第2章二次函数 单元练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第2章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 3．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 4．已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，且该二次函数有最大值，当时，该二次函数的最小值为（   ） A．9 B． C．6 D． 5．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 6．如图，二次函数的图象与轴正半轴的交点的坐标为，对称轴为直线．则（   ） A． B． C． D． 7．如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为_______． 10．二次函数的最大值是___________． 11．在平面直角坐标系中，已知一次函数与二次函数有两个交点，若，则的值为_____． 12．抛物线上有两点，则_____．（填“”“”或“”） 13．在平面直角坐标系中，点，，在二次函数图象上的三点，若时，满足恒成立，则n的整数值为_____ ；若将该函数图象绕顶点逆时针旋转，新函数上是否存在点D，使得点D到的距离为2，则点D的坐标为____________________ ． 14．抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间．给出以下结论： ①；②；③当时，；④对于任意实数m，不等式恒成立；⑤一元二次方程的两根为，，则．则正确的结论是________．（填序号） 三、解答题 15．已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 16．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元．每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 17．如图，抛物线的顶点坐标为，与直线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上存在点，使直线将线段平分，求点的坐标； (3)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离最大？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 18．如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D D B A B 1．C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A 3．A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 4．D 【分析】先将已知点代入二次函数解析式求出a的可能值，再根据二次函数有最大值确定a的取值，得到函数解析式，结合开口方向、对称轴与给定x的范围，即可求出最小值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 整理得， 解得 或 ， ∵二次函数有最大值， ∴抛物线开口向下，， ∴， ∴二次函数解析式为 抛物线开口向下，对称轴为 在区间中，端点到对称轴的距离更远， ∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，函数取得最小值， 将代入得 即该二次函数的最小值为， 故选：D． 5．D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合得到抛物线开口方向和增减性，再逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大； A：∵，， ∴，即， ∴点离对称轴更远， ∴，故该选项不合题意； B：∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小， ∴，故该选项不合题意； C：∵，，说明顶点纵坐标小于0， 将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意； D：∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大， ∴，故该选项符合题意． 6．B 【分析】观察图象可知、的正负，根据对称轴可得，即可判断的正负，进而可判断A选项；由抛物线与轴的一个交点坐标结合对称轴可确定另一个交点坐标，将两点坐标代入函数解析式中可得两式，两式相加即可判断B选项；由抛物线与轴的交点坐标可得的取值范围，确定与的关系，进而可确定的取值范围，即可判断C选项；由二次函数图象与一元二次方程的关系可得，将代入进行化简，即可判断D选项． 【详解】解：观察图象可知：，，对称轴为直线， ， ， ，故A错误； 二次函数的图象与轴正半轴的交点坐标为， ， 对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ， 得：， ，故B正确； 由图象得，由①可得， ， ，故C错误； 二次函数的图象与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ， ，故D错误． 7．A 【分析】根据题意得到二次函数图象的顶点坐标，运用待定系数法得到直线的解析式，结合图形分析即可求解． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为，对称轴直线为， ∴顶点坐标， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q， ∴，， ∴， ∵以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当直线过抛物线顶点时，此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大，如图所示， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴当时，抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大． 8．B 【分析】根据顶点坐标可得该抛物线的对称轴为，再结合其与轴交点可推导出系数关系，进而判断①；将方程转化为抛物线与直线的交点问题判断②；根据开口方向和点到对称轴的距离可推断函数值大小进而判断③；联立方程用判别式判断交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故选． 9． 【详解】解：抛物线的解析式是二次函数的顶点式，二次函数顶点式的一般形式为（），其顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 10．5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先判断开口方向，再分别计算当时和当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内． 当时，； 当时，． ∴最大值为5． 故答案为5． 11．4 【分析】设出两个交点的坐标，联立一次函数与二次函数的解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之积，结合的性质得到等量关系，代入化简求解，舍去不符合题意的解，即可得到的值． 【详解】解：设交点，， 联立方程组， 整理得， ∴，， 因为，由勾股定理可得， 即， 整理得， 因为，， 所以， 将，代入得： ， 化简得， 解得或， 当时，直线过原点，其中一个交点与原点重合，不符合题意，舍去． 12． 【分析】根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，且当时，y取最小值， ∵抛物线上有两点，， ∴. 13． 1 或 【分析】本题考查一次函数、二次函数和旋转的综合．第一问先对二次函数配方，得到开口方向和对称轴，利用二次函数的性质：开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小，结合题干条件列不等式得到m的取值范围，进而求出整数n；第二问利用坐标变换，将旋转后的抛物线放在新坐标系中得到方程，结合点到直线的距离条件得到新坐标，再转换为原坐标系坐标得到点D的坐标． 【详解】解：计算二次函数顶点式：，顶点为，开口向下． 计算三点坐标： 由得：，化简得，解得． 由得：，化简得，解得． 因此，结合，得． 旋转后抛物线的顶点仍为，对称轴为原对称轴逆时针旋转后的直线． 二次函数顶点为，代入直线得，即顶点在直线上． 设直线和直线与直线的距离都为2， 则， ∵直线，∴，，∴，∴， ∴，同理， ∴，， ∴直线解析式为，直线解析式为． 坐标变换：新图象上的点是原抛物线上的点绕顶点逆时针旋转得到，原坐标满足，将顺时针旋转回原坐标，代入原方程得旋转后新曲线方程： ， 分两种情况代入求解： 当： 代入得，联立，解得； 当： 代入得，联立，解得； 两个点都满足方程，故的坐标为或． 故答案为：1；或． 14．①③④ 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴的交点在点和之间， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故②错误； ③当时，，即，又，，所以，即，故③正确； ④∵时，函数有最小值， ∴（任意实数）， ∴，故④正确； ⑤一元二次方程的两根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， ∵直线经过点，， 抛物线与轴的交点为点和之间， ∴，， ∴，故⑤错误． 15．(1) 证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）令，得，由根的判别式可判断一元二次方程有实数解，即该函数的图象与轴总有公共点； （2）先判断该函数的对称轴位置，结合图象的开口方向推出当时，随着的增大而增大后即可得解． 【详解】（1）证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数的对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数的关系、根的判别式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程与二次函数的关系． 16．当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元 【分析】根据“利润＝单件利润×数量”列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的图象及性质求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为3125； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 17．(1) (2)点的坐标为或 (3)的最大值为 【分析】本题是二次函数与一次函数的综合应用，需运用顶点式、线段中点性质、勾股定理等知识求解． (1) 利用抛物线顶点式结合已知顶点坐标确定解析式； (2) 先求线段的中点，再通过直线过中点确定其解析式，联立抛物线方程求点； (3)过点分别作轴和的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理表示边之间的数量关系，转化为二次函数最值问题求解． 【详解】（1）解：（1）抛物线的顶点为， 解得： 抛物线的解析式为 （2）（2）由题意得， 解得或， ，， 设的中点为， ， 直线的解析式为， 列方程组， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：如图，作轴交于点，于点， 在直线上， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， ， 当时，最大为． 的最大值为． 18．(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为； (2)； (3)存在，点的坐标为； 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； （2）解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 19．(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线上或上方、在直线下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． （3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上， ∵点与点关于直线对称， ∴， 当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $