 【解题大招】 先拆解题干核心等量关系，将面积、周长模块独立拆分，分步锁定核心量（半径、圆心角、环宽等），逐步拆解求解，规避跨步骤计算错误。 1．（2025•虹口区期中）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是 　 　 米取． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：纸的总长度 ， 答：这筒纸的总长度大约是62.8米． 故答案为：62.8． 【点评】本题考查了圆的面积，正确地列式计算是解题的关键． 2．（2025•杨浦区校级月考）大小两个圆重叠在一起，重叠部分面积占小圆面积的，占大圆面积的，那么小圆面积与大圆面积之比是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，因为大小两个圆重叠在一起，重叠部分面积占小圆面积的，占大圆面积的，设重叠部分的面积为，小圆面积为，大圆面积为，求出小圆与大圆的面积比即可． 【解答】解：设重叠部分的面积为， 小圆面积为， 大圆面积为， 小圆面积与大圆面积之比是：． 答：小圆面积与大圆面积之比是． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的面积、比的应用，解决本题的关键是表示出大圆和小圆的面积． 3．大、小两个圆的面积之比为，周长之差为，那么大、小两个圆的面积之和是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据大、小圆的面积比得到半径的比，根据两圆的周长之差为，进而求出两圆的半径，再根据圆面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：大、小两个圆的面积之比为， 大、小两个圆的半径之比为， 设小圆的半径为，则大圆的半径为 ， 由于大小圆的周长之差为， ， 解得， 即小圆半径为，则大圆半径为， 大、小两个圆的面积之和为， 故答案为：． 【点评】本题考查圆的面积，圆的周长，掌握圆周长、面积的计算方法是正确解答的关键． 4．（2025•奉贤区期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是　 　 平方米．（结果保留 【答案】． 【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【解答】解：五环图案的面积 平方米． 该五环图案的面积是平方米． 故答案为：． 【点评】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积小圆面积环形面积是关键． 5．（2025•嘉定区期末）请根据材料完成如下三个任务： 扫地机器人的清洁场景 素材1 如图1，某智能扫地机器人通过机身圆形底盘进行清扫，机身上凸起的圆形激光发射器可发射激光实现定位和避障．示意图如图2，大圆代表扫地机器人，内部的小圆代表激光发射器，已知激光发射器的半径是2厘米，且机身圆型底盘面积是激光发射器面积的100倍， 素材2 扫地机器人因圆形底盘设计，在一些转角处会产生一部分无法清扫区域，这一部分被称为物理清扫盲区，如图3中的阴影部分， 问题解决： 任务 计算该扫地机器人机身圆型底盘半径为 　20　 厘米． 任务2 某空置房间尺寸如图4，请计算此房间该扫地机器人的物理清扫盲区的面积共为 　　 平方厘米（结果保留． 任务3 如果在这个房间摆放一台冰箱和一个花盆，位置如图5所示，冰箱和花盆底部都是直接接触地面，扫地机器人无法进入．冰箱底面可看作是长为1米、宽为0.8米的长方形，花盆底面可看作是圆形，半径与扫地机器人底盘半径相同．请计算此时扫地机器人无法清扫到的面积是 　　 平方厘米（结果保留． 【答案】任务；任务 ；任务． 【分析】任务1：直接根据圆的面积公式得出发射器平方厘米，进而可得出答案； 任务2：直接根据圆的面积公式得出单个角落盲区面积，进而可得出答案； 任务3：根据无法清扫面积物理盲区面积冰箱底部面积花盆底部面积，即可得出答案． 【解答】解：任务1：激光发射器半径厘米，其面积发射器平方厘米， 因为机身圆盘面积是发射器的100倍， 所以圆盘平方厘米， 设机身圆盘半径为， 所以， 解得厘米， 故答案为：20； 任务2：单个角落盲区面积：（平方厘米）， 所以4个角落总面积：（平方厘米）， 故答案为：； 任务3：物理盲区面积：平方厘米， 因为1米厘米，0.8米厘米， 所以冰箱底部面积：平方厘米， 花盆底部面积：平方厘米， 所以总无法清扫面积：（平方厘米）， 故答案为：． 【点评】本题考查圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键． 6．（2025•嘉定区期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积取． 【答案】阴影部分的周长为，面积为． 【分析】根据圆周长、面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，阴影部分的周长为的长，的长与的长度之和， 即， ， 答：阴影部分的周长为，面积为． 【点评】本题考查圆周长、圆面积，掌握圆周长、圆面积的计算方法是正确解答的关键． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $