2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习 7 不等式(组)及其应用 (题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 7. 不等式(组)及其应用 本课题聚焦中考不等式（组）及其应用填空题，结合近年真题考情与二轮复习 “精准提分、规避易错” 的定位，围绕性质运用、解法规范、参数范围、整数解、实际应用五大核心，全面梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生稳拿基础分、突破中档分。 一、题型特点 1. 考点聚焦，基础为主：以不等式基本性质、一元一次不等式（组）的解法、数轴表示解集、含参数取值范围、整数解求解、实际应用建模为核心，题型小巧精炼，基础题与中档题占比高，是中考必考且易得分的填空题型。 2. 形式灵活，综合性强：涵盖直接求解、参数范围判定、整数解计数、新定义运算、实际方案优化等类型，常与平面直角坐标系、分式、二元一次方程、新运算结合命题，侧重知识融合与逻辑判断。 3. 细节关键，容错率低：无选项参考，答案唯一且要求精准，对不等号方向、边界等号、整数解枚举、隐含条件挖掘要求极高，一步失误即导致失分。 4. 贴近生活，应用突出：以商品打折、利润控制、车速限制、物资分配、方案选择等真实情境为背景，强化数学建模与解的合理性检验，贴合中考命题导向。 二、答题要点 1. 严守性质，符号必查：牢记不等式两边同乘或除以负数时，不等号方向必须改变，这是解题的核心前提。 2. 规范解法，步骤到位：解不等式遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1”，去分母不漏乘常数项，移项必变号。 3. 解集确定，口诀活用：利用 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 快速确定不等式组解集。 4. 含参问题，数轴辅助：借助数轴直观呈现解集范围，精准判断参数边界是否取等号。 5. 整数求解，枚举验证：先确定解集范围，再逐一枚举整数解，确保不重不漏。 6. 实际应用，抓关键词：“至少、不少于” 对应≥，“至多、不超过” 对应≤，求解后检验解是否符合实际意义。 三、避坑指南 1. 规避性质误用：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是最常见错误。 2. 防止运算疏漏：去分母漏乘无分母项，移项不变号，系数化为 1 计算错误。 3. 警惕边界失误：含参数问题中，边界等号取舍错误，导致参数范围偏大或偏小。 4. 杜绝整数解错漏：未按解集准确枚举，出现多解、漏解问题。 5. 勿忘隐含条件：与分式结合时，忽略分母不为 0 的限制条件。 6. 慎舍不合理解：实际问题未舍去负数、小数等不符合生活常识的解。 本课时填空题是中考代数基础的核心得分点，以性质为根基、以解法为关键、以边界为难点、以应用为落点。复习时需紧扣 “精准” 二字：熟练掌握性质法则，从根源杜绝符号错误；规范解题步骤，减少运算失误；借助数轴突破含参与整数解难点，严格判断边界；实际问题紧扣关键词，强化解的合理性检验。通过针对性训练，筑牢细节意识、规范意识、检验意识，就能有效避开高频陷阱，稳稳拿下这一板块全部分数，为中考数学夯实代数基础得分防线。 四、真题练习 1.（24-25·山东模拟）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的的值是________________． 2.（24-25·山东模拟）由得到，则的取值范围是__________________________． 3.（24-25·四川模拟）写出一个关于的不等式，使，都是它的解，这个不等式可以为 _______________ 4.（24-25·新疆模拟）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是    ． 5.（24-25·海南模拟）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是  ． 6.（24-25·河南模拟）若是关于的一元一次不等式，则的值为_______________________． 7.（23-24·青海中考）请你写出一个解集为的一元一次不等式_____________． 8.（22-23·辽宁中考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是      ． 9.（22-23·四川中考）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 10.（22-23·湖南中考）关于的不等式的解集为 ． 11.（24-25·广东模拟）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是__________． 12.（23-24·四川模拟）不等式的最大整数解是 ． 13.（24-25·河南模拟）若点在第一象限，则的取值范围是________________． 14.（24-25·四川中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 15.（23-24·内蒙古中考）关于的不等式的解集是_______________，这个不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，则的取值范围是_____________． 16.（22-23·辽宁中考）不等式的解集是____________． 17.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是     ． 18.（22-23·四川中考）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为万元、万元，每亩的销售额分别为万元、万元，如果要求种植成本不少于万元，但不超过万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是______万元．（利润＝销售额-种植成本） 19.（22-23·浙江中考）不等式组的解是       ． 20.（22-23·四川中考）若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是_______． 21.（22-23·黑龙江中考）不等式组的解集是        ． 22.（22-23·山东中考）若不等式组的解集为，则的取值范围是  ． 23.（24-25·安徽模拟）若关于的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 24.（24-25·四川中考）对于、定义了一种新运算，规定．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是___________． 25.（24-25·黑龙江中考）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是____________．  26.（22-23·山东中考）已知不等式组的解集是，则_______． 27.（22-23·广东中考）某商品进价为元，标价元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折． 28.（24-25·甘肃模拟）按如下程序进行运算： 并规定，程序运行到“结果是否大于”为一次运算，且运算进行次才停止．则可输入的整数的个数是________ 29.（23-24·北京模拟）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 现要用甲、乙两种原料共，制作个工艺品，且每种型号至少制作个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为          个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为          ． 30.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是______________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 7. 不等式(组)及其应用 本课题聚焦中考不等式（组）及其应用填空题，结合近年真题考情与二轮复习 “精准提分、规避易错” 的定位，围绕性质运用、解法规范、参数范围、整数解、实际应用五大核心，全面梳理题型特点、答题要点与避坑事项，助力学生稳拿基础分、突破中档分。 一、题型特点 1. 考点聚焦，基础为主：以不等式基本性质、一元一次不等式（组）的解法、数轴表示解集、含参数取值范围、整数解求解、实际应用建模为核心，题型小巧精炼，基础题与中档题占比高，是中考必考且易得分的填空题型。 2. 形式灵活，综合性强：涵盖直接求解、参数范围判定、整数解计数、新定义运算、实际方案优化等类型，常与平面直角坐标系、分式、二元一次方程、新运算结合命题，侧重知识融合与逻辑判断。 3. 细节关键，容错率低：无选项参考，答案唯一且要求精准，对不等号方向、边界等号、整数解枚举、隐含条件挖掘要求极高，一步失误即导致失分。 4. 贴近生活，应用突出：以商品打折、利润控制、车速限制、物资分配、方案选择等真实情境为背景，强化数学建模与解的合理性检验，贴合中考命题导向。 二、答题要点 1. 严守性质，符号必查：牢记不等式两边同乘或除以负数时，不等号方向必须改变，这是解题的核心前提。 2. 规范解法，步骤到位：解不等式遵循 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1”，去分母不漏乘常数项，移项必变号。 3. 解集确定，口诀活用：利用 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 快速确定不等式组解集。 4. 含参问题，数轴辅助：借助数轴直观呈现解集范围，精准判断参数边界是否取等号。 5. 整数求解，枚举验证：先确定解集范围，再逐一枚举整数解，确保不重不漏。 6. 实际应用，抓关键词：“至少、不少于” 对应≥，“至多、不超过” 对应≤，求解后检验解是否符合实际意义。 三、避坑指南 1. 规避性质误用：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是最常见错误。 2. 防止运算疏漏：去分母漏乘无分母项，移项不变号，系数化为 1 计算错误。 3. 警惕边界失误：含参数问题中，边界等号取舍错误，导致参数范围偏大或偏小。 4. 杜绝整数解错漏：未按解集准确枚举，出现多解、漏解问题。 5. 勿忘隐含条件：与分式结合时，忽略分母不为 0 的限制条件。 6. 慎舍不合理解：实际问题未舍去负数、小数等不符合生活常识的解。 本课时填空题是中考代数基础的核心得分点，以性质为根基、以解法为关键、以边界为难点、以应用为落点。复习时需紧扣 “精准” 二字：熟练掌握性质法则，从根源杜绝符号错误；规范解题步骤，减少运算失误；借助数轴突破含参与整数解难点，严格判断边界；实际问题紧扣关键词，强化解的合理性检验。通过针对性训练，筑牢细节意识、规范意识、检验意识，就能有效避开高频陷阱，稳稳拿下这一板块全部分数，为中考数学夯实代数基础得分防线。 四、真题练习 1.（24-25·山东模拟）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的的值是_______（答案不唯一）_________． 【答案】 （答案不唯一，负数即可） 【解析】 当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可． 【解答】 当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使． 2.（24-25·山东模拟）由得到，则的取值范围是___________________________． 【答案】 【解析】 不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变，不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，据此求解即可． 【解答】 解：，， 0 故答案为：0 3.（24-25·四川模拟）写出一个关于的不等式，使，都是它的解，这个不等式可以为 _______（答案不唯一）_________ 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 由，均小于可得，在此基础上求解即可． 【解答】 解：由，均小于可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4.（24-25·新疆模拟）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是    ． 【答案】 【解析】 根据是不等式的解，不是不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 【解答】 解：是不等式的解，， 解得：， 不是这个不等式的解， ， 解得：， ， 故答案为． 5.（24-25·海南模拟）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是  ． 【答案】 【解析】 先解分式方程，再将代入不等式中即可求解． 【解答】 解：， ， ， 解得：， ，， 是分式方程的解， 将代入不等式，得： ， 解得：， 实数的取值范围是， 故答案为：． 6.（24-25·河南模拟）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________-2__________________． 【答案】 【解析】 一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式，据此即可确定的值. 【解答】 解：由题意可得 解得 因为 解得 所以 故答案为 7.（23-24·青海中考）请你写出一个解集为的一元一次不等式______（答案不唯一）________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件． 【解答】 解：解集是的不等式：． 故答案为：（答案不唯一）． 8.（22-23·辽宁中考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是       ． 【答案】 【解析】 根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【解答】 有两个不相等的实数根，，解得， 故答案为． 9.（22-23·四川中考）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 （答案不唯一） ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 解方程组得到的关系式，再根据题目所给的求出取值范围即可得出结论． 【解答】 解： ①-②得：． ， ， 解得． ， ． ， 取整数值， 可取大于的所有整数． 故本题答案为：（答案不唯一）． 10.（22-23·湖南中考）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】 根据一元一次不等式的解法，即可得出答案． 【解答】 解：， 移项，得：， 系数化，得． 故答案为：．  11.（24-25·广东模拟）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】 解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， 不等式组的解集为， 故答案为：． 12.（23-24·四川模拟）不等式的最大整数解是 3 ． 【答案】 【解析】 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【解答】 解：移项，得：，合并同类项，得：， 则不等式的最大整数解为； 故答案为：． 13.（24-25·河南模拟）若点在第一象限，则的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【解答】 解：点在第一象限， ， 解得：， 故答案为：． 14.（24-25·四川中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【解答】 解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 15.（23-24·内蒙古中考）关于的不等式的解集是_______________，这个不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，则的取值范围是_______________． 【答案】 , 【解析】 本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【解答】 解：， ， ， ． 解不等式得：， 不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ， 解得， 故答案为：；． 16.（22-23·辽宁中考）不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 按解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【解答】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 故答案为：． 17.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是   12   ． 【答案】 【解析】 根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且是偶数，则且且是偶数，据此确定符合题意的的值，最后求和即可． 【解答】 解：,解不等式①得 解不等式②得， 不等式组的解集为 ； 解分式方程得 关于的分式方程的解均为负整数， 且是整数, 且且是偶数， 且且是偶数， 满足题意的的值可以为或， 所有满足条件的整数的值之和是． 18.（22-23·四川中考）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为万元、万元，每亩的销售额分别为万元、万元，如果要求种植成本不少于万元，但不超过万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是___125_____万元．（利润＝销售额-种植成本） 【答案】 【解析】 设甲种火龙果种植亩，乙种火龙果种植亩，此项目获得利润，根据题意列出不等式求出的范围，然后根据题意列出与的函数关系即可求出答案． 【解答】 设甲种火龙果种植亩，乙种火龙果种植亩，此项目获得利润， 甲、乙两种火龙果每亩利润为万元，万元， 由题意可知：， 解得：， 此项目获得利润＝＝， 当＝时， 的最大值为＝万元． 19.（22-23·浙江中考）不等式组的解是       ． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解不等式组由①得，；由②得，所以，．   20.（22-23·四川中考）若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案． 【解答】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵ 不等式组的解集为， ∴ ， 解得， 故答案为：. 21.（22-23·黑龙江中考）不等式组的解集是          ． 【答案】 【解析】 根据解一元一次不等式组的步骤，分别解得不等式组中两不等式的解,而后联立整理答案即可. 【解答】 解：解①得，解②得， 故该不等式组的解集为故答案为 22.（22-23·山东中考）若不等式组的解集为，则的取值范围是  ． 【答案】 【解析】 解出不等式，根据不等式解的性质判断的取值范围． 【解答】 解：不等式组，解得， ， ． 故答案为：．  23.（24-25·安徽模拟）若关于的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 或 ． 【答案】 或 【解析】 求出，根据所有整数解的和为，列出关于的不等式组，解得的范围，即可求得答案． 【解答】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 所有整数解的和为， 不等式组的整数解为，，，或，，，，，，， 或， 或， 为整数， 或， 故答案为：或． 24.（24-25·四川中考）对于、定义了一种新运算，规定．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【解答】 解： 关于的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组有个整数解， 整数解为， 解得： 故答案为：． 25.（24-25·黑龙江中考）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有个整数解得到关于的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于的不等式组是解题的关键． 【解答】 解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组恰有个整数解， ， 故答案为：．  26.（22-23·山东中考）已知不等式组的解集是，则___-1_____． 【答案】 -1 【解析】 本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可得到答案. 【解答】 解： 解不等式 ①得： 解不等式 ②得： 不等式组 的解集为 故答案为：-1. 27.（22-23·广东中考）某商品进价为元，标价元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 8.8 折． 【答案】 【解析】 设打折，由题意可得，然后求解即可． 【解答】 设打折，由题意得，解得故答案为． 28.（24-25·甘肃模拟）按如下程序进行运算： 并规定，程序运行到“结果是否大于”为一次运算，且运算进行次才停止．则可输入的整数的个数是___4_____ 【答案】 【解析】 根据程序可以列出不等式组，即可确定的整数值，从而求解． 【解答】 解：根据题意得：第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 根据题意得： 解得： 则的整数值是：，，，． 共有个． 故答案是：． 29.（23-24·北京模拟）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 现要用甲、乙两种原料共，制作个工艺品，且每种型号至少制作个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为     3     个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为    ，，      ． 【答案】 ，， 【解析】 （1）设制作、、三种类型的工艺品分别为个，个，个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设制作、、三种类型的工艺品分别为个，个，个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则、的个数要尽可能的多，的个数要尽可能的少，即可得到． 【解答】 （1）解：设制作、、三种类型的工艺品分别为个，个，个，由题意得，， 解得， 制作型工艺品的个数为个， 故此题答案为：； （2）设制作、、三种类型的工艺品分别为个，个，个，由题意得，， ， ， 使用乙种原料最多， 、的个数要尽可能的少，的个数要尽可能的多， ， 故此题答案为：，，．   30.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【解答】 解：． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $