第01讲集合讲义-2026届高三数学一轮复习

第1讲 集合 题型一 集合的含义与表示 2 题型二 集合间的基本关系 3 题型三 集合的基本运算 4 课时精练 5 【基础回顾】 知识点1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B ⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【必备知识】 1．子集与真子集个数：若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．交集和并集性质： A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4． 补集性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一 集合的含义与表示 解决集合含义问题的关键点 (1)构成集合的元素必须确定． (2)确定元素的限制条件，元素不能重复． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【例题精讲】 1．（2025秋•襄阳期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．（2026•东湖区校级一模）集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026•佳木斯校级开学）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 4．（2026•高邮市开学）已知集合M＝{x∈N|6﹣x∈N}，则M中元素的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2025秋•睢宁县期末）下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． （多选）6．（2025秋•会泽县校级月考）下列四个命题中正确的是（　　） A．由所确定的实数集合为{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3} B．同时满足的整数解的集合为{﹣1，0，1，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素 （多选）7．（2025秋•吉安月考）下列命题中不正确的是（　　） A．{∅}是空集 B．若a∈N，则﹣a∉N C．集合{x|x2﹣2x+1＝0}中只有一个元素 D．集合是有限集 题型二 集合间的基本关系 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【例题精讲】 1．（2026•新疆模拟）已知集合A＝{x∈R|x3﹣1＝0}，B＝{0，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 2．（2026•市中区校级模拟）已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜6}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 3．（2026•沧县模拟）已知集合，则（　　） A．A＝∅ B．B＝∅ C．A＝R D．B＝R 4．（2026•菏泽一模）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，3，log2m}，若A⊆B，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2026•福州模拟）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，则集合A的子集个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 （多选）6．（2025秋•锦江区校级期末）已知a为实数，若集合A＝{x|ax﹣6＝0，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0，x∈R}，且A⊆B，则a的值可以是（　　） A．6 B．0 C．2 D．﹣2 （多选）7．（2025春•阳泉校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．0 D． 题型三 集合的基本运算 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 【例题精讲】 1．（2026•汕头一模）已知M＝{x|4x2﹣4x﹣15＞0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁RM）∩N＝（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（2026•河北开学）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|﹣2＜x⩽1}，则A∩B＝（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，1] D．（﹣3，1] 3．（2026•滨州一模）已知集合，则A∪B＝（　　） A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 4．（2026•杭州校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0} 5．（2026•四川模拟）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{1，2，5}，则（∁UA）∩B＝（　　） A．{2} B．{1，5} C．{2，5} D．{1，2，5} （多选）6．（2025秋•福建月考）已知集合M＝{1，2}，若集合N满足M∩N＝∅，则N可以是（　　） A．{x|x2+2x＝0} B．{x|x2﹣x≤0} C． D．{x|x＝3n﹣1，n∈Z} （多选）7．（2025秋•西宁期末）设集合A＝{a，2a﹣1，1}，B＝{2，a2}，则（　　） A．当a＝2时，A∪B＝{1，2，3，4} B．当A∩B＝{2}时，A∪B有4个元素 C．当A∩B≠∅时，a3﹣2a＝0 D．A∩B≠B 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•蓬江区校级开学）已知集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}，则（　　） A．（1，2）∈A B．（2，1）∈A C．（2，2）∉A D．（2，3）∉A 2．（2025秋•赣州期末）集合的元素个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 3．（2026•凯里市校级模拟）设全集U＝R，，若m∈∁UA，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞） 4．（2026•临潼区校级开学）集合A＝{x∈Z|﹣9＜x3＜6}真子集个数为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（2026•辽宁模拟）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，B＝{x|（x﹣1）（x2+ax+b）＝0，a2﹣4b≥0}，若A∩B＝B，则a的取值不可能为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 6．（2026•广东模拟）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|3x﹣1＜1}，则A∩B＝（　　） A．[﹣2，2] B．[﹣2，1） C．（﹣2，1] D．（1，2） 7．（2026•长沙校级开学）已知集合U＝R，A＝{x|x2＞1}，B＝{x|2x+1＞0}，则（∁UA）∩B＝（　　） A． B． C． D． 8．（2026•江西模拟）已知集合A＝{x∈Z|x（x﹣3）＜0}，B＝{x|x≤﹣1或x＞2}，则A∩（∁RB）＝（　　） A．（0，2] B．（2，3） C．[1，2] D．{1，2} 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•唐山期末）已知集合A＝{1，5，m2}，B＝{1，m+2}，若A∩B＝B，则m的值可以为（　　） A．3 B．﹣1 C．2 D．1 （多选）10．（2025秋•汕头期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|mx﹣3＝0}，正确的是（　　） A．若A∩B＝B，则B⊆A B．若m＝1，则A∪B＝A C．若m＝3，则A∩B＝1 D．若B⊆A，则m＝1或m＝3 （多选）11．（2025春•莲池区校级月考）设A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|ax﹣1＞0}，下列选项正确的是（　　） A．集合A的子集个数为4 B．若A∩B＝{2}，则 C．若A∩B＝{﹣1}，则a≤﹣1 D．若A∩B＝∅，则 三．填空题（共3小题） 12．（2026•红花岗区校级开学）已知集合A＝{x∈Z|0≤x＜3}，B＝{x∈Z||x|＜3}，则A∪B＝　 ． 13．（2025秋•红花岗区校级期末）已知集合A＝{x∈N|y＝log2（2﹣x）}，则集合A的真子集个数为 　 　 ． 14．（2025秋•睢宁县期末）已知A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（2026春•寿光市校级月考）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）若B集合中有两个元素x1，x2，求|x1﹣x2|； （3）若U＝R，B∩A＝B，求实数a的取值范围． 16．（2025秋•虹口区期末）已知a为实数，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣7＝0，x∈R}． （1）若B＝{x1，x2}，且满足，求实数a的值； （2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 18．（2025秋•陕西校级期末）已知集合A＝{x|a≤x≤a+1}，集合． （1）若a＝2，求A∪B，A∩（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 19．（2025秋•杭州期中）设U＝R，A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+a≤0，a∈R}． （1）当a＝3时，求A∩B，（∁UA）∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合 题型一 集合的含义与表示 2 题型二 集合间的基本关系 5 题型三 集合的基本运算 7 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B ⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【必备知识】 1．