2026年数学中考第二轮专题复习之解答题复习 4 方程(组)与不等式(组)的应用 (题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 4. 方程(组)与不等式(组)的应用 本课题聚焦中考数学解答题的必考中档题型，分值稳定、模型固定、得分可控，以生活实际问题为载体，融合一次方程 (组)、分式方程、一元一次不等式 (组) 建模求解，侧重考查数学建模、运算求解、逻辑推理三大核心素养，是二轮复习必须满分突破的核心题型。 一、题型特点 1. 情境生活化，建模核心化：以工程施工、行程运输、商品利润、购物优惠、物资分配、几何面积为高频背景，要求将文字信息转化为方程或不等式模型，贴合中考 “学以致用” 的命题导向。 2. 设问分层化，梯度清晰化：通常设置 2-3 小问，第 1 问求单价、速度、数量等定值，使用方程 (组)；第 2 问求取值范围或可行方案，使用不等式 (组)；第 3 问求最优方案与最值，难度逐级提升。 3. 评分步骤化，规范刚性化：严格按 “设元→列方程 / 不等式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失任何关键环节都会直接扣分，对解题格式要求极高。 4. 综合度适中，易错点集中：不涉及复杂变形，但陷阱密集，主要集中在分式方程验根、不等号方向、实际意义取舍、整数解枚举，属于典型的 “易做易错题”。 二、答题要点 1. 精准审题，锁定关系：圈画关键词，“共、比、多、少、倍” 对应等量关系，用于列方程；“至少、至多、不超过、不低于” 对应不等关系，用于列不等式。 2. 规范设元，单位统一：明确未知量含义，统一时间、长度、货币等单位，避免因单位不一致导致列式错误。 3. 选对模型，准确列式：和差倍分问题用一次方程 (组)，工作量 / 路程相等问题用分式方程，范围与方案设计用不等式 (组)。 4. 严谨求解，双重检验：分式方程必须检验分母不为 0，所有结果均需检验是否符合实际意义（正整数、非负数、取值范围）。 5. 规范作答，条理清晰：分问作答，方案题完整列举所有可行情况，最值题结合取值范围说明依据。 三、避坑指南 1. 分式方程漏验根：未代入最简公分母验证，保留增根导致结果错误。 2. 不等式变号失误：两边同乘除负数时，未改变不等号方向。 3. 忽视实际意义：人数、件数、长度取负数或小数，未按题意取正整数解。 4. 关键词理解偏差：“不超过”“至少” 对应不等号方向颠倒。 5. 方案列举不全：未找出所有整数解，漏写符合条件的进货或安排方案。 6. 解题步骤缺失：无 “解：设”、无检验过程、无文字作答，丢失步骤分。 本课时作为中考代数应用的核心题型，是方程与不等式建模的集中考查点，也是基础分稳拿的关键。答题与复习需牢牢把握“建模精准、运算规范、检验全面、格式完整”的核心要求：审题时抓准等量与不等关系，列式时选对数学模型，求解时严控运算细节，检验时兼顾数学合理性与实际场景，作答时完整呈现解题全步骤。通过针对性训练强化审题能力、规范解题流程、规避高频易错点，就能稳稳拿下这道解答题的全部分数，为中考数学高分筑牢代数应用的基础防线。 四、真题练习 1.（23-24·陕西中考）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需，当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】 小峰打扫了． 【解析】 设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【解答】 解：设总工作量为，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，由题意得，，解得， 答：小峰打扫了． 2.（24-25·吉林中考）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒元和元．某游客购买了甲、乙两种商品共盒，花费元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】 游客购买甲种商品盒，购买乙种商品盒 【解析】 本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品盒，购买乙种商品盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共盒，花费元”建立方程组求解即可． 【解答】 解：设游客购买甲种商品盒，购买乙种商品盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品盒，购买乙种商品盒． 3.（24-25·甘肃模拟）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴．这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】 该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条； 需要更新设备费用为万元 【解析】 （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新条甲类生产线的设备为万元，则购买更新条乙类生产线的设备为万元，利用用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【解答】 （1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条； （2）解：设购买更新条甲类生产线的设备为万元，则购买更新条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）；   4.（24-25·广西模拟）系文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的倍，芋头糟醅量是第一次的倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】 第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是、公斤． 需要准备公斤大米． 【解析】 （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是、公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【解答】 （1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是、公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是、公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 5.（22-23·湖南中考）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】 解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车． 根据题意，得， 解得． 答：参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车； 租座客车：（辆），所以需租辆，租金为（元）， 租座客车：（辆），所以需租辆，租金为（元）， ， 租用辆座客车更合算． 【解析】 （1）本题中的等量关系为：座客车辆数学生总数，座客车辆数学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解； （2）需要分别计算座客车和座客车各自的租金，比较后再取舍． 【解答】 （1）解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车． 根据题意，得， 解得． 答：参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车； （2）租座客车：（辆），所以需租辆，租金为（元）， 租座客车：（辆），所以需租辆，租金为（元）， ， 租用辆座客车更合算． 6.（24-25·天津模拟）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间 张强离宿舍的距离 1.2 0.6 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为____0.06____； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （2）当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】 ①，，；②；③； 【解析】 （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设与的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【解答】 （1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间 张强离宿舍的距离 故答案为：，，； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：； 当时， ； 当时，设与的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ； 综上，张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 7.（24-25·重庆模拟）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长米的乡村道路进行改造． （1）该工程原计划由甲队单独施工，工期为天．刚开始每天施工米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． （2）由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了米的改造工程，乙队获得了米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工％，结果甲队比乙队晚天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． 【答案】 天 米/天 【解析】 （1）设技术改造前甲队施工了天，则技术改造后的施工时间为天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为米，列出一元一次方程，求解即可； （2）设乙队平均每天施工米，则甲队平均每天施工米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为，列出分式方程，并求解即可，注意检验． 【解答】 （1）解：设技术改造前甲队施工了天，则技术改造后的施工时间为天， 由题意得：， 解得：； 答：技术改造前甲队施工了天； （2）解：设乙队平均每天施工米，则甲队平均每天施工米/天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：乙队平均每天施工米． 8.（24-25·辽宁中考）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多元，购进件种文创产品和件种文创产品共需花费元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共件，且总费用不超过元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】 种文创产品每件的进价为元 小张最多可以购进件种文创产品 【解析】 （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多元，购进件种文创产品和件种文创产品共需花费元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过元，列出不等式进行求解即可． 【解答】 （1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进件种文创产品． 9.（24-25·湖北中考）某商店销售，两种水果．水果标价元／千克，水果标价元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共千克，合计付款元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求水果比水果多买千克，合计付款不超过元．设小明买水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折；一次购买水果不超过千克不优惠，超过千克后，超过千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款元，求的值． 【答案】 购买种水果千克，种水果千克 ①；② 【解析】 （1）设购买种水果千克，种水果千克，根据在这家商店按标价买了，两种水果共千克，合计付款元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买水果千克，则种水果购买了千克，根据要求水果比水果多买千克，合计付款不超过元，再建立不等式求解即可；②设小明买水果千克，则种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【解答】 （1）解：设购买种水果千克，种水果千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买种水果千克，种水果千克． （2）解：①设小明买水果千克，则种水果购买了千克， ， 解得：， 结合实际可得：； ②设小明买水果千克，则种水果购买了千克， ， 解得： 10.（23-24·黑龙江中考）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元，购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为元，特级干品猴头菇每箱售价定为元，全部销售后，获利不少于元，其中干品猴头菇不多于箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有箱样品打（为正整数）折售出，最终获利元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】 特级鲜品猴头菇每箱进价为元，特级干品猴头菇每箱进价为元 有种方案，详见解析 特级干品猴头菇箱，特级鲜品猴头菇箱 【解析】 （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是元和元，根据“购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元，购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于元，其中干品猴头菇不多于箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据中三种方案分别求解即可； 【解答】 （1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是元和元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为元，特级干品猴头菇每箱进价为元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， 为正整数， ， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱； ②购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱； ③购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇箱，特级鲜品猴头菇箱． 11.（22-23·四川中考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） （1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） （2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； （3）在的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】 甲蔬菜，乙蔬菜 【解析】 （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为，即可得出与的函数关系； （3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于元，列不等式求解即可． 【解答】 （1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜； （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 答：与的函数关系为； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，由题意得， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜．   12.（22-23·山东中考）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表： 票的种类 购票人数/人 以上 票价/元 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省元． （1）求两个旅游团各有多少人？ （2）一个人数不足人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买种门票比购买种门票节省？ 【答案】 解：设甲旅游团有人，乙旅游团有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲旅游团有人，乙旅游团有人； 设游客人数为人， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为． 答：当游客人数最低为人时，购买种门票比购买种门票节省． 【解析】 （1）设甲旅游团有人，乙旅游团有人，根据“甲、乙两个旅游团共人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设游客人数为人，根据购买种门票比购买种门票节省，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】 （1）解：设甲旅游团有人，乙旅游团有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲旅游团有人，乙旅游团有人； （2）设游客人数为人， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为． 答：当游客人数最低为人时，购买种门票比购买种门票节省． 13.（24-25·贵州模拟）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知，同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共． （1）求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共条，该车间接到一个订单，要求个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条型生产线？ 【答案】 一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶 至少需要安装条型生产线 【解析】 （1）设一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条型生产线，则安装种生产线条，根据“个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【解答】 （1）解：设一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条型生产线，则安装种生产线条， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 最小取， 答：至少需要安装条型生产线． 14.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】 恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个 至少需要张正方形硬纸片 【解析】 （1）先设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒个，需要张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为 运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【解答】 （1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要个正方形，个长方形，乙种需要个正方形，个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒个． （2）解：设制作乙种纸盒个，需要张正方形硬纸片． 则． 由，知随的增大而增大， 当最小时，有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为 即当时，． 答：至少需要张正方形硬纸片． 15.（23-24·重庆中考）某工程队承接了老旧小区改造工程中平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要两种外墙漆各千克，购买外墙漆总费用为元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多元． （1）求两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】 种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． 甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【解析】 （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多小时．从而建立分式方程求解即可． 【解答】 （1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， 解得 答：种外墙漆每千克的价格为元种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； 解得 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 16.（25-26·江苏模拟）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是___80_____． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值__或或______． 【答案】 购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 ①；②或或 【解析】 （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【解答】 （1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或．   17.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运千克，机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】 机器人每小时搬运千克化工原料，机器人每小时搬运千克化工原料 【解析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人每小时搬运千克化工原料，则机器人每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等建立方程求解即可． 【解答】 解；设机器人每小时搬运千克化工原料，则机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答；机器人每小时搬运千克化工原料，机器人每小时搬运千克化工原料． 18.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【解答】 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 19.（23-24·四川模拟）某超市购进甲、乙两种商品，年甲、乙两种商品每件的进价均为元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降元，乙种商品年每件的进价为元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）年该超市用不超过元的资金一次购进甲、乙两种商品共件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】 乙种商品每件进价的年平均下降率为 最少购进甲种商品件 【解析】 （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为，根据乙商品年的进价为元，经过两次降价后，年的进价为元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过元列出不等式求出的取值范围即可得到答案． 【解答】 （1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ， 解得， 的最小值为，即最少购进甲种商品件， 答：最少购进甲种商品件． 20.（24-25·湖南模拟）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 【答案】 解：设今年龙虾的平均亩产量为，则去年龙虾的平均亩产量为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：今年龙虾的平均亩产量为． 【解析】 设今年龙虾的平均亩产量为，则去年龙虾的平均亩产量为，利用养殖面积总产量平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】 解：设今年龙虾的平均亩产量为，则去年龙虾的平均亩产量为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：今年龙虾的平均亩产量为． 21.（24-25·新疆模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】 解：设型编程机器人模型单价是元，型编程机器人模型单价是元． 根据题意：， 解这个方程，得：， 经检验，是原方程的根， ， 答：型编程机器人模型单价是元，型编程机器人模型单价是元； 设购买型编程机器人模型台，购买型编程机器人模型台， 购买型和型编程机器人模型共花费元， 由题意得：， 解得：， ， 即：， 随的减小而减小． 当时，取得最小值， 答：购买型机器人模型台和型机器人模型台时花费最少，最少花费是元． 【解析】 （1）根据“用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同”列方程求解； （2）先根据“购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解． 【解答】 （1）解：设型编程机器人模型单价是元，型编程机器人模型单价是元． 根据题意：， 解这个方程，得：， 经检验，是原方程的根， ， 答：型编程机器人模型单价是元，型编程机器人模型单价是元； （2）设购买型编程机器人模型台，购买型编程机器人模型台， 购买型和型编程机器人模型共花费元， 由题意得：， 解得：， ， 即：， 随的减小而减小． 当时，取得最小值， 答：购买型机器人模型台和型机器人模型台时花费最少，最少花费是元． 22.（24-25·贵州模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】 解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元； ①设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ， 解得， （为正整数）； ②由①知，，，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 【解析】 （1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为元，根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式； ②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【解答】 （1）解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元； （2）①设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ， 解得， （为正整数）； ②由①知，，，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 23.（23-24·江苏中考）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】 上、下、左、右边衬的宽度分别是 【解析】 本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【解答】 解：由题意，得：，， 与的比是， ， 解得：， 经检验是原方程的解． 上、下、左、右边衬的宽度分别是． 24.（23-24·广西中考）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： （1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ （2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ （3）比较和的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】 只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． 进行两次漂洗，能达到洗衣目标； 两次漂洗的方法值得推广学习 【解析】 （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据的结果得出结论即可． 【解答】 （1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； 只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ， 第二次漂洗： 把，代入， ， 而， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， 从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 25.（22-23·黑龙江中考）某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多元，经计算，用万元购进种家电的件数与用万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共件，总金额不超过元，且种家电不超过件，则该商场有哪几种购买方案？ （3）在的条件下，若和两种家电的售价分别是每件元和元，该商场从这件中拿出两种家电共件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利元，请直接写出这件家电中种家电的件数． 【答案】 种家电每件的进价为元，种家电每件的进价为元 共有三种购买方案，方案一：购进种家电件，种家电件，方案二：购进种家电件，种家电件，方案三：购进种家电件，种家电件 这件家电中种家电的件数件 【解析】 （1）根据题意设种家电每件进价为元，种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可； （2）设购进种家电件，购进种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可； （3）设种家电拿出件，则种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可． 【解答】 （1）设种家电每件进价为元，种家电每件进价为元．根据题意，得 ． 解得． 经检验是原分式方程的解． ． 答：种家电每件的进价为元，种家电每件的进价为元； （2）设购进种家电件，购进种家电件．根据题意，得． 解得． ，． 为正整数，，则， 共有三种购买方案， 方案一：购进种家电件，种家电件， 方案二：购进种家电件，种家电件， 方案三：购进种家电件，种家电件； （3）解：设种家电拿出件，则种家电拿出件，根据和及题意，当购进种家电件，种家电件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进种家电件，种家电件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进种家电件，种家电件时，得： ， 整理得：， 解得：，符合实际；则种家电拿出件． 26.（24-25·山东模拟）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【答案】 ，两种商品每件进价各为元，元； 购进商品的件数最多为件 【解析】 （1）设，两种商品每件进价各为元，元，根据购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元列出方程组求解即可； （2）设购进商品的件数为件，则购进商品的件数为件，根据利润不低于元且购进商品的件数不少于商品件数的倍列出不等式组求解即可． 【解答】 （1）解：设，两种商品每件进价各为元，元， 由题意得，， 解得， 答：，两种商品每件进价各为元，元； （2）解：设购进商品的件数为件，则购进商品的件数为件， 由题意得，， 解得， 为整数， 的最大值为， 答：购进商品的件数最多为件．  27.（24-25·湖南模拟）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元；购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的倍且不超过乙种品牌毽子数量的倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是元，每售出一个乙种品牌毽子利润是元，在的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】 购买一个甲种品牌毽子需元，购买一个乙种品牌毽子需元 共有种购买方案 学校购买甲种品牌毽子个，购买乙种品牌毽子个，商家获得利润最大，最大利润是元 【解析】 （1）设购买一个甲种品牌毽子需元，购买一个乙种品牌毽子需元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【解答】 （1）解：设购买一个甲种品牌毽子需元，购买一个乙种品牌毽子需元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需元，购买一个乙种品牌毽子需元； （2）解：设购买甲种品牌毽子个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，，， ，，， 共有种购买方案． （3）设商家获得总利润为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子个，购买乙种品牌毽子个，商家获得利润最大，最大利润是元． 28.（24-25·湖南模拟）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】 解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元， 由题意得：， 解得：， 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元； 需要购买甲型自行车台，则需要购买乙型自行车台， 由题意得：， 解得：， 答：最少需要购买甲型自行车台． 【解析】 （1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元，根据该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）需要购买甲型自行车台，则需要购买乙型自行车台，根据资金不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】 （1）解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元， 由题意得：， 解得：， 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元； （2）需要购买甲型自行车台，则需要购买乙型自行车台， 由题意得：， 解得：， 答：最少需要购买甲型自行车台． 29.（24-25·安徽模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】 解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是元，乙种书的单价是元； 设该校购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该校最多可以购买甲种书本． 【解析】 （1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】 （1）解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是元，乙种书的单价是元； （2）设该校购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该校最多可以购买甲种书本． 30.（24-25·湖北模拟）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多元． （1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型丝绸共件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． 求的取值范围； 已知型丝绸的售价为元/件，型丝绸的售价为元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 【答案】 一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元 的取值范围为：且为整数；销售这批丝绸的最大利润为元 【解析】 （1）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，然后列方程求解即可； （2）根据题意列出不等式求解即可； 设销售这批丝绸的利润为元，根据题意得，然后利用一次函数的性质求解即可. 【解答】 （1）解：设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， ， 答：一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 的取值范围为：且为整数． 设销售这批丝绸的利润为元， 根据题意得： ， 随的增大而增大， 当时，（元）， 答：销售这批丝绸的最大利润为元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 4. 方程(组)与不等式(组)的应用 本课题聚焦中考数学解答题的必考中档题型，分值稳定、模型固定、得分可控，以生活实际问题为载体，融合一次方程 (组)、分式方程、一元一次不等式 (组) 建模求解，侧重考查数学建模、运算求解、逻辑推理三大核心素养，是二轮复习必须满分突破的核心题型。 一、题型特点 1. 情境生活化，建模核心化：以工程施工、行程运输、商品利润、购物优惠、物资分配、几何面积为高频背景，要求将文字信息转化为方程或不等式模型，贴合中考 “学以致用” 的命题导向。 2. 设问分层化，梯度清晰化：通常设置 2-3 小问，第 1 问求单价、速度、数量等定值，使用方程 (组)；第 2 问求取值范围或可行方案，使用不等式 (组)；第 3 问求最优方案与最值，难度逐级提升。 3. 评分步骤化，规范刚性化：严格按 “设元→列方程 / 不等式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失任何关键环节都会直接扣分，对解题格式要求极高。 4. 综合度适中，易错点集中：不涉及复杂变形，但陷阱密集，主要集中在分式方程验根、不等号方向、实际意义取舍、整数解枚举，属于典型的 “易做易错题”。 二、答题要点 1. 精准审题，锁定关系：圈画关键词，“共、比、多、少、倍” 对应等量关系，用于列方程；“至少、至多、不超过、不低于” 对应不等关系，用于列不等式。 2. 规范设元，单位统一：明确未知量含义，统一时间、长度、货币等单位，避免因单位不一致导致列式错误。 3. 选对模型，准确列式：和差倍分问题用一次方程 (组)，工作量 / 路程相等问题用分式方程，范围与方案设计用不等式 (组)。 4. 严谨求解，双重检验：分式方程必须检验分母不为 0，所有结果均需检验是否符合实际意义（正整数、非负数、取值范围）。 5. 规范作答，条理清晰：分问作答，方案题完整列举所有可行情况，最值题结合取值范围说明依据。 三、避坑指南 1. 分式方程漏验根：未代入最简公分母验证，保留增根导致结果错误。 2. 不等式变号失误：两边同乘除负数时，未改变不等号方向。 3. 忽视实际意义：人数、件数、长度取负数或小数，未按题意取正整数解。 4. 关键词理解偏差：“不超过”“至少” 对应不等号方向颠倒。 5. 方案列举不全：未找出所有整数解，漏写符合条件的进货或安排方案。 6. 解题步骤缺失：无 “解：设”、无检验过程、无文字作答，丢失步骤分。 本课时作为中考代数应用的核心题型，是方程与不等式建模的集中考查点，也是基础分稳拿的关键。答题与复习需牢牢把握“建模精准、运算规范、检验全面、格式完整”的核心要求：审题时抓准等量与不等关系，列式时选对数学模型，求解时严控运算细节，检验时兼顾数学合理性与实际场景，作答时完整呈现解题全步骤。通过针对性训练强化审题能力、规范解题流程、规避高频易错点，就能稳稳拿下这道解答题的全部分数，为中考数学高分筑牢代数应用的基础防线。 四、真题练习 1.（23-24·陕西中考）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需，当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 2.（24-25·吉林中考）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒元和元．某游客购买了甲、乙两种商品共盒，花费元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 3.（24-25·甘肃模拟）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴．这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 4.（24-25·广西模拟）系文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的倍，芋头糟醅量是第一次的倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 5.（22-23·湖南中考）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 6.（24-25·天津模拟）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间 张强离宿舍的距离 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （2）当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 7.（24-25·重庆模拟）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长米的乡村道路进行改造． （1）该工程原计划由甲队单独施工，工期为天．刚开始每天施工米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． （2）由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了米的改造工程，乙队获得了米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工％，结果甲队比乙队晚天完成任务．求乙队平均每天施工的米数. 8.（24-25·辽宁中考）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多元，购进件种文创产品和件种文创产品共需花费元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共件，且总费用不超过元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 9.（24-25·湖北中考）某商店销售，两种水果．水果标价元／千克，水果标价元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共千克，合计付款元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求水果比水果多买千克，合计付款不超过元．设小明买水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折；一次购买水果不超过千克不优惠，超过千克后，超过千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款元，求的值． 10.（23-24·黑龙江中考）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元，购进鲜品猴头菇箱、干品猴头菇箱需元．请解答下列问题： （1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ （2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为元，特级干品猴头菇每箱售价定为元，全部销售后，获利不少于元，其中干品猴头菇不多于箱，该商店有哪几种进货方案？ （3）在的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有箱样品打（为正整数）折售出，最终获利元，请直接写出商店的进货方案． 11.（22-23·四川中考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） （1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） （2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； （3）在的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 12.（22-23·山东中考）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表： 票的种类 购票人数/人 以上 票价/元 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省元． （1）求两个旅游团各有多少人？ （2）一个人数不足人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买种门票比购买种门票节省？ 13.（24-25·贵州模拟）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知，同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共． （1）求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共条，该车间接到一个订单，要求个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条型生产线？ 14.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 15.（23-24·重庆中考）某工程队承接了老旧小区改造工程中平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要两种外墙漆各千克，购买外墙漆总费用为元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多元． （1）求两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 16.（25-26·江苏模拟）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值_______． 17.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运千克，机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 18.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的个矩形地块，请你求出小路的宽度． 19.（23-24·四川模拟）某超市购进甲、乙两种商品，年甲、乙两种商品每件的进价均为元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降元，乙种商品年每件的进价为元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）年该超市用不超过元的资金一次购进甲、乙两种商品共件，求最少购进多少件甲种商品． 20.（24-25·湖南模拟）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 21.（24-25·新疆模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22.（24-25·贵州模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23.（23-24·江苏中考）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 24.（23-24·广西中考）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： （1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ （2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ （3）比较和的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 25.（22-23·黑龙江中考）某商场欲购进和两种家电，已知种家电的进价比种家电的进价每件多元，经计算，用万元购进种家电的件数与用万元购进种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共件，总金额不超过元，且种家电不超过件，则该商场有哪几种购买方案？ （3）在的条件下，若和两种家电的售价分别是每件元和元，该商场从这件中拿出两种家电共件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利元，请直接写出这件家电中种家电的件数． 26.（24-25·山东模拟）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 27.（24-25·湖南模拟）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元；购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的倍且不超过乙种品牌毽子数量的倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是元，每售出一个乙种品牌毽子利润是元，在的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 28.（24-25·湖南模拟）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 29.（24-25·安徽模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 30.（24-25·湖北模拟）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多元． （1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型丝绸共件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． 求的取值范围； 已知型丝绸的售价为元/件，型丝绸的售价为元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $