第二章 二次函数（单元重点综合测试卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

九年级第二章《二次函数》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝6x﹣5 B． C．y＝5x2+3x D． 2．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，下列结论不正确的是（　　） x ﹣2 1 0 2 y 0 m 4 4 A．抛物线的开口向下 B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0） C．抛物线的对称轴为直线 D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 4．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5 5．二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 6．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 7．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　） A．a+b+c＞﹣k+n B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1 C．abc＜0 D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为 　 　． 12．二次函数y＝（x﹣2）2+3与y轴的交点坐标为　 　． 13．若一条抛物线与y＝9x2图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为（1，5），则这条抛物线的解析式为 　 　． 14．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … a ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 这个二次函数顶点坐标是 　 　；a＝　 　，与y轴交点坐标为 　 　． 15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　 　m． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点，其中1＜m＜2，下列四个结论： ①abc＞0； ②a+b+c＜0； ③ax2+bx+c＞cx+c的解集是﹣1＜x＜0； ④A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＞y2，则．其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．若函数是二次函数． （1）求k的值． （2）当x＝0.5时，求y的值． 18．已知二次函数解析式为y＝﹣2x2+8x﹣4 （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴及二次函数的最大值； （2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标； （3）直接写出x取何值时，y随x的增大而减小？ 19．如图，篱笆总长为36m，现利用一面墙（a＝12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为S m2． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 20．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1． （1）直接写出二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围． 21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（﹣1，0），与x轴的另一个交点为点B． （1）求抛物线的表达式； （2）当y＞0时，求x的取值范围； （3）当直线y＝x+m与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围． 22．如图，掷实心球是大连市中考体育考试中“五选二”当中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 23．某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件． （1）若售价每提高x元，则日销售量为　 　件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是　 　． （2）要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？ 24． 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 25．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第二章《二次函数》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝6x﹣5 B． C．y＝5x2+3x D． 【分析】一般地形如y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【解答】解：A、y＝6x﹣5未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； B、等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C、y＝5x2+3x是二次函数，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，关键是二次函数定义的熟练掌握． 2．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键． 3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，下列结论不正确的是（　　） x ﹣2 1 0 2 y 0 m 4 4 A．抛物线的开口向下 B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0） C．抛物线的对称轴为直线 D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：由表格中的数据进行分析可得， ， ∴， ∴， A、开口向下，故选项A正确，不符合题意； B、当x＝4时，y＝0，与x轴的一个交点坐标为（4，0），故选项B正确，不符合题意， C、对称轴是直线x＝1，故选项C错误，符合题意； D、函数最大值为，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 4．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣5，再利用所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同可确定a的值，从而得到这条抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5， 因为所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同， 而y的最大值为﹣5， 所以a＝﹣， 所以这条抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 5．二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可． 【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y＝0时，方程x2﹣2x+1＝0解的个数， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴此方程有两个相同的根， ∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，掌握两者之间的关系是解题的关键． 6．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【分析】由题意可知，二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口向下，离对称轴越远的点的纵坐标越小， 可知：点A离对称轴最远，点B离对称轴最近， ∵﹣2＜1＜6， ∴y2＞y3＞y1． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键． 7．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 9．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 【分析】令h＝0，求出t的值即可． 【解答】解：∵h＝﹣5t2+15t， ∴当h＝0时，即：0＝﹣5t2+15t， 解得：t＝0或t＝3， ∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　） A．a+b+c＞﹣k+n B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1 C．abc＜0 D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根 【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1得b＝2a，抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对C进行判断；利用二次函数的增减性可对A进行判断；结合函数图象可对B进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对D进行判断． 【解答】解：∵直线y2＝kx+n（k≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）， ∴a﹣b+c＝﹣k+n， ∴a+b+c＞﹣k+n，所以A正确； ∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1， ∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以B正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以C正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， ∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点， ∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为 　1　． 【分析】根据二次函数的定义，由此解出a即可． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 由a2+1＝2，解得：a＝±1， 由a+1≠0，解得：a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 12．二次函数y＝（x﹣2）2+3与y轴的交点坐标为　（0，7）　． 【分析】x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0．根据x＝0，求出y的值，即得函数y＝（x﹣2）2+3与y轴交点坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝（0﹣2）2+3＝7， ∴y＝（x﹣2）2+3与y轴的交点坐标为（0，7）． 故答案为：（0，7）． 【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标．熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解答本题的关键． 13．若一条抛物线与y＝9x2图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为（1，5），则这条抛物线的解析式为 　y＝﹣9（x﹣1）2+5　． 【分析】根据抛物线与y＝9x2图象的形状相同且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为﹣9，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式． 【解答】解：∵一条抛物线与y＝9x2图象的形状相同且开口向下， ∴这条抛物线的二次项系数为﹣9， 又∵这条抛物线的顶点坐标为（1，5）， ∴这条抛物线的解析式为y＝﹣9（x﹣1）2+5， 故答案为：y＝﹣9（x﹣1）2+5． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数的性质是关键． 14．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … a ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 这个二次函数顶点坐标是 　（﹣1，﹣4）　；a＝　0　，与y轴交点坐标为 　（0，﹣3）　． 【分析】依据题意，根据表格数据可得图象过（﹣2，﹣3），（0，﹣3），可得抛物线的对称轴是直线x＝ ＝﹣1，进而可得顶点坐标，再结合对称性可得a的值，最后根据当x＝0时，y＝﹣3，进而可以判断图象与y轴的交点，即可得解． 【解答】解：由题意，根据表格数据可得图象过（﹣2，﹣3），（0，﹣3）， ∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝﹣1． ∴顶点坐标是（﹣1，﹣4）． 又∵对称轴是直线x＝﹣1，且﹣1﹣（﹣3）＝2， ∴﹣1+3＝1． ∴当x＝﹣3时的函数值与当x＝1时的函数值相等． ∴a＝0． 又当x＝0时，y＝﹣3， ∴图象与y轴的交点为（0，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣4）；0；（0，﹣3）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　　m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0＝a（6﹣2）2+5， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+5＝． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点，其中1＜m＜2，下列四个结论： ①abc＞0； ②a+b+c＜0； ③ax2+bx+c＞cx+c的解集是﹣1＜x＜0； ④A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＞y2，则．其中正确的结论是 　①②④　（填写序号）． 【分析】根据对称轴为直线，其中1＜m＜2结合不等式的性质得到，即可判断b＜0，将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得a﹣b+c＝0，则c＝b﹣a＜0，继而①可判断；由1＜m＜2，而抛物线开口向上，与x轴有两个交点，则将（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＜0，即可判断②；对于二次函数y＝ax2+bx+c与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c），而设直线y＝cx+c，则与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c），画出大致图象可求得解集为x＜﹣1或x＞0，即可判断③；当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴左侧时，x1＞x2由y随着x的增大而减小判断得y2＞y1，与条件矛盾，故舍；当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴右侧时，条件恒满足；当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴异侧，只能点A在右侧，点B在左侧，则由题意得点A在点B上方，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，故可得到，整理得x1+x2＞m﹣1，而时，y1＞y2，故，解不等式即可判断④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点， ∴对称轴为直线， ∵其中1＜m＜2， ∴0＜m﹣1＜1， ∴， ∴， ∵a＞0， ∴b＜0， 将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣a＜0， ∴abc＞0， ∴①正确； ∵1＜m＜2，而抛物线开口向上，与x轴有两个交点， ∴将（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＜0， ∴②正确； 对于二次函数y＝ax2+bx+c与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c）， 而设直线y＝cx+c，则与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c）， 画出大致图象可得： ∴当ax2+bx+c＞cx+c时， 解集为：x＜﹣1或x＞0， ∴③错误； 对于④：当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴左侧时，x1＞x2，由y随着x的增大而减小判断得y2＞y1，与条件矛盾，故舍； 当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴右侧时，条件恒满足； 当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴异侧，只能点A在右侧，点B在左侧，则由题意得点A在点B上方，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴， ∴x1+x2＞m﹣1， 即当x1+x2＞m﹣1时，y1＞y2， 而由题意得：时，y1＞y2， ∴， ∴， ∴， ∴④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，正确理解题意，利用数形结合思想是解题本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．若函数是二次函数． （1）求k的值． （2）当x＝0.5时，求y的值． 【分析】（1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把x＝0.5代入二次函数解析式求解即可． 【解答】解：（1）根据二次函数的定义得，k2+k＝2且k﹣1≠0， 解得：k＝﹣2， 所以k的值为2； （2）根据题意，把k＝﹣2代入得，y＝﹣3x2+2x﹣1， ∴当x＝0.5时，． 所以y的值为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数定义求出k的值是解答本题的关键． 18．已知二次函数解析式为y＝﹣2x2+8x﹣4 （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴及二次函数的最大值； （2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标； （3）直接写出x取何值时，y随x的增大而减小？ 【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可求解； （2）根据抛物线与x轴、y轴交点坐标特点和函数解析式即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣4＝﹣2（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标（2，4），对称轴直线x＝2； ∵﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x2+8x﹣4有最大值4； （2）令y＝0，得﹣2x2+8x﹣4＝0，解得， 二次函数y＝﹣2x2+8x﹣4与x轴的交点为，， 当x＝0时，y＝﹣2×02+8×0﹣4＝﹣4， ∴抛物线与y轴交点坐标（0，﹣4）； （3）∵二次函数解析式为y＝﹣2x2+8x﹣4，开口向下，对称轴直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）． 19．如图，篱笆总长为36m，现利用一面墙（a＝12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为S m2． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 【分析】（1）根据题意知花圃的宽AB为x m，则花圃的长BC为（36﹣3x）m，结合矩形面积公式即可获得S与x的函数关系式；根据题意知墙的最大可用长度a为12m，即可求得x值的取值范围； （2）由函数解析式S＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，可知该函数图象开口向下，对称轴为x＝6，当x＞6时，S随x的增大而减小，然后结合x值的取值范围，即可获得答案． 【解答】解：（1）设花圃的一边AB长为x m，面积为S m2，则花圃的长BC为（36﹣3x）m， ∴S＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x， ∵0＜36﹣3x≤12， ∴8≤x＜12， ∴S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+36x（8≤x＜12）； （2）∵S＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，﹣3＜0， ∴图象开口向下，对称轴为x＝6， ∴当x＞6时，S随x的增大而减小， 又∵8≤x＜12， ∴当x＝8时，即AB＝8m时，围成的花圃面积最大，． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 20．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1． （1）直接写出二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为 （2，﹣1）； （2）列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 ﹣1 0 3 描点画图，得： （3）由抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， 则当y随x的增大而减小时，x的取值范围为x≤2． 【点评】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质，熟练掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质是解题的关键． 21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（﹣1，0），与x轴的另一个交点为点B． （1）求抛物线的表达式； （2）当y＞0时，求x的取值范围； （3）当直线y＝x+m与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴和点A（﹣1，0）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）由对称性求出点B的坐标，则可得出答案； （3）由题意得出判别式Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣5﹣m）＞0，则可得出m的范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2， ∴对称轴x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4． 将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+c，得0＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c， ∴c＝﹣5， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0）， ∴B（5，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5； （3）联立直线y＝x+m与抛物线y＝x2﹣4x﹣5得， ∴x2﹣5x﹣5﹣m＝0， ∵直线y＝x+m与抛物线有2个公共点， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣5﹣m）＞0， ∴m＞﹣． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，抛物线与x轴的交点，抛物线与直线的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．如图，掷实心球是大连市中考体育考试中“五选二”当中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 【分析】（1）已知抛物线经过顶点（4，3.6），y轴上一点（0，2），可设抛物线顶点式，再求解析式； （2）要得到运动员成绩，就是当y＝0时，求x的值是多少． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+3.6， 把点（0，2）代入得2＝a（0﹣4）2+3.6， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+3.6； （2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣4）2+3.6， 解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝10， 即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀． 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 23．某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件． （1）若售价每提高x元，则日销售量为　（500﹣10x）　件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是　y＝﹣10x2+400x+5000　． （2）要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？ 【分析】（1）由每天能售出500件，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件，即可推到出答案；由总利润＝销售数量×单个利润即可求解； （2）令y＝8750，代入（1）中函数关系式求解即可． 【解答】解：（1）设每天利润为y元，则y与x的关系式是y＝（50+x﹣40）（500﹣x）＝﹣10x2+40x+5000， 故答案为：（500﹣10x）；y＝﹣10x2+400x+5000； （2）令y＝8750，则﹣10x2+400x+5000＝8750， 解得x1＝15，x2＝25， ∵尽量让消费者得到实惠， ∴x＝15， ∴每件售价应定为50+15＝65元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握利润＝售价﹣进价． 24． 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到﹣＝5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； 任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； 任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可． 【解答】解：任务一： ∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：x＝5． ∴﹣＝5． ∴b＝﹣10a． 把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得： 15a+b+1＝0， 把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得： 15a﹣10a+1＝0， 解得：a＝﹣， ∴b＝2， ∴水流抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+15． 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12， 当x＝12时，y＝﹣×122+2×12+15＝10.2， ∵11＞10.2， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三：2+3． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出函数图象的对称轴和关键点的坐标是解决本题的关键． 25．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1）， 则， 解得：； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴， 当m＝2时，最大值为8． 【点评】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． 26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把B（3，m）代入y＝x+2求出B（3，5），再用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），由PE＝2DE，可得﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），解出t的值可得P的坐标为（1，9）； （3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，求出C（4，0），知AC＝6，故S△ABC＝×6×5＝15，设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），可得MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，S△ABM＝MK•|xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|，根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半，有|﹣m2+m+6|＝×15，可得|﹣m2+m+6|＝3，即﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，解出m的值可得答案． 【解答】解：（1）把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5， ∴B（3，5）， 把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0）， ∵PE＝2DE， ∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2）， 解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）； ∴P的坐标为（1，9）； （3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下： 过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图： 在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），C（4，0）， ∴AC＝6， ∵B（3，5）， ∴S△ABC＝×6×5＝15， 设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2）， ∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|， ∴S△ABM＝MK•|xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|， ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|﹣m2+m+6|＝×15， ∴|﹣m2+m+6|＝3， ∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3， 解得m＝或m＝， ∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度. 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