精品解析：四川内江市2022-2023学年高二期末考试数学（理）试题

**基本信息** 内江市2024届零模理科数学试卷，以解析几何、函数导数、概率统计为核心，融入《九章算术》割圆术（文化传承）、广告销售额回归（现实应用）等情境，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|双曲线渐近线、复数象限、椭圆条件、回归方程等|第7题类比割圆术求定值，体现数学思维的推理能力| |填空题|4/20|导数切线、二项式系数、切线存在性、双曲线离心率|第15题过点作三条切线，考查函数与方程思想| |解答题|6/70|曲线方程、函数极值、概率分布、立体几何证明、轨迹方程|第19题结合放回抽样考查概率分布，第21题轨迹方程体现数学语言表达现实世界|

内江市高中2024届零模试题 数学（理科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．） 1. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）： 广告费 2 3 4 5 6 销售额 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为12万元时销售额约为（ ） A. 101.2万元 B. 108.8万元 C. 131.6万元 D. 118.2万元 5. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，均有” B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 命题“若，则2是的极值点”为真命题 D. 命题“若抛物线的方程为，则焦点到准线的距离为”的逆否命题为真命题 6. 已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则（ ） A. B. 2022 C. D. 2023 8. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 10. 如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表： 女 男 总计 要查看营养说明 15 25 40 不查看营养说明 20 10 30 总计 35 35 70 附：，其中． 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（ ）． A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多 B. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为 C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系 D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系 12. 已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 14. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 15. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是______． 16. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的渐近线交于两点，点在第一象限，两点到轴的距离之和为，若以为直径的圆过线段的中点，则双曲线的离心率的平方为______． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 求符合下列条件的曲线方程： （1）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程. （2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，求抛物线的方程及点的坐标. 18. 已知函数 (Ⅰ)当时，求的极值； (Ⅱ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围． 19. 一个袋中有2个红球，4个白球. （1）从中取出3个球，求取到红球个数的概率分布及数学期望； （2）每次取1个球，取出后记录颜色并放回袋中. ①若取到第二次红球就停止试验，求第5次取球后试验停止的概率； ②取球4次，求取到红球个数的概率分布及数学期望. 20. 如图，扇形的半径为，圆心角，点为上一点，平面且，点且，面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值的大小． 21. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市高中2024届零模试题 数学（理科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．） 1. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】， 所以该复数对应的点为，该点在第一象限， 故选：A. 3. “”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为，从而得到答案. 【详解】，解得：， “方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为， 因为，但， 故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件． 故选：B 4. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）： 广告费 2 3 4 5 6 销售额 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为12万元时销售额约为（ ） A. 101.2万元 B. 108.8万元 C. 131.6万元 D. 118.2万元 【答案】C 【解析】 【分析】先求出样本中心点，即可求出得到回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】根据题意得：，， 因为点在回归方程上，所以， 所以，令，所以销售额（万元） 即广告费为万元时销售额约为万元. 故选：C. 5. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，均有” B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 命题“若，则2是的极值点”为真命题 D. 命题“若抛物线的方程为，则焦点到准线的距离为”的逆否命题为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用导数辨析极值点判断C；求出抛物线焦点到准线距离结合逆否命题的意义判断D作答. 【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，均有”，A错误； 对于B，随机变量服从正态分布，且， 则，B正确； 对于C，函数定义域为R，求导得， 函数在R上单调递增，无极值点，则给定命题是假命题，C错误； 对于D，抛物线的焦点到准线的距离为，因此原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题，D错误. 故选：B 6. 已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】 因此当时，；当时，；当时，； 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则（ ） A. B. 2022 C. D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，类比已知中的过程直接构造方程求解即可. 【详解】类比已知中的过程，可知的值即为方程的解， ，解得：， 即. 故选：D. 8. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】采用捆绑法和特殊位置优先法，结合分步乘法计数原理可求得结果． 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法， 再安排丙和剩余的人，有有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 故选：B． 9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；求出判断CD作答. 【详解】对于A，事件中的每个基本事件是正面向上的点数为1奇1偶，事件中的每个基本事件 是正面向上的点数为1奇1偶或都是偶数，显然事件与可以同时发生，事件与不互斥，A错误； 对于B，，事件与相互不独立，B错误； 对于C，由选项B知，C错误； 对于D，由选项B知，，D正确. 故选：D 10. 如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故选：B 11. 在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表： 女 男 总计 要查看营养说明 15 25 40 不查看营养说明 20 10 30 总计 35 35 70 附：，其中． 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（ ）． A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多 B. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为 C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系 D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由题可得， ∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系. 故选：C. 12. 已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，再借助单调性解不等式作答. 【详解】依题意，令函数，，求导得， 则函数在R上单调递增，， 而，则，因此有，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】曲线 则 所以在点处的切线的斜率为 由点斜式可得 故答案为: 【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题. 14. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 15. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将问题转化为方程有三个实数根的问题，再利用导函研究函数的极值求解作答. 【详解】设过点作曲线的切线的切点坐标为， 由求导得：，则切线斜率， 切线方程为， 于是，整理得， 令，求导得， 由，得或，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 因为过点作曲线的切线有三条，则方程有3个不等实根， 即函数有3个零点，由三次函数的性质知，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 16. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的渐近线交于两点，点在第一象限，两点到轴的距离之和为，若以为直径的圆过线段的中点，则双曲线的离心率的平方为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用中点坐标公式可求得中点的纵坐标；根据点在圆上及可求得，代入直线方程可求得斜率；利用两点连线斜率公式可化简得到，由此可求得，根据双曲线可求得结果. 【详解】由题意可设：直线，，，中点， 两点到轴的距离之和为，； 由得：，， 以为直径的圆的方程为，， 解得：或（舍）； ，解得：； ， ，即，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率问题的求解，解题关键是能够利用直线的斜率为桥梁，分别根据点在直线上和两点连线斜率公式表示出斜率，由此构造等式求得的值. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 求符合下列条件的曲线方程： （1）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程. （2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，求抛物线的方程及点的坐标. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质求出双曲线的焦点和顶点，即可得解． （2）根据抛物线的定义求出，即可求出抛物线方程，再将点坐标代入抛物线方程，求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意，椭圆长轴两个端点为，半焦距为，所以椭圆焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 设双曲线方程为，即、，所以， 所以该双曲线的方程为． 【小问2详解】 抛物线的焦点为，准线为， 因为点在抛物线上且，即，解得， 所以抛物线方程为， 又点在抛物线，所以，解得或（舍去）， 所以. 18. 已知函数 (Ⅰ)当时，求的极值； (Ⅱ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 极小值，无极大值（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)将代入原函数，再对求导，用导数的方法判断的单调性，进而可得出其极值； (Ⅱ)先对求导，根据题意得到在恒成立；分离参数得到在恒成立，再设，只需用导数的方法求出在上的最大值即可. 【详解】解：（I）当时，，， 令，有 随的变化情况如下表： 极小 由上表易知，函数在时取得极小值，无极大值； （II）由，有， 由题设在区间上是增函数，可知在恒成立； 故在恒成立， 设，则只需， ，令，有， 随的变化情况如下表： 极小 又，，故，故 实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型. 19. 一个袋中有2个红球，4个白球. （1）从中取出3个球，求取到红球个数的概率分布及数学期望； （2）每次取1个球，取出后记录颜色并放回袋中. ①若取到第二次红球就停止试验，求第5次取球后试验停止的概率； ②取球4次，求取到红球个数的概率分布及数学期望. 【答案】（1）分布列为： X 0 1 2 P 1； （2）①；②分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式分别计算出红球个数的取值为的概率，即可表示分布列，再利用数学期望的计算公式求得对应期望值； （2）①事件“取到第二次红球就停止试验，第5次取球后试验停止”等价于事件“前4次中恰有一次取出红球，且第5次取出红球”，计算后者独立事件的概率即可； ②利用二项分布的分布计算公式分别计算出红球个数的取值为的概率，即可表示分布列，再利用数学期望的计算公式求得对应期望值. 【小问1详解】 取到红球个数的可能取值为 所以，，， 即分布列为： X 0 1 2 P 故数学期望为：； 【小问2详解】 设“取一次取出红球”为事件A，“取一次取出白球”为事件B，且, ①事件“前4次中恰有一次取出红球”记为C，且与“第5次取出红球”相互独立 则若取到第二次红球就停止试验，第5次取球后试验停止的概率 ②取球4次，求取到红球个数的可能取值为 所以,,，， 即分布列为： Y 0 1 2 3 4 P 故数学期望为： 【点睛】本题考查计算超几何分布以及二项分布概率问题的分布列以及其数学期望，还考查了独立事件的概率运算，属于中档题. 20. 如图，扇形的半径为，圆心角，点为上一点，平面且，点且，面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值的大小． 【答案】（1）证明:连接，设与相交于点，连接， 平面，在平面内，平面平面， ， ，， 在中，由余弦定理可得，， ， 又在中，， 由余弦定理可得， ， ，故， 又平面，在平面内， ， 又， 平面， 平面，平面；     （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与相交于点，连接MN，利用余弦定理可求得，，的长度，进而得到，又，由此可得平面； （2）建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，从而即可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知直线，，两两互相垂直，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则，可取； 设平面的一个法向量为，则，可取， ， 平面与平面所成二面角的正弦值为． 21. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，即可求解； （2）分析出，直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得，令后可得，根据的范围即可求出的范围，进而可求其最大值. 【小问1详解】 由题意可知， 所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆， 则，所以， 因此动点的轨迹的方程是. 【小问2详解】 如图： 不妨设点在轴上方，连接， 因为分别为有中点，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，其方程为，则，， 此时； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 设，，显然直线不与轴重合，即， 联立，得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以，令， 则， 因为，所以， 所以，所以. 综上，，即的最大值为. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据正负确定单调性； （2）参变分离可得，令，利用导数可求得的单调性，从而确定，由此可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知：的定义域为，， ①当时，恒成立，，在上单调递增； ②当时，若，；若，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，即，， 令，则； 令，则， 令，则， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是通过参变分离的方式，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数求解函数的最值参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $