精品解析：广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷

高一级开学考试数学科试卷 （2025-2026学年度第二学期） （考试时间：120分钟，满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，或，则( ) A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴和集合间的并运算即可求解. 【详解】在数轴上分别表示集合和，如图所示， 则或. 故选：A. 2. 命题“对于任意的”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】按含有一个量词的命题的否定步骤“改变量词，否定结论”进行即可. 【详解】命题“对于任意的”的否定是“存在”. 3. 函数是（ ） A. 奇函数，在区间上单调递增 B. 奇函数，在区间上单调递减 C. 偶函数，在区间上单调递增 D. 偶函数，在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】令，， 又，所以函数是奇函数； 因为和均是R上的增函数，所以函数在上单调递增. 4. 已知不等式的解集是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由不等式解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 5. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 6. 已知且，函数，在R上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的性质，列式求解. 【详解】由条件可知，，单调递增，所以， ，单调递增，所以， 且当时，，解得：， 综上可知，. 故选：D 7. 若，，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据，进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基本关系求得答案. 【详解】，又∵，∴. 又∵，∴， 于是 ，易得，则. 故选：B. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，即，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 如图是函数的部分图象，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图像先求的解析式，利用图像的平移变换得，进而逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：，即，解得， 又当时，，解得，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 则函数是奇函数，故A正确； 令，解得，则对称轴是， 令，得，故B正确； 令，解得，所以对称中心是，故C错误； 令，解得， 单调递减区间为，故D正确. 11. 若，函数恰有4个零点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据单调性可判断在上的零点个数，进而可知在上的零点个数，整体法可求得余弦型函数中的范围，根据余弦曲线在该范围内的零点个数可得到一个不等式，解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，使得，函数在上只有1个零点， 要使函数恰有4个零点，则函数在上只有3个零点. 由，得， 则，解得． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】平方得 13. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足，则f(x)的单调递减区间是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定a的值，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－ (舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【点睛】本题考查复合函数单调性以及指数函数单调性,考查基本求解能力. 14. 已知为正数，且，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简得出关于的一元二次方程，利用求解. 【详解】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【详解】（1） ； （2）由题意得，原式 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）讨论的奇偶性； （3）证明：． 【答案】（1） （2）偶函数 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求得函数的定义域； （2）根据函数奇偶性的定义分析判断即可； （3）当时，根据指数函数的性质和幂函数的性质可得，再根据偶函数的性质可证得结论. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以的定义域为； 【小问2详解】 由（1）知，的定义域关于原点对称． 因为 ， 所以为偶函数； 【小问3详解】 证明：因为当时，，所以， 所以， 因为当时，， 所以，所以当时，， 因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称， 所以当时，也成立． 故对于，恒有． 【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数性质的应用，考查函数奇偶性的判断，第（3）问解题的关键是利用偶函数的性质结合指数函数的性质求解，考查计算能力，属于中档题. 17. 设函数． （1）求函数的最大值及此时的取值集合； （2）设为的三个内角，已知，且为锐角，求的值． 【答案】（1），取值集合为 （2） 【解析】 【详解】由题意得， 当时，， 此时，的取值集合为， ， 为锐角，， 由得， . 18. 已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期性及对称中心求出的解析式； （2）令，利用二次函数性质求解最小值即可； （3）根据三角函数图像变换求得，（法一）利用三角函数的性质直接求出即可. （法二）利用换元法，结合三角函数图象的对称性求得的值. 【小问1详解】 由题意，函数， 因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以最小正周期，可得， 因为函数的图象关于点对称，所以图象过点，可得， 所以，因为，所以，所以函数. 【小问2详解】 ， 令， 则，所以原函数可化为， 因为对称轴直线，所以当时，， 当时，， 即的值域是. 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， （法一）由方程，可得，所以或， 即或，因为，且， 所以符合题意， 所以 （法二）对于方程，方程的根可以转化成在区间上的零点，由的图象可知函数有6个零点，且相邻的两个零点关于对称轴对称. 令，得， 因为，所以这五条对称轴分别为， 所以 . 19. 已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． （1）若，求函数的最值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若对于，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值为，最大值为3； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得函数的单调性，进而求解最值； （2）转化问题为不等式对于恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）转化问题为，由（1）可得函数，时的最大值，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数最小值为，最大值为3； 【小问2详解】 由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， ①若，，则，而，不符合题意. ②若，易知开口向上，对称轴， 所以， 则，即，不符合题意； ③若， 当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 解不等式得 ，结合本情形的条件可得 ； 综上所述，实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一级开学考试数学科试卷 （2025-2026学年度第二学期） （考试时间：120分钟，满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，或，则( ) A. 或 B. C D. 或 2. 命题“对于任意的”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的恒成立 3. 函数是（ ） A. 奇函数，在区间上单调递增 B. 奇函数，在区间上单调递减 C. 偶函数，在区间上单调递增 D. 偶函数，在区间上单调递减 4. 已知不等式的解集是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 5. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 6. 已知且，函数，在R上单调递增，那么实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 如图是函数部分图象，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的单调递减区间为 11. 若，函数恰有4个零点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____________. 13. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足，则f(x)的单调递减区间是________． 14. 已知为正数，且，则的取值范围是___________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知，求的值． 16. 已知函数． （1）求定义域； （2）讨论的奇偶性； （3）证明：． 17. 设函数． （1）求函数的最大值及此时的取值集合； （2）设为的三个内角，已知，且为锐角，求的值． 18. 已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 19. 已知在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数． （1）若，求函数最值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若对于，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $