精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

安岳中学高2023级第四学期入学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分； 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 3. 已知数列满足：，若，则（   ） A. B. C. D. 4. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 6. 已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知正项数列满足，若，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等差数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递增数列 10. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 11. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ） A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数 B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数 C. D. 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点．记，若，则______． 13. 已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____． 14. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 四、解答题 15. 设是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值. 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式； 18. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面ABC； （2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2023级第四学期入学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分； 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可以通过直线与直线得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以或． 当时，重合； 当时，，，符合题意． 综上. 故选：B. 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【详解】由已知，， 所以，故． 故选：D 3. 已知数列满足：，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 4. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件的概率公式即可求解； 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 6. 已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，，计算二者的数量积，即可得答案. 【详解】设中点为，中点为， 由正三棱柱性质知底面，底面， 则，， 又底面是等边三角形，是中点， 则． 以为原点，，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的棱长都为2， 则，，，， ∴，，则 ∴， 即异面直线和成角的余弦值为0, 故选：A. 7. 已知正项数列满足，若，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程组法求得时，进而，结合求解即可. 【详解】因为， 当时，， 两式相减得：，， 当时，，，又，解得. 故选：B 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等差数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 10. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确. 【详解】由双曲线方程知：，抛物线， 对于A，设，则，解得：，A正确； 对于B，抛物线准线方程为：，由得：， 准线被双曲线截得的线段长度为，B错误； 对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为， 又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径， 该圆的面积，C正确； 对于D，设和在准线上的投影分别为， 由抛物线定义知：， 则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合）， 又，， 周长的最小值为，D正确. 故选：ACD. 11. 一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（ ） A. ，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数 B. ，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由中位数的概念，百分位数的计算公式、平均数的计算及方差计算公式逐个判单即可； 【详解】的中位数为的中位数为，A正确； ，所以的分位数为，所以的分位数为，B错误； 因为，所以，C正确； 由，化简可得，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点．记，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，由向量的线性运算分解向量结合已知条件即可. 【详解】如图所示： 设，因为 ， 又已知，所以，，． 又因为，所以． 故答案为: . 13. 已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解. 【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 四、解答题 15. 设是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值. 【答案】（1） （2）有最小值，没有最大值. 【解析】 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【小问1详解】 不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，所以，对称轴为， 所以当时，有最小值，没有最大值. 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）32.25岁；37.5 （2）（ⅰ），（ⅱ）10 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图求平均数再求百分位数即可； （2）先应用古典概型计算概率，再应用分层抽样求平均数和方差公式计算方差. 【小问1详解】 设这人的平均年龄为，则（岁） 设第80百分位数为，分数低于35分占， 分数低于40分占，故， 所以，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙， 对应的样本空间为： ， 共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则， 共有9个样本点， 所以，． （ⅱ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35至45岁的所有人的年龄方差约为10． 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式； 【答案】证明见解析，，. 【解析】 【分析】，化简可得，即可证得成等差数列，利用与的关系化简可得进而证得为等比数列，利用通项公式求得结果. 【详解】因为，则， 所以为首项为1，公差为2的等差数列， 有，； 又，则时，，相减得，， 则有，而，即，即为首项为-1，公比为2的等比数列， 所以. 18. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面ABC； （2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论. （2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性. 【小问1详解】 由知：四边形为菱形． 连接，则，又且， ∴平面，平面，则； 又，即，而， ∴平面，而平面ABC， ∴平面平面ABC． 【小问2详解】 以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵，，， ∴，，，． 设在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的余弦值为，则， 所以，． 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则． 故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为． 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $