6.1平方根、立方根 题型突破 2025-2026学年沪科版七年级数学下册（六题型）

6.1平方根、立方根题型突破2025-2026学年 沪科版七年级下册（九题型） 题型一：平方根 1.下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有互为相反数的两个平方根 B．零的立方根是零 C．的平方根就是 D．无理数就是带根号的数 2.关于式子（为实数），下列结论中错误的是（    ） A．式子一定有平方根 B．当时，式子有最小值 C．无论为何值，式子的值一定是有理数 D．式子的算术平方根一定大于等于1 3.的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 4.（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 5.若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 题型二：算术平方根 1.3的算术平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D． 2.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3 3.算术平方根等于它本身的数是（   ） A．1和0 B．0 C．1 D．和0 4.若一个数的算术平方根为4，则这个数是（    ） A．2 B． C．16 D． 5.已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 题型三：立方根 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 2.有下列说法 ①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③±4；④﹣0.081的立方根是﹣0.9；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9，其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 3．的值是 ． 4．的立方根是 ；的立方根是 ． 题型四：由算术平方根的非负性求值 1.若，则a的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 2.若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 3.若|x2﹣25|0，则x＝　 　，y＝　 　． 4.如果，则的值为 ． 5.已知，求的平方根． 题型五：估算算术平方根的取值范围 1．估计的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．8和9之间 D．7和8之间 2.在什么范围（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4.若，且、为连续正整数，则= 5.在数轴上表示，的两点之间，整数点有 个． 题型六：平方根、立方根的规律探究 1.如果，，那么约等于（　　） A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3 2.已知1.038，2.237，4.820，则　 　． 3.若，，则的值为 ． 4.已知， ，那么 ． 5.若，，则 ． 题型七：求未知数的值 1．已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 2．若，则a等于（　　） A．2 B． C． D．2或 3．方程8x3+125＝0的根是 ． 4．方程 的解＝ ． 5.解方程： (1)； (2)． 题型八：有关平方根和立方根的综合问题 1．已知2a﹣1的算术平方根是3，a﹣b+2的立方根是2，求a﹣4b的平方根． 2．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根． 3．已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根． 4．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求a+b的算术平方根． 5.（1）若x，y为实数，且x4，求（x﹣y）2的平方根； （2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 题型九：有关平方根、立方根的应用题 1.从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式s2＝17h来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，1.4） 2.在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 3.某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：t2，其中d（km）是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果如有根号，请保留根号） （2）如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？ 4.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长； （2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】 6.1平方根、立方根题型突破2025-2026学年 沪科版七年级下册（九题型） 题型一：平方根 1.下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有互为相反数的两个平方根 B．零的立方根是零 C．的平方根就是 D．无理数就是带根号的数 【答案】B 2.关于式子（为实数），下列结论中错误的是（    ） A．式子一定有平方根 B．当时，式子有最小值 C．无论为何值，式子的值一定是有理数 D．式子的算术平方根一定大于等于1 【答案】C 3.的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 4.（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 【答案】B 5.若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 【答案】D 题型二：算术平方根 1.3的算术平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D． 【答案】D． 2.下列说法正确的是（　　） A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是±3 【答案】C． 3.算术平方根等于它本身的数是（   ） A．1和0 B．0 C．1 D．和0 【答案】A 4.若一个数的算术平方根为4，则这个数是（    ） A．2 B． C．16 D． 【答案】C 5.已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 题型三：立方根 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 2.有下列说法 ①36的平方根是6；②9的平方根是3； ③±4；④﹣0.081的立方根是﹣0.9；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9，其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A． 3．的值是 ． 【答案】 4．的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 题型四：由算术平方根的非负性求值 1.若，则a的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 2.若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 3.若|x2﹣25|0，则x＝　 　，y＝　 　． 【答案】±5，3． 4.如果，则的值为 ． 【答案】 5.已知，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得： ， ∴， ∴的平方根为． 题型五：估算算术平方根的取值范围 1．估计的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．8和9之间 D．7和8之间 【答案】B 2.在什么范围（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 4.若，且、为连续正整数，则= 【答案】 5.在数轴上表示，的两点之间，整数点有 个． 【答案】5 题型六：平方根、立方根的规律探究 1.如果，，那么约等于（　　） A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3 【答案】C． 2.已知1.038，2.237，4.820，则　 　． 【答案】﹣22.37． 3.若，，则的值为 ． 【答案】 4.已知， ，那么 ． 【答案】0.04147 5.若，，则 ． 【答案】17.32 题型七：求未知数的值 1．已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 【答案】D 2．若，则a等于（　　） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 3．方程8x3+125＝0的根是 ． 【答案】- 4．方程 的解＝ ． 【答案】 5.解方程： (1)； (2)． 【答案】 （1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 题型八：有关平方根和立方根的综合问题 1．已知2a﹣1的算术平方根是3，a﹣b+2的立方根是2，求a﹣4b的平方根． 【答案】解：∵2a﹣1＝32， ∴a＝5， ∵a﹣b+2＝23， ∴b＝﹣1， ∴±±±±3． 2．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根． 【答案】解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0， 解得：a＝﹣4， ∵b的立方根是﹣2， ∴b＝（﹣2）3＝﹣8， ∴4， ∴4的平方根为±2． 答：的平方根为±2． 3．已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根． 【答案】解：∵a﹣2的平方根是±2， ∴a﹣2＝4， ∴a＝6， ∵2a+b+7的立方根是3， ∴2a+b+7＝27． 把a的值代入解得：b＝8， ∴a2+b2＝36+64＝100， ∵100的算术平方根为10， ∴（a2+b2）的算术平方根为10． 4．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求a+b的算术平方根． 【答案】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵3a+b+10的立方根是3， ∴3a+b+10＝27， ∴15+b+10＝27， ∴b＝2； （2）把a＝5，b＝2代入a+b得：a+b＝5+2＝7， a+b的算术平方根是． 5.（1）若x，y为实数，且x4，求（x﹣y）2的平方根； （2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 【答案】解：（1）由题意得：， 解得y＝3， ∴x＝4， ∴（x﹣y）2＝1， ∴（x﹣y）2的平方根是±1． （2）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得 x﹣2＝4，2x+y+7＝27， 解得x＝6，y＝8． ∴x2+y2＝100， ∴x2+y2的算术平方根是10． 题型九：有关平方根、立方根的应用题 1.从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式s2＝17h来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，1.4） 【答案】解：∵眼睛距离海平面的高度约为34米， ∴s2＝17h＝17×34＝578， ∴s24（千米）． 答：他能看到大海的最远距离约是24千米． 2.在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm， 则3x•x＝75， 即x2＝25， ∵x＞0， ∴x＝5， ∴3x＝15， 答：长方形的长为15cm，宽为5cm． （2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得， y2＝75， ∵y＞0， ∴， ∵原来长方形的宽为5cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， 即， ∴， 所以她的说法正确． 3.某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：t2，其中d（km）是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果如有根号，请保留根号） （2）如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？ 【答案】解：（1）根据：t2，其中d＝6（km）， t（h）， 答：这场雷雨大约能持续h； （2）根据：t2，其中t＝0.9h， d＝9（km）， 答：这场雷雨区域的直径大约是9km． 4.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长； （2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】解：（1）20（m），4×20＝80（m）， 答：原来正方形场地的周长为80m． （2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am． 由题意有：3a×5a＝315， 解得：a， ∵3a表示长度， ∴a＞0， ∴a， ∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m）， ∵80＝16×5＝1616， ∴这些铁栅栏够用． 答：这些铁栅栏够用． 学科网（北京）股份有限公司 $