精品解析：安徽合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式得集合，再根据补集定义求解. 【详解】∵， ， ∴. 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性结合充分不必要条件判断即可. 【详解】由得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解的值即可. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， ，则，故D正确. 故选：D 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出与的值，进而求出首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，最后得出的表达式. 【详解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则. 又因为，所以，解得.  设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，.  根据等差数列的前项和公式可得.  将代入可得：.  故选：D. 6. 图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，建立空间直角坐标系，求出旋转前后的坐标，根据向量的数量积求出棱柱的高，根据勾股定理求出外接球的半径，进而求出表面积即可. 【详解】初始几何体为底面边长为 的正三棱柱，设高为H， 上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，其外接球球心必在旋转轴上， 正三棱柱底面正三角形的外接圆半径 ， 设球心到任一底面的距离为 d，则球半径 满足： 由于几何体对称，球心在正中间，故， 如图，以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系， 则， 旋转后的顶点坐标为, 所以，长度， 所以数量积为; ， 由夹角 ， 所以， 球心在中间，高度 ， 半径, 所以表面积, 故选；C 7. 已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 8. 向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ） A. 8 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可. 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值. 二、多项选择题:本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象可知函数的周期，利用周期可得，可判断B，求出函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，进而求出点A的坐标，代入解析式得判断A，结合正弦函数的对称性代入验证判断C，利用正弦函数图象平移法则求出解析式，然后根据正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，，所以，所以函数的周期为， 所以，故选项B错误； 则函数，当函数取最大值时，， 解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为， 又，所以，所以，故选项A正确； 当时，为函数最小值， 故是曲线的一条对称轴，故选项C正确； 曲线向右平移1个单位后， 显然不关于原点对称，（），故D错误. 故选：AC 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的等式，利用赋值法求解判断AC；利用二项式定理求出判断B；对等式两边求导，再利用赋值法求解判断D. 【详解】对于A，令，得；令，得， 因此，A错误； 对于B，，因此，B正确； 对于C，令，即，得，C错误； 对于D，原等式两边求导得， 令，得，D正确. 故选：BD 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，，，的第75百分位数是9 B. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 C. 若随机变量，且，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用百分位数计算判断A，根据残差计算判断B，利用正态分布判断C，根据方差计算判断D. 【详解】A：1，1，2，2，3，3，3，9，11，12共10个数则， 所以第75百分位数是9，A正确. B：样本点的残差为，的残差为， 由残差相等得，B正确. C：由知对称轴为1，根据得， 所以，故C错误. D：由，且，，， 则，故D错误. 故选：AB 三、填空题:本题共3小题，每小题5 分，共15分 12. 设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出. 【详解】函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 依题意，，所以. 故答案为： 13. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案. 【详解】事件，事件，故， 又，故，即， 因为，， 所以，故，即， 又，， 故，所以， 即，所以，故， 其中，，则或2， 若，则， 又，故， ，故， 若，，可令或或或； 若，，可令或或或， 事件，事件 若，则，此时， 此时，故，不合要求，舍去， 综上，满足条件的事件的个数为8. 故答案为：8 14. 已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线为，求得纵坐标，由求得的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题设，令直线为， 易得 因为 可得，又， 可得：，再结合， 可得 代入椭圆方程，又， 所以 化简可得：，因为， 易知 所以，即 所以 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. （1）求的值及的取值范围； （2）若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】（1），； （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，求出，并求出，数形结合得到不等式，求出的取值范围； （2）在（1）基础上，得到，求出平移后的解析式，得到，结合求出最大值. 【小问1详解】 将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； 【小问2详解】 是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 16. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】（1） 取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 17. 已知. （1）当时，求函数的单调区间： （2）当时，求证：； （3）当，试讨论函数的零点个数. 【答案】（1）减区间为，增区间内为 （2）因为，当时，，所以， 当时，，所以，所以， 设，由（1）可知，所以不等式成立. （3）当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）当时，分析得出，令，可得，结合（1）中的结论可证得； （3）解法一：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数； 解法二：求得，令，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数； 解法三：将函数解析式变形为，设，则，则有，设，则，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，可得出的单调性，再结合零点存在定理可得出函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，则在为增函数； 当时，，则在为减函数； 故当时，函数的减区间为，增区间内为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一：， 设，此时， 则， 因为，所以， 则在为减函数，， ①当时，，结合在为减函数， 当时，在为增函数； 当时，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数， 又因为，所以只有一个零点； ②当时，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数. 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以. 所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 解法二：， 设，此时， 则， 设，所以， ①当时，此时，则，此时， 当时，在为增函数； 当时，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数. 又因为，所以只有一个零点； ②当，所以， 设.因为， 因为时，所以存在，使得 当时，，即，所以在上增函数； 当时，，即，所以在上减函数. 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以. 所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 解法三：，设，则， 则有，， 设. 因为，所以， 则在为减函数，， ①当，即，结合在为减函数 当时，在为增函数； 当时，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数. 又因为，所以只有一个零点； ②当时，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数. 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 当，又因为，所以. 所以使得， 在为减函数，所以，所以存在两个零点. 综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点. 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 19. 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． （1）已知，，求，，，； （2）已知，若，且对恒成立，求的取值范围； （3）已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 【答案】（1），，，． （2） （3） 由，即则为等差数列，又得． 所以， 因为， 且， 可得 ． 由，得，则，，则 ，即，且， 得，所以． 【解析】 【分析】（1）由数列新定义计算可得； （2）由等比数列的求和公式求出数列的前项和，再由累加法求出，判断数列递增，对恒成立，从而得出，解出结果后再证明充分性即可； （3）先求出数列的通项公式，然后写出，再由两角和与差的余弦公式结合拆角得到，把改写后结合余弦函数的值域和放缩证明即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，； 由题意，则， 又因为，所以． 综上可知，，，，． 【小问2详解】 若，则 ． ， 因为，所以，即，故数列递增， 所以要使对恒成立， 则必有，即， 所以，解得； 故是对恒成立的必要条件． 下面证明充分性：若，即，又，即， 又，故成立； 由，又递增，， 则，故； 故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件． 综上所述，要使对恒成立， 则的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ） A. 8 B. 5 C. D. 二、多项选择题:本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，，，的第75百分位数是9 B. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 C. 若随机变量，且，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5 分，共15分 12. 设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________. 13. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 14. 已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. （1）求的值及的取值范围； （2）若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 16. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 17. 已知. （1）当时，求函数的单调区间： （2）当时，求证：； （3）当，试讨论函数的零点个数. 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 19. 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． （1）已知，，求，，，； （2）已知，若，且对恒成立，求的取值范围； （3）已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $