精品解析：四川资阳市安岳中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（领航班）

高2024级第四学期入学考试 数 学 试 卷 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列性质可得，又，所以，解得， 故选：B. 3. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 4. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值. 【详解】圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得. 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 6. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 7. 如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案. 【详解】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角， 设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，为上异于顶点的任意一点，的内心为，连接MP并延长交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、椭圆的离心率公式、平行线等分线段定理进行求解即可. 【详解】设的内切圆与边切于点，所以该三角形内切圆的半径为， 所以， 过作， 因为，所以， 所以， 由三角形内切圆的性质可知： ， 所以， . 故选：C 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的定义及相关概率公式，可判断选项A和B；根据独立事件概率乘法公式可知C正确；根据对立事件概率公式可求得D正确. 【详解】因为两人射击结果没有相互影响，所以与与，与，与都相互独立，故A正确； 因为表示事件“甲中靶且乙未中靶”，表示事件“乙中靶且甲中靶”，所以这两个事件的并集并非全集， 因此二者不是对立事件，故B错误； 因为与相互独立，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 10. 点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（ ） A. 当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是 D. 设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知C错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知D正确. 【详解】对于A，当点在面上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长， 所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确， 对于B，因为,故与所成角等于与所成角，连接，易知为等边三角形，如下图： 与夹角为，当为中点时，,夹角为，故夹角的取值范围为,B正确， 对于C，易知与平面所成的角均为，如下图所示： 只需保证点在线段上运动即可， 当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可， 此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧， 因此可知点的运动轨迹长度为，即C错误； 对于D，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图： 易知,设, 则 由，得，故, 的长度， 代入，得，当时，最小，最小值为，D正确. 故选：ABD 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（   ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为4 D. 若M为圆上一点，则的最大值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误. 【详解】对于A选项，双曲线，，， 故渐近线方程为，即，双曲线，，， 故渐近线方程，即，故A正确； 对于B选项，由题意可得，， 由双曲线的定义可得， 因为，，故的周长为，故B正确； 对于C选项，点P为C右支上一动点，设， 则，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，圆的圆心的坐标为，半径为， 易知为双曲线的左焦点，故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式可得. 【详解】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性， 得 ． 故答案为：. 13. 已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设到轴的距离为，过点作⊥准线于点，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，， 则，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故答案为： 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知的圆心在y轴上，且经过点和 （1）求的标准方程； （2）过点的直线l与交于A，B两点.若，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设：，结合题意建立关于b、r的方程组，解之即可得到本题的答案； （2）根据直线l的斜率是否存在进行讨论，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式加以计算，可得直线l的方程． 【小问1详解】 设：， 根据题意，得,解得, 所以的标准方程为； 【小问2详解】 ①当过点的直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 此时直线l与相交于、，可得，符合题意； ②当过点的直线l与x轴不垂直时， 设l：，即, 由直线l被截得的弦长， 可知点到直线l的距离d满足，解得， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即, 综上所述，直线l的方程是或 . 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. 【小问2详解】 由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 17. 第15届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门共同举行，为引导学生重温全运会的精彩瞬间，某校举行了与全运会相关的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值；并估计抽取的100名同学成绩的平均数（同一组数据用该组的中间值代替）； （2）在、两组中，采用分层抽样的方法，从中抽取5人，求在、两组中应分别抽取几人？若从抽取的5人中，再随机选出2人，求选出的2人均来自的概率． 【答案】（1）， （2）4，1， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为求出a的值，再利用平均数的计算方法求解即可； （2）根据分层抽样的特点求出各层抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意知，所以， ； 【小问2详解】 的频率为，的频率为， 所以在中应抽取的人数为（人）． 在中应抽取的人数为（人）． 在抽取4人，记作，在抽取1人，记作E． 在这5人中随机选出2人的所有可能为： ，，，，，，，，，，共10种， 其中选出的2人均来自的有：，，，，，，共6种， 即所求概率为． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，. （1）求证：平面平面； （2）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，则需要通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面. （2）选条件①，顶角不确定，由无法求出，则都不确定；选条件② ，取中点，连接，过点作交于点，证明平面，然后建立空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；选条件③ 取中点，连接，过点作交于点，先证明和都是直角三角形，然后建立空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. 【小问1详解】 因为四边形是矩形， 所以，又平面平面， 且平面与平面相交于， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 选条件①，由（1）知，，在等腰中，顶角不确定， 由无法求出，则都不确定，因此不能求出二面角的大小，即①不可选. 选条件② ，取中点，连接，过点作交于点， 由（1）知，平面，所以. 因为矩形中，，所以平面，所以， 所以和都是直角三角形. 因为，所以. 因为，所以. 因为，为中点， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，因为平面，所以， 因，所以， 所以如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为. 设平面法向量，，， 由，可以取. 设平面与平面的夹角为， 则. 因为，所以平面与平面的夹角为. 选条件③ 取中点，连接，过点作交于点， 由（1）知，平面， 因为矩形中，，， 所以平面， 所以和都是直角三角形， 因为，，所以， 又，，所以， 所以在直角三角形中，， 所以如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 又平面， 所以平面， 所以平面一个法向量为. 设平面法向量，，， 由，可以取. 设平面与平面的夹角为， 则. 因为，所以平面与平面的夹角为. 19. 已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点是的重心，求直线的方程； （3）设线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点使为定值?若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存，4 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过的点，离心率及列方程组，解出即可求出答案； （2）设直线，，，联立椭圆方程与直线方程，利用韦达定理得到，进而求得，根据重心的性质列方程组，求解即可求出答案. （3）利用三角形面积公式求得，利用基本不等式求出三角形面积的最大值，及满足的条件，求出点，可得点在椭圆上，根据椭圆的定义即可求出两定点及定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，且离心率为， 则，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程：， 消去，得， ，即， 则，， 则， 因为点是的重心， 所以，解得， 因此，直线的方程为. 【小问3详解】 由（2），，， 点到直线的距离， 所以 ， 其中， 因为， 当且仅当即时等号成立， 因此，面积的最大值为2，且. 由（2）可知，线段的中点， 所以， 于是， 即， 所以点在椭圆上， 由椭圆定义可知，存在两定点为， 使为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级第四学期入学考试 数 学 试 卷 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，则等于（ ） A B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6 6. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 7. 如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的两个焦点，为上异于顶点的任意一点，的内心为，连接MP并延长交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 10. 点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（ ） A. 当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是 D. 设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（   ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则周长为 C. 若，则面积为4 D. 若M为圆上一点，则的最大值为8 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 13. 已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知的圆心在y轴上，且经过点和 （1）求的标准方程； （2）过点的直线l与交于A，B两点.若，求直线l的方程. 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 第15届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门共同举行，为引导学生重温全运会的精彩瞬间，某校举行了与全运会相关的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值；并估计抽取的100名同学成绩的平均数（同一组数据用该组的中间值代替）； （2）在、两组中，采用分层抽样的方法，从中抽取5人，求在、两组中应分别抽取几人？若从抽取的5人中，再随机选出2人，求选出的2人均来自的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面矩形，，. （1）求证：平面平面； （2）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点是的重心，求直线的方程； （3）设线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点使为定值?若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $