精品解析：四川宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题

宜宾市一中2023级高二学年下期入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个向量，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 36 B. 64 C. 72 D. 88 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 11. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（ ） A. 在线段上存在一点，使得 B. 三棱锥的体积为 C. 与平面所成角的余弦值的最小值为 D. 若平面，则平面与正方体的截面面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个向量，则__________. 13. 已知圆，直线与圆交于两点，则的面积等于____________. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求； （2）若，记，求的值. 16. 已知抛物线的焦点为，点在上. （1）求焦点的坐标及的值； （2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. （1）若，求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆过点，且的离心率为. （1）求的方程； （2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点. ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 19. 若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”. （1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对； （2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由； （3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2023级高二学年下期入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一般式中斜率的计算公式即可求解. 【详解】的斜率为， 故选：B 2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与直线平行的直线可设为，带点即可解出. 【详解】设与直线平行的直线可设为，因为点在上， 所以，所以方程为. 故选：A. 3. 已知两个向量，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 36 B. 64 C. 72 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得，故， 进而可得，故， 故选：C 5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的斜率为即可求解. 【详解】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故， 故选：A 6. 已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当直线时，弦的长最短，利用即可求出直线的斜率. 【详解】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有， 可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为， 则有，因为，所以，所以， 直线的方程为. 故选：D. 7. 在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则，即， 所以，， 因为、分别为、的中点， 同理可得， 故选：C. 8. 已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对各内角为直角进行分类讨论，分析可知直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点， 当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点， 由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角， 此时，，则点在以线段为直径的圆上， 且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为， 所以，直线与圆相切， 直线的一般方程为，则，解得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD. 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 11. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（ ） A. 在线段上存在一点，使得 B. 三棱锥的体积为 C. 与平面所成角的余弦值的最小值为 D. 若平面，则平面与正方体的截面面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线判断A；求出平面的法向量，求出点到平面距离及线面角的正弦判断BC；取中点并作出过点的截面正六边形，证明垂直于该截面并求出面积判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点， 对于A，，当时，与不共线， 当时，与不共线，因此不平行，A错误； 对于B，，设平面的法向量为， 则，令，得，点到平面的距离， ，， 则，， 因此三棱锥的体积，B正确； 对于C，，设与平面所成的角为，则， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确； 对于D，，取中点，过点的平面截正方体 的截面为正六边形， ，则，， 于是，而，平面，则垂直于该截面，该截面与的交点为， 因此平面，截面正六边形的面积为，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 13. 已知圆，直线与圆交于两点，则的面积等于____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【详解】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为：. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程，结合三角形内切圆性质得，设直线的倾斜角为，则，进而求得，，最后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，， 因为在轴上，所以， 所以 ， 所以，，， 双曲线的方程为：， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，， 设，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得， 所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为， 要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有， 在，中， 有，， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立． 故答案为： 【点睛】结论点睛：双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上右支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为，为双曲线上左支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求； （2）若，记，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得，. 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由题意知，则， 数列是首项为，公比为的等比数列， 又因为，所以，. 16. 已知抛物线的焦点为，点在上. （1）求焦点的坐标及的值； （2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【答案】（1）的坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【小问1详解】 由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. 【小问2详解】 由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. （1）若，求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，即可根据勾股定理求解长度证明，即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：正三棱柱平面平面. 为正三角形，为中点，. 又平面平面平面.又平面， . . 所以，. . 又平面,故平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆过点，且的离心率为. （1）求的方程； （2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点. ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）①； ②证明:由 . 为定值. 【解析】 【分析】（1）代入坐标以及离心率公式即可联立方程求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式列出方程，求解即得在轴上的截距；根据斜率公式化简，将韦达定理代入计算即可求得定值. 【小问1详解】 由题意可知 解得. 故的方程为. 【小问2详解】 ①由题意知.则直线的方程为. 设平行于直线的直线的方程为. 联立，消去得：. ，解得：. 设与椭圆的交点坐标为， . . 又直线与直线的距离， 由于以线段为直径的圆与直线相切，则， 即. 解得.经检验：， 故在轴上的截距为； ②略 【点睛】关键点点睛：以线段为直径的圆与直线相切，则，根据求出的值即得；对于定值问题，一般需要等价转化，利用韦达定理代入，推理计算可得. 19. 若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”. （1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对； （2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由； （3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求的最大值. 【答案】（1）、 （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸正整数数列”的定义可得出关于、的不等式组，结合不等式的基本性质可求出的取值范围，求出正整数值，进而可得出正整数的值，即可得出数对； （2）由已知化简得出，利用累加法求出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可得出结论； （3）由“下凸正整数数列”的定义可得出，令，可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得出，利用累加法可得出，然后解不等式，可得出，然后取，验证，即可得出结果. 【小问1详解】 因为数列为“下凸正整数数列”，则， 所以，，可得， 又、，当时，或，当时，不符合题意. 即所求的数对有、. 【小问2详解】 数列是“下凸正整数数列”，理由如下： 因为，所以，. 对任意的，所以，，即，且. 则当时，，，，，， 累加得，则， 也满足，故对任意的，. ①由可知是正整数， ②因为， 其中且， 即成立，综合①②可得数列是“下凸正整数数列”. 【小问3详解】 因为， 对任意的，令， 则且，故对任意的恒成立， 当，，，时， 因为， 所以，， 此时，， 即，解得，故. 若取，则对任意的，， 此时，数列为“下凸正整数数列”，且，即符合题意. 综上，的最大值为. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现时，构造等差数列； （2）当出现时，构造等比数列； （3）当出现时，用累加法求解； （4）当出现时，用累乘法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $