精品解析：河南焦作市第一中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

2025级高一下学期3月月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A B. 2 C. D. 1 3. 从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 6. 已知函数为偶函数，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（ ） A. 方程仅有2个解 B. 方程可能有4个解 C. 方程可能有10个解 D. 方程有且仅有1个解 8. 已知，不等式在中的整数解有个.关于的个数，以下不可能的是（ ） A. 1014 B. 1013 C. 507 D. 0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线与y轴无公共点 B. 曲线关于原点对称 C. D. 不存在， 11. 如图所示，函数的图象经过三点，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 将，，，按由大到小的顺序排列为_____________． 13. 已知一组数据：，则这组数据方差为_____. 14. 设函数，且恒有，则最大值是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为． （1）求的值； （2）求的值． 16. 甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． （1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ （2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 17. 2025年11月16日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当销售量为8万件时，利润是多少？ （2）求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； （3）销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一正零点，并比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期3月月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求出集合，结合交集的概念求解即可. 【详解】由题意知. 因为，所以. 故选：C. 2. 一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. 3. 从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下和，再统计满足的情况数，最后用古典概型公式计算概率. 【详解】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 【点睛】直接通过枚举法快速判断的条件，可简化计算. 4. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线，， 由图知，即． 故选：D 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ） A. 该组数据的平均数为7，众数为 B. 该组数据的第60百分位数为6 C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 6. 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 7. 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（ ） A. 方程仅有2个解 B. 方程可能有4个解 C. 方程可能有10个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 8. 已知，不等式在中的整数解有个.关于的个数，以下不可能的是（ ） A. 1014 B. 1013 C. 507 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知有，结合正切函数的周期性研究与直线整数交点的个数，再应用分类讨论研究直线与所包围的区域（不含边界）内的整点个数，即可得. 【详解】因为，所以， 因为函数的周期为4，先考虑一条直线与函数的整数交点. 注意到在一个周期内，可能存在的整点有1，3，4，可得，以下分情况讨论： ①当时，，，有506个整点； ②当时，，，有506个整点； ③当时，，，有507个整点； 再考虑直线与所包围的区域（不含边界），注意到区间的长度为2. 当时，则可能，就有个整点； 也可能，就有个整点；故B可能； 当时，，就有506个整点， 当时，，就有507个整点，故C可能； 当或时，中没有元素，就有0个整点，故D可能， 综上，不可能只有A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线与y轴无公共点 B. 曲线关于原点对称 C. D. 不存在， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义域可判断A；根据函数为奇函数可判断B；举反例可判断C；根据函数的值域可判断D. 【详解】对于A项，由可知，所以， 即其定义域为，故A正确； 对于B项，， ， ，显然， 所以为奇函数，故B正确； 对于C项，当时，，故C错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则， 故不存在，，故D正确. 11. 如图所示，函数的图象经过三点，则（ ） A. B. C. D. 上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】先代入已知点求解的参数，再逐一验证选项. 【详解】由过点可得，解得， 由过点可得，令， 则，结合图象趋势可知， 所以，即， 再由图象可知周期且，所以， 所以，所以. 所以，， 对于A：，A正确； 对于B、C：由上推导可知，B正确，C错误； 对于D：由得， 因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，在单调递减，D错误； 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 将，，，按由大到小的顺序排列为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角的范围和正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】，，且， 函数在上单调递增，且， ， 即． 故答案为： 13. 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：先计算平均数再应用方差公式计算求解；方法二：应用特殊值法计算求解. 【详解】方法一：，，，，的平均数， 所以方差为 . 方法二（特殊值法）： 令，则，，，，与1，2，3，4，5的方差是一样的， 经计算得平均数，这组数据的方差为. 故答案为:2. 14. 设函数，且恒有，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数在定义域上恒非正的条件：当时，故需即；当时，故需即；从而，代入所求式后可通过换元与均值不等式求出其最值. 【详解】函数定义域为，17是奇数，故的符号与一致； 是增函数， 当时，，， 要使恒成立， 需对所有成立，得； 当时，，，要使恒成立， 需对所有成立，得， 因此得， 将代入目标式：， 令，则， 代入得： 当时，由基本不等式（当且仅当取等号）， 则： 当时，，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义，得的值，即可求得； （2）利用诱导公式进行化简，结合（1）的结论可得. 【小问1详解】 由三角函数的定义知， ， ． 【小问2详解】 因为，， ， ，， 所以，. 所以． 16. 甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． （1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ （2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 【答案】（1）甲应该分得元，乙分得元； （2）“三局两胜” 对甲有利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分局，局比赛，求出甲获胜的概率，从而得到最终甲获胜的概率，根据甲、乙最终获胜的概率分钱； （2）分别算出两种情况的甲获胜的概率，然后作差比大小，决定最后的有利情况. 【小问1详解】 若两局比完，甲第局获胜，概率为； 若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为； 故比完比赛，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 因此甲应该分得元，乙分得元. 【小问2详解】 “三局两胜” 对甲有利，理由如下： “一局定胜负”甲获胜的概率是； “三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次， 则概率为. 因为， 而且，故，即， 即，于是“三局两胜”更有利. 17. 2025年11月16日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入100万元．经调研发现当该套产品销售量不超过20万件时，进价是每套产品30元，若以50元的单价出售，销量不超过10万件；且在售价50元的基础上，每降价1元，销量在10万件的基础上增加1万件；当销售量在20万件以上时，则销售额（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当销售量为8万件时，利润是多少？ （2）求利润（万元）关于销售量（万件）的函数解析式； （3）销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）60万元 （2） （3）销售量为15万件，最大利润为125万元 【解析】 【分析】（1）依题意，直接列式计算即可； （2）分为，，三种情况求解； （3）分段讨论，结合函数的单调性，求解最大值. 【小问1详解】 依题意，当销售量为8万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，则销售单价元， 所以； 当时，； 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 则时，利润最大，最大利润是100万元； 当时，， 则时，利润最大，最大利润125万元； 当时，， 令且， 则 , 因为，所以， 因为，则，， 则，从而， 则，即， 所以，当时单调递减，则， 因为，所以当销售量为15万件时，利润最大，最大利润为125万元. 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】（1）为定值，定值为 （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. 【小问2详解】 ， ，得证. 【小问3详解】 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $