第01讲 集合（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第01讲 集合 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 4 考点一 集合的含义与表示 4 考点二 集合间的基本关系 4 考点三 集合的基本运算 5 考点四 venn图 5 考点五 集合新定义 6 三阶突破训练 7 基础过关 7 能力提升 8 真题感知 10 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年北京卷，第一题，5分 集合的交集 无 2025年，全国I卷，5分 集合的补集 无 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元二次不等式的解法 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 无 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 根号不等式的解法 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 单绝对值不等式的解法 2021年新I卷，第1题,5分 集合的交集 无 2021年新Ⅱ卷，第2题,5分 集合的交集、补集 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题 4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法： 、 、 ． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的 ，是任何非空集合的 ． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} 考点一 集合的含义与表示 典例1．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 典例2．若集合中只有一个元素，则 . 跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 考点二 集合间的基本关系 典例1．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 典例2．（多选）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 考点三 集合的基本运算 典例1．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 典例2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为 . 考点四 venn图 典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（   ） A． B． C．， D． 跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 考点五 集合新定义 典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（    ）. A．8种 B．9种 C．27种 D．16种 跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有 种． 跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数． 1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．集合的子集个数为（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 9．设集合，则（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4.已知集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为4 C． D． 8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 个元素． 10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 10．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 4 考点一 集合的含义与表示 4 考点二 集合间的基本关系 5 考点三 集合的基本运算 7 考点四 venn图 9 考点五 集合新定义 12 三阶突破训练 14 基础过关 14 能力提升 17 真题感知 23 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年北京卷，第一题，5分 集合的交集 无 2025年，全国I卷，5分 集合的补集 无 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元二次不等式的解法 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 无 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 根号不等式的解法 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 单绝对值不等式的解法 2021年新I卷，第1题,5分 集合的交集 无 2021年新Ⅱ卷，第2题,5分 集合的交集、补集 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题 4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 考点一 集合的含义与表示 典例1．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 典例2．若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集和并集结果分析即可得解. 【详解】因为，所以必有，且， 又，则和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素. 若，则必有. 故选：C 跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解. 【详解】因为正六棱柱的底面为边长为2，高为3，平面，所以， 则. 故选：A. 考点二 集合间的基本关系 典例1．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 典例2．（多选）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 【答案】AC 【分析】对于A由即可判断，对于B由于即可判断，对于C存在，，，使得，，计算是否满足集合即可判断，对于D验证是否满足集合即可判断. 【详解】对于A：因为对任意的，均有，显然，，故的所有项构成的集合是A的子集，故A正确； 对于B：数列的首项，，a，，故B错误； 对于C：若m，，则存在，，，使得，，则，故，故C正确； 对于D：由C项知， 但不一定是整数，故不一定有，故D错误． 故选：AC. 跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合不等式及幂函数的性质求出集合，进而结合非空真子集的结论求解即可. 【详解】由，，则，即，， 由，，，，则， 所以，共有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：B. 跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 考点三 集合的基本运算 典例1．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得1是方程的根，据此可得答案. 【详解】因为，, 所以1是方程的根，3不一定是方程的根， 则，解得， 故，符合题意， 故． 故选：B． 典例2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式求解方法求出，利用指数函数的性质求出，再根据集合间的交集和补集计算即可. 【详解】由题意，即，解得， 可得，所以， 故， 故选：D. 典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知写出集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：D 跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解对数不等式和分式不等式得到集合和，再分、和对含参一元二次不等式的解集进行讨论可得结果. 【详解】， ． 当时，，由得； 当时，，由得； 当时，，与不符． 综上，. 故选：D． 跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解不等式得到，根据交集结果得到答案. 【详解】由题意可知， 因为，则，所以实数的取值范围为. 故答案为： 考点四 venn图 典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合. 【详解】由题得，，则或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A 典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【答案】C 【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可. 【详解】设敲钟持续的时间为秒， 则甲乙丙钟敲响次数分别为，，， 由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为， 由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为， 由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为， 由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为， 由容斥原理易知， 解得，则． 故选：C． 典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（   ） A． B． C．， D． 【答案】AD 【分析】根据可知,即可结合选项逐一判断即可. 【详解】由可知, 对于A,满足,故A正确， 对于B, ，此时不满足,故B错误， 对于C, ，当且仅当取等号，故，此时,故C错误， 对于D，或，故,D正确， 故选：AD 跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 考点五 集合新定义 典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据二进制写出即可求出. 【详解】因， 则． 故选：D． 跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（    ）. A．8种 B．9种 C．27种 D．16种 【答案】C 【分析】根据题意，对于1，3，5每个数都有3种选择，故有种. 【详解】根据题意，对1，3，5而言，要么只在集合中，要么只在集合中，要么不在这两个集合的任意一个中，即每个数都有3种选择，故有种. 故选：C 跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有 种． 【答案】 【分析】按集合中元素的个数进行分类，再应用二项式展开式逆用求解. 【详解】按集合中的元素个数进行分类： 若中有0个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有1个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有2个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有3个元素（即种）时，则有种，共有种； … 若中有个元素（即种）时，则有种，共有种. 可得，故这样的分拆方法有种. 故答案为： 跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数． 【答案】 【分析】由集合新定义即可求解. 【详解】不妨设， 则，所以． 又，所以． 故，当时，等号成立． 1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合. 【详解】由题得，，则或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A 2．集合的子集个数为（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】根据定义域的求法，先解对数不等式；再利用集合子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】依题意得，，所以， 因为，所以， 所以集合的子集个数为． 故选：B． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式及分式不等式，再根据集合的关系进行判断即可. 【详解】等价于，解得， 所以， ，即， 因为函数为增函数，所以， 即， 所以，. 故选：B. 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求得集合,然后求交集. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为， 或，. 或或，， . 故选：B 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 9．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解分式不等式来求解集合，然后利用交集运算即可． 【详解】由题可知：或， 所以． 因为，所以. 故选：B 1．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式的解法解出集合，再利用并集和补集的定义求解即可. 【详解】由可得或， 解得或，即或， 因此，，则. 故选：C. 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解不等式化简集合，再求 【详解】由得，即，∴， 由，得，∴． 所以． 故选：B． 4.已知集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合并运算求集合. 【详解】由，， 所以. 故选：A 5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【答案】C 【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可. 【详解】设敲钟持续的时间为秒， 则甲乙丙钟敲响次数分别为，，， 由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为， 由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为， 由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为， 由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为， 由容斥原理易知， 解得，则． 故选：C． 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别求出集合和集合的解集，再求两个集合的交集. 【详解】因为，，且，，所以必有，解得，则. 又，故． 故选：B. 7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为4 C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B错误； 因为，所以，错误. 故选：AC 8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 个元素． 【答案】7 【分析】先通过特例法找出集合中的元素个数，再设集合，且，，，，，得，，，，，，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案. 【详解】由题可知，，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下： 设集合，且，，，，， 则，且，则， 同理，，，，． ①若，则，且，，，，则，故， 所以，又，故，所以，故， 此时，，故，与有4个元素矛盾，舍去． ②若，则，故，所以. 同理，故，所以. 又，故， 所以，故，此时． 若，则，故，，，，. 故，，，，，即. 故，此时， 即中有7个元素． 故答案为：7. 10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 9．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 10．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$