第01讲 集合及其运算（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 3 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 3 知识点4 集合的运算性质 4 题型破译 4 题型1 元素与集合的关系 4 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 4 题型3 集合间的基本关系 5 【方法技巧】利用集合间的关系求参数的关注点 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 6 题型5 Venn图的运算 6 题型6 利用集合的运算结果求参数 7 题型7 集合的新定义问题 8 【方法技巧】集合新定义问题的“三定” 04真题溯源·考向感知 10 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 填空题 解答题 第1题补集运算 第1题补集运算 第15、16题集合新定义 第13题元素与集合关系的判断 考情分析： 本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空题1题设题稳定，难度较低，分值为4分，选择题考查比较综合，分值为5分。 复习目标： 1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.掌握集合与其他知识综合应用及集合新定义问题 4.掌握逻辑用语与其他知识综合应用 知识点1 元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 自主检测用“”和“”表示，1 N. 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 自主检测已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 自主检测已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 知识点4 集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩()＝，A∪()＝U，； 题型1 元素与集合的关系 例1-1用适当符号填空： 1 例1-2已知集合，，若且，则 例1-3若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 方法技巧 判断元素与集合关系 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【变式训练1-1】已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【变式训练1-2】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【变式训练1-3】若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 题型2 集合中元素的特征 例2-1（24-25高三下·上海·月考）已知集合，则 . 例2-2（24-25高三上·上海·月考）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 例2-3（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    【变式训练2-1】已知集合，，且，则 【变式训练2-2】已知，，，我们记为集合中元素的个数，则 ． 【变式训练2-3】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型3 集合间的基本关系 例3-1（24-25高三下·上海宝山·月考）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是 . 例3-2已知集合，，且，则集合 . 例3-3已知全集为，若，则以下结论正确的有 （填写所有正确结论序号） ①；②；③. 方法技巧 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 易错分析 易忽略集合为空集 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 【变式训练3-1】已知集合，且，则 ． 【变式训练3-2】已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ． 【变式训练3-3】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 题型4 （真）子集的个数 例4-1满足的集合M的个数为 个. 例4-2已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 方法技巧 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【变式训练4-1】若全集，则集合A的真子集共有 个． 【变式训练4-2】设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 题型5 Venn图的运算 例5-1对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 例5-2如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 【变式训练5-1】如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【变式训练5-2】设全集，若，则 . 【变式训练5-3】某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 题型6 利用集合的运算结果求参数 例6-1 24-25高三上·上海·月考）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 例6-2设，，，则实数的值是 . 例6-3已知，集合； (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围； 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·月考）已知，对任意正整数n，令．若存在n，使得，且，则q的取值范围是 ． 【变式训练6-2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练6-3】已知集合，集合. (1)求集合A、B； (2)当时有且仅有一个整数解，求实数a的取值范围. 题型7 集合的新定义问题 例7-1新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 例7-2集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 例7-3定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 方法技巧 集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【变式训练7-1】对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而，则中有 个元素． 【变式训练7-2】设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 【变式训练7-3】若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合”. 一．填空题 1.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合4={2≤x<4,xR)，则= 2.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 3．（2023•上海春季高考）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　　． 二．选择题 4. 【2024上海秋季高考】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 【2024上海秋季高考】已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值 6．（2023·上海秋季高考）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022•上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} 8．（2021•上海春季高考）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　） A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 3 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 4 知识点4 集合的运算性质 4 题型破译 5 题型1 元素与集合的关系 5 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 7 题型3 集合间的基本关系 10 【方法技巧】利用集合间的关系求参数的关注点 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 13 题型5 Venn图的运算 15 题型6 利用集合的运算结果求参数 17 题型7 集合的新定义问题 20 【方法技巧】集合新定义问题的“三定” 04真题溯源·考向感知 25 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 填空题 解答题 第1题补集运算 第1题补集运算 第15、16题集合新定义 第13题元素与集合关系的判断 考情分析： 本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空题1题设题稳定，难度较低，分值为4分，选择题考查比较综合，分值为5分。 复习目标： 1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.掌握集合与其他知识综合应用及集合新定义问题 4.掌握逻辑用语与其他知识综合应用 知识点1 元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 自主检测用“”和“”表示，1 N. 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合之间的关系解题. 【详解】N为自然数集，则. 故答案为：. 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 自主检测已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 自主检测已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 知识点4 集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩()＝，A∪()＝U，； 题型1 元素与集合的关系 例1-1用适当符号填空： 1 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为是集合中的一个元素, 所以. 故答案为：. 例1-2已知集合，，若且，则 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 例1-3若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 方法技巧 判断元素与集合关系 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【变式训练1-1】已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 【变式训练1-2】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式不等式、根据元素与集合的关系求参数 【分析】若，则将代入不等式求解即可得到的范围，根据题意求其补集即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 若，则有，即，所以， 解得或． 因此若，则 故答案为： 【变式训练1-3】若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据集合中元素的个数求参数 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 题型2 集合中元素的特征 例2-1（24-25高三下·上海·月考）已知集合，则 . 【答案】-1 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据相等集合的概念以及集合中元素的互异性可得，从而求解. 【详解】由题意得，，解得或， 当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：-1. 例2-2（24-25高三上·上海·月考）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断元素与集合的关系 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 例2-3（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    【答案】4 【知识点】图形的性质、集合元素互异性的应用 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    【变式训练2-1】已知集合，，且，则 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性. 【详解】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 【变式训练2-2】已知，，，我们记为集合中元素的个数，则 ． 【答案】77 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素与集合的关系 【分析】利用坐标系中的坐标与集合中元素的关系求解. 【详解】 因为集合， 所以集合中有5个元素，即5个点，即图中圆上的整点，包含边界， 集合中有个元素， 即图中正方形中的整点， 所以集合的元素可看做正方形 中的整点（去除4个顶点），即个元素， 故答案为:77. 【变式训练2-3】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 题型3 集合间的基本关系 例3-1（24-25高三下·上海宝山·月考）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】应用集合的基本关系列不等式求解. 【详解】因为集合 ， 因为 ，则 . 故答案为：. 例3-2已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 例3-3已知全集为，若，则以下结论正确的有 （填写所有正确结论序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【知识点】补集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据条件得到，可得①正确，再结合韦恩图，即可判断②③的正误. 【详解】因为，得到，所以①正确， 如图，由知，，所以②和③正确，    故答案为：①②③. 方法技巧 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 易错分析 易忽略集合为空集 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 【变式训练3-1】已知集合，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 【变式训练3-2】已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意设方程的两个根分别为、，，得到参数之间的关系，有两个集合相等得出，，消去参数即求解. 【详解】因为，所以， 设方程的两个根分别为、， 且，，， 所以， 由，得， 即， 因为，所以，且， 因为，解得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以化为 ，化为， ，化为， 即，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 【变式训练3-3】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 题型4 （真）子集的个数 例4-1满足的集合M的个数为 个. 【答案】3 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】通过列举法即可求解. 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 例4-2已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 方法技巧 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【变式训练4-1】若全集，则集合A的真子集共有 个． 【答案】7 【知识点】列举法表示集合、求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集的计算公式计算即可. 【详解】，所以真子集． 故答案为：7. 【变式训练4-2】设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【答案】27 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】根据题意，满足集合A为I的一个好子集的情况共有以下四种： ①当，即集合A中元素的个数为1时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ②当，即集合A中元素的个数为2时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ③当，即集合A中元素的个数为3时，集合A的可能情况为 所以集合A的个数为; ④当，即集合A中元素的个数为4时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; 所以I的所有好子集的个数为. 故答案为：27. 【点睛】关键点睛：本题重点在于对新定义“好子集”的理解，分类讨论，进行求解. 题型5 Venn图的运算 例5-1对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 例5-2如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】利用交集和补集的定义表示阴影部分所表示的集合. 【详解】由图可知，阴影部分的元素满足的条件是： 在集合中，但不在集合中， 所以可以表示为：. 故答案为：. 【变式训练5-1】如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【答案】 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分， 所以可以表示为. 故答案为：. 【变式训练5-2】设全集，若，则 . 【答案】 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据图，即可求解. 【详解】如图，根据条件画出图，可知， 故答案为： 【变式训练5-3】某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 【答案】 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】利用韦恩图可求两科竞赛都参加的人数. 【详解】 设集合为参加物理竞赛的同学构成的集合，集合为参加化学竞赛的同学构成的集合， 由题意作出韦恩图如上图，设两科竞赛都参加的有人， 则，解得. 故答案为：. 题型6 利用集合的运算结果求参数 例6-1 24-25高三上·上海·月考）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解出集合，再根据有两个元素列出不等式组求解. 【详解】，因为有两个元素， 所以或，解得或， 所以. 故答案为： 例6-2设，，，则实数的值是 . 【答案】或 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】解：因为，，， 所以，解得或. 故答案为：或. 例6-3已知，集合； (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或， (2) 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）分别解出两个集合中的不等式，即可得； （2）根据并集的结果得集合间的包含关系，再根据的大小关系分类讨论，进而列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； ； 当时，，解得. （2）由，得， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·月考）已知，对任意正整数n，令．若存在n，使得，且，则q的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、由不等式的性质比较数（式）大小、利用不等式求值或取值范围 【分析】分析的各种情况下的取值范围，然后考虑所得三个取值范围互相分离的条件，得出存在正整数符合题意的条件下的实数的取值范围. 【详解】 由以下四种情况的 组成： ，此时 ，，此时 ; ，，结果同上; ，此时 . 所有, 所有， 由及，得， 此时，都成立； 得①； 由得，即，得且②， 所以，此时，当时，，故必存在正整数，同时满足①②， 从而满足已知条件， 所以的取值范围是区间. 故答案为：. 【变式训练6-2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 【变式训练6-3】已知集合，集合. (1)求集合A、B； (2)当时有且仅有一个整数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或；当时，；当时，；当时，； (2)或 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式可得集合，根据一元二次不等式分类讨论得不等式的解集可得集合； （2）根据交集运算，由有且仅有一个整数解，对集合分类讨论列不等式即可得结论. 【详解】（1）因为 所以且，解得或， 则或； 又方程的两根为， 当时，，则解得，所以； 当时，，则解得，所以； 当时，，则解得，所以； 综上，当时，；当时，；当时，； （2）由（1）可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，要满足时有且仅有一个整数解， 则或，解得或； 当时，，则，不符合题意； 综上，实数a的取值范围为或. 题型7 集合的新定义问题 例7-1新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出一元二次不等式的解集，然后由交集的运算求解，计算子集的个数即可. 【详解】由自恋数的定义可知一位正整数的自恋数组成集合， 解不等式得，所以， 所以，故其子集个数为， 故选：C 例7-2集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、交集的概念及运算 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 例7-3定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】集合新定义 【分析】本题需要理解题目给出的特征的定义，灵活运用集合的性质进行求解.应用转化与化归的方法. 【详解】（1）由题意,. （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式； 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数， 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为， 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，， 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为. 【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 方法技巧 集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【变式训练7-1】对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而，则中有 个元素． 【答案】4 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、集合新定义 【分析】先解出不等式求得集合，再结合自恋数及交集的定义求解即可. 【详解】由，即， 解得或， 则或， 在内的自恋数有：， 在内的自恋数有：， 所以，有4个元素. 故答案为：4. 【变式训练7-2】设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 【答案】化学，地理，历史； 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】由题意符合条件的需满足与中的相同元素要一样多，与的相同元素少于与中的相同元素，写出即可. 【详解】由，可知元素越多，越少，故越大， 由，可得则与中的相同元素要一样多， 且与的相同元素少于与中的相同元素即可满足题意. 如化学，地理，历史可满足题意. 故答案为：化学，地理，历史. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，重点在于理解定义，得到需满足的条件. 【变式训练7-3】若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合”. 【答案】(1)不是为“双集合”，理由见解析. (2)或 (3) 【知识点】集合新定义 【分析】（1）直接按照题中概念判断即可； （2）直接按照题中概念计算； （3）先根据（2）讨论有两个元素时的情况，然后再讨论多余两个元素的情况即可. 【详解】（1）假设，则，故不是为“双集合”. （2）假设，则另一个元素为，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 （3）若满足条件的“双集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双集合”的有 当“双集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，第二大的元素为， 所以有是“双集合”中的元素 所以 若 与已知矛盾， 故 解得，显然与不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“双集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“双集合”为 一．填空题 1.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合4={2≤x<4,xR)，则= 【知识点】补集运算 【答案】{4≤x≤5,xR}/[4,5] 【解析】画数轴解决即可 2.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 3．（2023•上海春季高考）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B， 则a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题． 二．选择题 4. 【2024上海秋季高考】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 5. 【2024上海秋季高考】已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断. 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 6．（2023·上海秋季高考）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 7．（2022•上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} 【分析】根据集合的运算性质计算即可． 【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z， ∴A∩B＝{﹣1，0，1}， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题． 8．（2021•上海春季高考）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　） A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可． 【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}， 解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}， ∁RA＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁RB＝{x|﹣1＜x＜2}； 则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$