子集与真子集个数：若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．交集和并集性质： A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4． 补集性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一 集合的含义与表示 解决集合含义问题的关键点 (1)构成集合的元素必须确定． (2)确定元素的限制条件，元素不能重复． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【例题精讲】 1．（2025秋•襄阳期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，可得∉N，所以，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错． 故选：C． 2．（2026•东湖区校级一模）集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：集合{x，x2﹣1，2}中，由互异性可知，x≠2，或x2﹣1≠2或x≠x2﹣1， 得x≠2或x或x． 故选：C． 3．（2026•佳木斯校级开学）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解：根据集合中元素的互异性，由单词“Chinese”中的字母组成的集合A{C，h，i，n，e，s}． 所以A中的元素个数为6． 故选：C． 4．（2026•高邮市开学）已知集合M＝{x∈N|6﹣x∈N}，则M中元素的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】解：因为M＝{x∈N|6﹣x∈N}，所以6﹣x＝0，1，2，3，4，5，6， 所以x＝6，5，4，3，2，1，0， 所以M＝{0，1，2，3，4，5，6}， 即M中元素的个数是7． 故选：B． 5．（2025秋•睢宁县期末）下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． 【答案】C 【解析】解：对于A，可知{2，3}＝{3，2}，故错误； 对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，{0}不是空集，故错误． 故选：C． （多选）6．（2025秋•会泽县校级月考）下列四个命题中正确的是（　　） A．由所确定的实数集合为{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3} B．同时满足的整数解的集合为{﹣1，0，1，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素 【答案】BC 【解析】解：对于选项A，当a，b，c都是正数时，原式＝1+1+1＝3； 当a，b，c都是负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； 当a，b，c两正一负时，原式＝1+1﹣1＝1； 当a，b，c两负一正时，原式﹣1﹣1+1＝﹣1．故A错误； 对于选项B，由，得﹣2＜x≤2， 所以符合条件的整数解的集合为{﹣1，0，1，2}，故B正确； 对于选项C，由3x+2y＝16，x∈N，y∈N， 可以得到符合条件的数对有（0，8），（2，5），（4，2），故C正确； 对于选项D，当a＝2时，；当a＝1时，； 当a＝0时，；当a＝﹣1时，； 当a＝﹣2时，；当a＝﹣3时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，﹣3，故D错误． 故选：BC． （多选）7．（2025秋•吉安月考）下列命题中不正确的是（　　） A．{∅}是空集 B．若a∈N，则﹣a∉N C．集合{x|x2﹣2x+1＝0}中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】ABD 【解析】解：对于选项A，{∅}是含有一个元素∅的集合，不是空集，故A错误； 对于选项B，若a＝0∈N，则﹣a＝0∈N，故B错误； 对于选项C，{x|x2﹣2x+1＝0}＝{1}，故C正确； 对于选项D，时，均有且x∈Q，故是无限集，故D错误． 故选：ABD． 题型二 集合间的基本关系 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【例题精讲】 1．（2026•新疆模拟）已知集合A＝{x∈R|x3﹣1＝0}，B＝{0，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【解析】解：根据题意，A＝{x∈R|x3﹣1＝0}＝{1}，B＝{0，a﹣1，3}，且A⊆B， 所以a﹣1＝1， 解得a＝2． 故选：C． 2．（2026•市中区校级模拟）已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜6}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【解析】解：由题意集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 集合B＝{x∈N|0＜x＜6}＝{1，2，3，4，5}， 因为A⊆C⊆B，所以1，2都是集合C中的元素， 即集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少一个， 所以集合C为： {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个． 故选：A． 3．（2026•沧县模拟）已知集合，则（　　） A．A＝∅ B．B＝∅ C．A＝R D．B＝R 【答案】B 【解析】解：当x≥0时，， 当x＜0时，， 故A＝{x|x＜0}，故A错误，C错误； 因为对∀x∈R都成立， 所以集合B＝∅，故B正确，D错误． 故选：B． 4．（2026•菏泽一模）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，3，log2m}，若A⊆B，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，3，log2m}，若A⊆B，则2∈B，可得log2m＝2，解得m＝4． 则m的值为4． 故选：C． 5．（2026•福州模拟）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，则集合A的子集个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：因为A＝{x∈N|0＜x＜3}＝{1，2}，集合元素个数为2， 所以集合A的子集个数为22＝4． 故选：C． （多选）6．（2025秋•锦江区校级期末）已知a为实数，若集合A＝{x|ax﹣6＝0，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0，x∈R}，且A⊆B，则a的值可以是（　　） A．6 B．0 C．2 D．﹣2 【答案】ABC 【解析】解：解方程x2﹣4x+3＝0可得：x＝1或3，所以集合B＝{1，3}， 因为A＝{x|ax﹣6＝0}，且A⊆B， 则A＝∅，{1}，{3}， 当A＝∅时，a＝0满足题意； 当A＝{1}时，则a﹣6＝0，解得a＝6； 当A＝{3}时，则3a﹣6＝0，解得a＝2， 综上，实数a的值为0，2或6． 故选：ABC． （多选）7．（2025春•阳泉校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【解析】解：由题意得B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}＝{﹣7，8}， 而A＝{x|ax+1＝0}，且A⊆B， ①若A是空集，即a＝0时，满足A⊆B； ②若A不是空集，即a≠0时，此时x，则有或，解得a或． 综上所述，实数a的值可以是0或或． 故选：BCD． 题型三 集合的基本运算 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 【例题精讲】 1．（2026•汕头一模）已知M＝{x|4x2﹣4x﹣15＞0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（∁RM）∩N＝（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2，3} 【答案】A 【解析】解：，且N＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， 则（∁RM）∩N＝{﹣1，0，1，2}． 故选：A． 2．（2026•河北开学）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|﹣2＜x⩽1}，则A∩B＝（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，1] D．（﹣3，1] 【答案】B 【解析】解：由交集的定义可得：A∩B＝（﹣2，0）． 故选：B． 3．（2026•滨州一模）已知集合，则A∪B＝（　　） A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 【答案】D 【解析】解：A{0，1，2，3}，B＝{﹣1，1，2}， 则A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}． 故选：D． 4．（2026•杭州校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0} 【答案】B 【解析】解：集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}， 则A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}． 故选：B． 5．（2026•四川模拟）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{1，2，5}，则（∁UA）∩B＝（　　） A．{2} B．{1，5} C．{2，5} D．{1，2，5} 【答案】C 【解析】解：由题可得A＝{1，3}； 则∁UA＝{2，4，5，6}； 而B＝{1，2，5}，则（∁UA）∩B＝{2，5}． 故选：C． （多选）6．（2025秋•福建月考）已知集合M＝{1，2}，若集合N满足M∩N＝∅，则N可以是（　　） A．{x|x2+2x＝0} B．{x|x2﹣x≤0} C． D．{x|x＝3n﹣1，n∈Z} 【答案】AC 【解析】解：A：若N＝{x|x2+2x＝0}＝{﹣2，0}，满足M∩N＝∅，故A正确； B：若N＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}， 则M∩N＝{1}，不符合题意，故B错误； C：若，满足M∩N＝∅，故C正确； D：因为N＝{x|x＝3n﹣1，n∈Z}＝{…，﹣7，﹣4，﹣1，2，5，…}， 则M∩N＝{2}，不符合题意，故D错误． 故选：AC． （多选）7．（2025秋•西宁期末）设集合A＝{a，2a﹣1，1}，B＝{2，a2}，则（　　） A．当a＝2时，A∪B＝{1，2，3，4} B．当A∩B＝{2}时，A∪B有4个元素 C．当A∩B≠∅时，a3﹣2a＝0 D．A∩B≠B 【答案】ABD 【解析】解：对于A，当a＝2时，集合A＝{2，3，1}，B＝{2，4}， 所以A∪B＝{1，2，3，4}，故A正确； 对于B，当A∩B＝{2}时，则2∈A， 所以a＝2或2a﹣1＝2， 解得a＝2或a， 当a＝2时，A＝{2，3，1}，B＝{2，4}，满足A∩B＝{2}， 此时A∪B＝{1，2，3，4}， 当a时，A＝{，2，1}，B＝{2，}，满足A∩B＝{2}， 此时A∪B＝{1，2，，}， 综上所述，当A∩B＝{2}时，A∪B有4个元素，故B正确； 对于C，当A∩B≠∅时，则2∈A或a2∈A， 若2∈A，由B选项可知，a＝2或a， 若a2∈A，则a2＝a或a2＝2a﹣1或a2＝1， 解得a＝0或a＝1或a＝﹣1， 当a＝0时，集合A＝{0，﹣1，1}，B＝{2，0}，满足A∩B≠∅， 当a＝1时，集合A中的元素不满足互异性，舍去， 当a＝﹣1时，集合A＝{﹣1，﹣3，1}，B＝{2，1}，满足A∩B≠∅， 综上所述，当A∩B≠∅时，a＝2或a或a＝0或a＝﹣1，显然a3﹣2a＝0不一定为0，故C错误； 对于D，若A∩B＝B，则B⊆A， 所以a＝2或2a﹣1＝2， 由B选项可知，当a＝2时，A＝{2，3，1}，B＝{2，4}，不满足B⊆A， 当a时，A＝{，2，1}，B＝{2，}，不满足B⊆A， 所以A∩B≠B，故D正确． 故选：ABD． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•蓬江区校级开学）已知集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}，则（　　） A．（1，2）∈A B．（2，1）∈A C．（2，2）∉A D．（2，3）∉A 【答案】A 【解析】解：因为集合A＝{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{2，3}}， 所以A＝{（1，2），（1，3），（2，2），（2，3）}， 所以（1，2）∈A，（2，1）∉A，（2，2）∈A，（2，3）∈A． 故选：A． 2．（2025秋•赣州期末）集合的元素个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】解：因为， 所以x是自然数且6﹣x是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6 所以对应的x的值分别为5，4，3，0， 故集合{5，4，3，0}，元素个数是4． 故选：B． 3．（2026•凯里市校级模拟）设全集U＝R，，若m∈∁UA，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】解：由可得，解得x＜1或x≥2，则集合A＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）， 则∁UA＝[1，2），因为m∈∁UA，所以实数m的取值范围是[1，2）， 故选：B． 4．（2026•临潼区校级开学）集合A＝{x∈Z|﹣9＜x3＜6}真子集个数为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】解：A＝{x∈Z|}＝{﹣2，﹣1，0，1}，其元素个数为4，故真子集个数为：24﹣1＝15． 故选：D． 5．（2026•辽宁模拟）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，B＝{x|（x﹣1）（x2+ax+b）＝0，a2﹣4b≥0}，若A∩B＝B，则a的取值不可能为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】D 【解析】解：由题意可知，集合A＝{x∈N|0＜x＜3}＝{1，2}， 因为A∩B＝B，所以B⊆A， 显然B≠∅， 若B＝{1}，则， 解得， 若B＝{2}，则不可能， 若B＝{1，2}， ①若方程x2+ax+b＝0有两个相等的根2，则， 解得， ②若方程x2+ax+b＝0 的两根分别为1，2，则， 解得， 综上所述，a的取值可能为﹣2或﹣4或﹣3． 故选：D． 6．（2026•广东模拟）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|3x﹣1＜1}，则A∩B＝（　　） A．[﹣2，2] B．[﹣2，1） C．（﹣2，1] D．（1，2） 【答案】B 【解析】解：由3x﹣1＜1得x﹣1＜0，解得x＜1， 所以集合B＝{x|3x﹣1＜1}＝{x|x＜1}， 又集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}， 所以A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}． 故选：B． 7．（2026•长沙校级开学）已知集合U＝R，A＝{x|x2＞1}，B＝{x|2x+1＞0}，则（∁UA）∩B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A＝{x|x2＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∁UA＝[﹣1，1]，B＝{x|2x+1＞0}， 所以． 故选：C． 8．（2026•江西模拟）已知集合A＝{x∈Z|x（x﹣3）＜0}，B＝{x|x≤﹣1或x＞2}，则A∩（∁RB）＝（　　） A．（0，2] B．（2，3） C．[1，2] D．{1，2} 【答案】D 【解析】解：集合A＝{x∈Z|x（x﹣3）＜0}＝{1，2}， 又B＝{x|x≤﹣1或x＞2}，所以∁RB＝（﹣1，2]， 故A∩（∁RB）＝{1，2}． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•唐山期末）已知集合A＝{1，5，m2}，B＝{1，m+2}，若A∩B＝B，则m的值可以为（　　） A．3 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】AC 【解析】由A∩B＝B，得B⊆A，所以m+2＝5或m+2＝m2， 若m+2＝m2，解得m＝2或﹣1， 当m＝2时，A＝{1，5，4}，B＝{1，4}，符合题意； 当m＝﹣1时，m2＝m+2＝1，集合A，B不满足互异性，不合题意； 若m+2＝5，则m＝3，此时A＝{1，5，9}，B＝{1，5}，符合题意； 综上，m的值可以为3或2． 故选：AC． （多选）10．（2025秋•汕头期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|mx﹣3＝0}，正确的是（　　） A．若A∩B＝B，则B⊆A B．若m＝1，则A∪B＝A C．若m＝3，则A∩B＝1 D．若B⊆A，则m＝1或m＝3 【答案】AB 【解析】解：由题意可知，A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}， 对于A，由A∩B＝B，可得B⊆A，故A正确； 对于B，因为m＝1，所以B＝{x|x﹣3＝0}＝{3}， 所以A∪B＝{1，3}＝A，故B正确； 对于C，因为m＝3，所以B＝{x|3x﹣3＝0}＝{1}， 所以A∩B＝{1}，故C错误； 对于D，若B⊆A， 当m＝0时，B＝∅，满足B⊆A， 当m≠0时，，则或， 解得m＝3或m＝1， 综上可知，若B⊆A，则m＝0或m＝1或m＝3，故D错误． 故选：AB． （多选）11．（2025春•莲池区校级月考）设A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|ax﹣1＞0}，下列选项正确的是（　　） A．集合A的子集个数为4 B．若A∩B＝{2}，则 C．若A∩B＝{﹣1}，则a≤﹣1 D．若A∩B＝∅，则 【答案】AB 【解析】解：对于A，∵A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}， ∴集合A的子集个数为22＝4，故A正确； 对于B，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣1＞0}， 当A∩B＝{2}时，2a﹣1＞0，即，故B正确； 对于C，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣1＞0}， 当A∩B＝{﹣1}时，﹣a﹣1＞0，即a＜﹣1，故C错误； 对于D，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣1＞0}， 当a＝0时，B＝∅，满足A∩B＝∅， 当a＞0时，B＝{x|x，当A∩B＝∅时，，即a， 当a＜0时，B＝{x|x}，当A∩B＝∅时，，即﹣1≤a＜0， 综上，﹣1≤a＜0或a，故D错误． 故选：AB． 三．填空题（共3小题） 12．（2026•红花岗区校级开学）已知集合A＝{x∈Z|0≤x＜3}，B＝{x∈Z||x|＜3}，则A∪B＝　{﹣2，﹣1，0，1，2}　 ． 【答案】{﹣2，﹣1，0，1，2}． 【解析】解：A＝{0，1，2}， B＝{x∈Z||x|＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}； 故A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}． 故答案为：{﹣2，﹣1，0，1，2}． 13．（2025秋•红花岗区校级期末）已知集合A＝{x∈N|y＝log2（2﹣x）}，则集合A的真子集个数为 　3　 ． 【答案】3． 【解析】解：由题意可得2﹣x＞0，解得x＜2， 所以集合A＝{x∈N|x＜2}＝{0，1}， 所以集合A的真子集有：∅，{0}，{1}，共3个． 故答案为：3． 14．（2025秋•睢宁县期末）已知A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）　 ． 【答案】（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞） 【解析】解：∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}． 若A∪B＝B，则A⊆B，∴a+3＜﹣1或a＞5，即a＜﹣4或a＞5． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）． 四．解答题（共5小题） 15．（2026春•寿光市校级月考）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）若B集合中有两个元素x1，x2，求|x1﹣x2|； （3）若U＝R，B∩A＝B，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝﹣3或a＝﹣1； （2）； （3）{a|a≤﹣3}． 【解析】解：（1）由题意得A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 因为A∩B＝{2}， 所以2∈B， 所以22+4（a+1）+（a2﹣5）＝0， 解得a＝﹣1或a＝﹣3， 检验：当a＝﹣3时，B＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，满足A∩B＝{2}， 当a＝﹣1时，B＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，满足A∩B＝{2}， 所以a＝﹣1或a＝﹣3； （2）因为集合B中有两个元素x1，x2， 所以方程x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0有两个根， 所以Δ＝4（a2+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＞0且， 所以； （3）由B∩A＝B，所以B⊆A， 因为A＝{1，2}且U＝R， 所以B＝∅或{1}或{2}或{1，2}， 当B＝∅时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＜0， 解得a＜﹣3，符合题意； 当B＝{1}时，则，无解； 当B＝{2}时，则， 所以a＝﹣3； 当B＝{1，2}时，则，无解， 综上，实数a的取值范围为{a|a≤﹣3}． 16．（2025秋•虹口区期末）已知a为实数，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣7＝0，x∈R}． （1）若B＝{x1，x2}，且满足，求实数a的值； （2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）2或； （2）（﹣∞，﹣4]． 【解析】解：（1）若B＝{x1，x2}，则x1，x2是方程x2+2（a+1）x+a2﹣7＝0的两个不等实根， 所以Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣7）＞0， 解得a＞﹣4， 由韦达定理可得，x1+x2＝﹣2（a+1），x1x2＝a2﹣7， 所以14， 整理得2a2+a﹣10＝0， 解得a＝2或， 因为a＝2和a都满足a＞﹣4， 所以实数a的值为2或； （2）若A∪B＝A，则B⊆A， 由题意可知，集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣7＝0，x∈R}， 当B＝∅时，则Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣7）＜0， 解得a＜﹣4， 当B＝{1}时，则，无解， 当B＝{3}时，则， 解得a＝﹣4， 当B＝{1，3}时，由Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣7）＞0，可得a＞﹣4， 由韦达定理可得，，无解， 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]． 17．（2026•镇海区校级开学）已知集合A＝{x|﹣3＜x≤4}，集合B＝{x|1﹣k≤x≤3k+1}． （1）当k＝2时，求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若A∪B＝A且A∩B≠∅，求k的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣3＜x≤7}，（∁RA）∩B＝{x|4＜x≤7}； （2）[0，1]． 【解析】解：（1）k＝2时，B＝{x|﹣1≤x≤7}，故A∪B＝{x|﹣3＜x≤7}， 又∁RA＝{x|x≤﹣3或x＞4}，故（∁RA）∩B＝{x|4＜x≤7}； （2）A∪B＝A，可得B⊆A， 当B＝∅时，A∩B＝∅，不符合题意； 当B≠∅时，需满足，解得0≤k≤1． 故k的取值范围为[0，1]． 18．（2025秋•陕西校级期末）已知集合A＝{x|a≤x≤a+1}，集合． （1）若a＝2，求A∪B，A∩（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}，A∩（∁RB）＝{x|2≤x≤3}； （2）{a|a≤﹣3或a≥2}． 【解析】解：（1）解不等式，等价于（x﹣2）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜2，B＝{x|﹣2＜x＜2}， 故∁RB＝{x|x≤﹣2或x≥2}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}， A∩（∁RB）＝{x|2≤x≤3}； （2）A＝{x|a≤x≤a+1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}， 若A∩B＝∅，得a+1≤﹣2或a≥2， 当a≥2时，a≥2，当a+1≤﹣2时，解得a≤﹣3； 因此，实数a的取值范围为：{a|a≤﹣3或a≥2}． 19．（2025秋•杭州期中）设U＝R，A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+a≤0，a∈R}． （1）当a＝3时，求A∩B，（∁UA）∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝（2，3]，（∁UA）∪B＝（﹣∞，3]∪[4，+∞）； （2）（﹣∞，0]． 【解析】解：（1）当a＝3时，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}， 因A＝{x|2＜x＜4}，故A∩B＝（2，3]， ∁UA＝（﹣∞，2]∪[4，+∞），则（∁UA）∪B＝（﹣∞，3]∪[4，+∞）． （2）由A∩B＝A得A⊆B，即对∀x∈（2，4），x2﹣4x+a≤0恒成立，等价于a≤﹣x2+4x在（2，4）上恒成立， 函数f（x）＝﹣x2+4x在（2，4）上单调递减，故f（x）＞f（4）＝0，因此a≤0，即实数a的取值范围为（﹣∞，0]． 第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $