第5章 分式方程-【一本·中考总复习】2026年中考训练方案 数学

第五章 考点1分式方程及其应用 变式训练12方程两边乘x一1，得2x一(x一1) m,解得x=m-1. 方程无解，∴x=1,.1=m-1,解得m=2. 变式训练2解：(1)设该商店第一次购进时每件玩 具的价格为x元，则第二次购进时每件玩具的价 格为(1十20%)x元. 根据题意，得3000 3000 x (1+20%z=10, 解得x=50. 检验：当x=50时，(1十20%)x≠0，∴.原分式方 程的解是x=50,且符合题意， 答：该商店第一次购进时每件玩具的价格为 50元. (2)由题意，得总利润为70× T3000 3000 50+50×(1+20%」 -3000×2= 1700(元) 答：两次售出玩具的总利润为1700元. 1.A 2.D 3.D原方程两边同乘x-2,得-(3-ax)=a (x-2). 化简，得ax-3=a-x十2， 即(a+1)x=a+5. 当整式方程无解时，a十1=0且a十5≠0，即a= 一1，此时方程无解； 当解为增根时，2一-2。 解得a=3,此时x=2使原方程分母为零，无意 义，方程无解. 综上，a的值为-1或3. 4.x=一1方程两边乘x(2x十3)，得 x+(2x十3)=0， 解得x=一1. 检验：当x=一1时，x(2x十3)≠0， 原分式方程的解为x=一1. 5.-1方程两边乘x-2,得x十m+(-1)= 3(x-2), .∴.m=2x-5. ,原分式方程有增根， ∴.x-2=0,.x=2, ..m=2×2-5=-1. 6.解：方程两边乘(x一2)(x一1)，得(x一3)(x一1)一 2=2(x-2). 去括号，得x2-3x-x十3-2=2x-4. 移项、合并同类项，得x2一6x十5=0， 011● 分式方程 .(x-1)(x-5)=0, .x-1=0或x-5=0, 解得x=1或x=5. 检验：当x=1时，(x-2)(x-1)=0,因此x=1 不是原分式方程的解； 当x=5时，(x-2)(x-1)=12≠0，因此x=5是 原分式方程的解. 故原分式方程的解为x=5. 7.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为xkW·h, 则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x一32)kW·h. 报据题意，得992-90， x 解得x=96. 检验：当x=96时，x(2x-32)≠0， ,.原分式方程的解是x=96,且符合题意 ..2x-32=160. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160kW·h 8.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 x km. 根据题意，得。92一16-2， 解得x=2. 检验：当x=2时，x≠0， 原分式方程的解为x=2,且符合题意。 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 2 km. 9.D已知燃气汽车每千米所需的费用为x元，则 燃油汽车每千米所需的费用为(3x一0.1)元. 根据感查，得3z257只 10.12 2≤3,0 4x-2<3x十a.② 解不等式①，得x≤4. 解不等式②，得x<a十2. 由题意，得a十2>4， 解得a>2. 解分式方程号号产21， 得0且-2 :关于y的分式方程号没中21的解均为 负整数， ∴当a=8时，y=8,10_一1， 2 当a=6时，y=6,10=一2（不合题意，舍去） 2 当a=4时y=4,10--3. 2 ◆012 综上，满足条件的整数a的值有8,4. .8+4=12, ∴.所有满足条件的整数a的值之和是12. 11.解：(1)设原计划每天铺设管道的长度为xm,则 实际每天铺设管道的长度为(1十25%)x= 1.25x(m). 根据道意，得12+15=3090。 x 解得x=40. 检验：当x=40时，1.25x≠0， ∴.原分式方程的解是x=40,且符合题意， .1.25x=50. 答：原计划与实际每天铺设管道的长度分别为 40m,50m. (2)设该施工单位原计划安排y名工人施工 3000÷40=75(天). 根据题意，得300×75y≤180000， 解得y≤8， y的最大值为8. 答：该施工单位原计划最多应安排8名工人 施工 12.解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生 产线 根据题意，得3x十2y=70, |x+y=30, 得0 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生 产线 第六章 考点12 一元二次方程及其解法 变式训练16.m是一元二次方程x2十x一6=0 的一个根， .将x=m代入方程x2+x一6=0， 得2+m-6=0,即m2+m=6. 变式训练2解：小敏：×；小霞：×. 正确的解答过程如下： 移项，得3(x一3)-(x3)2=0. 提公因式，得(x一3)(3一x十3)=0， 则x-3=0或3-x十3=0， 解得x1=3,x2=6. 1.A:关于x的一元二次方程(a十2)x2+x十 a2-4=0的一个根是x=0, ∴.a2-4=0且a+2≠0， 解得a=2. 2.D由题意可知，x2-2x-2023=0, .∴.x2-2x=2023, (2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入 m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投 入(m+5)万元. 根据题意，得200=180 m+5 m' 解得m=-45. 检验：当m=45时，m(m十5)≠0， ∴.原分式方程的解是m=45,且符合题意， ∴.m+5=50, ,∴.10×50+20×45-70=1330（万元）. 答：还需投入1330万元资金更新生产线的 设备. 13.号由题意，得原来n名同学之间的距离为2四， n (n+2)名同学之间的距离为2rrta, n+2 .2=2π(r+a n n十2 整理，得2=0，即片=受 设又有一名同学要加入队伍时，每人须往后移动 的距离为x, 则(n+3)名同学之间的距离为2xr+0+2 n+3 根据题意，得2r十a+x)_2r n+3 n 整理，得=-a. n 片-号x--a=3x号-a=受 元二次方程 .x2-2x+1=2023+1, 即(x-1)2=2024, .a=-1,b=2024, .a5=(-1)2024=1. 3.2019把x=3代入方程，得9a-3b=6, 即3a-b=2, 则原式=2023-2(3a-b)=2023-4=2019. 4.解：移项，得x2十2x=1. 配方，得x2+2x十1=1+1， 即(x十1)2=2. 开方，得x十1=士√2， 解得x1=√2-1，x2=-√2-1. 5.C根据题意，得a2-2a=1, 解得a=1土√2. .a>0, .a=1+√2， 6.2或-1min(x-1)2,x2}=1, .(x-1)2=1或x2=1.035◆ 第五章分式方程 考点 11 分式方程及其应用 答案|P011 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.分式方程及其解法 染桌桌 2.由分式方程解的情况求 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 桌染染 字母的值或范围 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 3.分式方程的应用 染染染 明考向 考句1 分式方程及其解法 ∴.x=一1是原方程的增根， ∴.原方程的解为x=2. 分式方程 分母中含未知数的方程 ,点拔解分式方程时应注意两，点 基本思路：分式方程去分母 整式 (1)去分母时，不要漏乘不含分母的整式项 转化 方程 (2)解分式方程必须验根. 解分式方程 步骤：(1)去分母；(2)解这个整式方 由分式方程解的情况求字母的 程；(3)检验；(4)得出结论 考句2 值或范围 口诀：一化，二解，三检验，四写根 增根存在的条件：(1)必须是去分母 分式方程无解分两种情况： (1)分式方程变形为整式方程， 分式方程的增根 后的整式方程的根；(2)此根会使原 整式方程的解恰好使分式方程 分式方程的某个分母为0 分式方程无解 的分母为0； 2 (2)分式方程变形为整式方程， 典例1解方程：z千1一2 整式方程无解 解方程两边乘(x十1)(x一1)，得x(x一1)=2. 求参数的值或取值范围的 去括号，得x2-x=2. 思路： (1)把参数当作已知数解分式 移项，得x2-一x-2=0, 方程 ∴.(x-2)(x+1)=0, (2)用含参数的代数式表示方 分式方程的特殊解 解得x=2或x=一1. 程的根. (3)依据题意分类讨论，确定字 检验：当x=2时，(x十1)(x一1)≠0， 母参数的值或取值范围： x=2是原方程的解」 ①正根：含参代数式>0； 当x=-1时，(x+1)(x-1)=0, ②负根：含参代数式<0 ◆036 典例2若关于x的方程2x十m+二1=3的解 解设小杰平均每分钟清点图书x本，则小 x-2 2-x 江平均每分钟清点图书1.25x本. 是正数，则m的取值范围为 解析原方程两边乘x一2，得2x十m一（x 依题意，得540 600≥5， 1.25x 1)=3(x-2),解得x=m+7 解得x=12. 2· 检验：当x=12时，1.25x≠0，∴.原分式方程 m+7>0, 的解是x=12,且符合题意， 原方程的解是正数且x≠2，∴. m十1≠2， .1.25x=15, 2 答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平 解得m>-7且m≠-3. 均每分钟清点图书15本. 答案m>-7且m卡-3 点拨列分式方程解应用题必须严格按照步 71 变式训练1若关于x的分式方程2二 骤进行答题，规范解题步骤.另外还要注意完 整性，如设和答的叙述要完整，要写出单 无解，则m= 位等 变式训练2某商店用3000元购进一批玩具后 考向3分式方程的应用 很快售完；第二次购进时，每件玩具的进价提 列分式方程解应用题的一般步骤 高了20%，用3000元购进同样的玩具的数 (1)审：理解题意，弄清具体情境中的已知 量比第一次少了10件. 量与未知量，以及它们之间的关系 (1)求该商店第一次购进时每件玩具的价格； (2)设：设出适当的未知数， (2)若该商店两次购进的玩具售价均为70元， (3)列：找出等量关系，列出分式方程 且全部售完，求两次售出玩具的总利润 (4)解：解这个分式方程， (5)验：双重检验，先检验是否为增根，再检 验是否符合题意及实际意义. (6)答：写出答案 典例3小江与小杰两名同学协助学校图书馆清 点一批图书，小江清点完600本图书比小杰 清点完540本图书少用了5min.已知小江平 均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍， 求两名同学平均每分钟清点图书各多少本 过真题 2.[2024·新疆]某校九年级学生去距学校 。·。A组基础题。· 20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先 女x千1去分母后 1.[2025·湖南]将分式方程1=2 出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果 得到的整式方程为 ( 同时到达.已知乙车的平均速度是甲车平均速 A.x+1=2x B.x+2=1 度的1.2倍，设甲车的平均速度为xm/h,根 C.1=2x D.x=2(x十1) 据题意所列方程为 037◆ A20-5 B.20-720=5 个工作队人工更换钢轨的长度的2倍，它更 x1.2x 换116km的钢轨比一个工作队人工更换 c2z0-品 -x12 D.2020 1 x-1.2x-12 80km的钢轨所用时间少22h.求一辆该型 3.[2025·四川遂宁]若关于x的分式方程 号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米。 2-xc二21无解，则a的值为( 3-axa ) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 4[2024·北京]方程2z十3+士=0的解 为 5.[2023·四川巴中]若关于x的分式方程 中段+2之3有增根，则m 。··B组能力题。。。 6.[2025·上海]解方程：-3一 2 9.[2023·四川广安]为了降低成本，某出租车 x-2x2-3x十2 公司实施了“油改气”措施.如图，y1,y2分别 2 表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位： x-1 元)与行驶路程s(单位：km)的关系.已知燃 油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米 所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每 千米所需的费用为x元，则所列方程为 () 7.[2024·山东威海]某公司为节能环保，安装了 y/元1 一批A型节能灯，一年用电16000kW·h,后 25----------y1 购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电 10 9600kW·h.一盏A型节能灯每年的用电 s/km 量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少 32kW·h.求一盏A型节能灯每年的用 A.2510 B25 10 x3x-0.1 x3x+0.1 电量. 25 -10 25 C.3z+0.1x =10 D3z259 10.[2024·重庆B卷]若关于x的一元一次不 2x+1∠3， 等式组 3 的解集为x≤4，且关 4x-2<3x+a 8.[2025·山西]我国自主研发的HGCZ一2000 型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精 于y的分式方程号8)产2=1 准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该 的解均为负整数，则所有满足条件 型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度是一 的整数a的值之和是 ◆038 11.[2024·四川雅安]某市为治理污水，保护环 (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设 境，需铺设一段全长为3000m的污水排放 备比购买更新1条乙类生产线的设备需多 管道，为了减少施工对城市交通所造成的影 投入5万元，用200万元购买更新甲类生产 响，实际施工时每天铺设管道的长度比原计 线的设备数量和用180万元购买更新乙类 划增加25%，结果提前15天完成铺设任务. 生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 (1)求原计划与实际每天铺设管道的长度分 70万元的补贴后，还需投人多少资金更新生 别为多少米 产线的设备？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工 人的工资进行了初步的预算，工人每天人均 工资为300元，所有工人的工资总金额不超 过18万元.该施工单位原计划最多应安排 多少名工人施工？ 。·。C组创新题·· 13.【创新考法】若干名同学参加课后社团 舞蹈活动，一次排练中，先到的n名同学均 匀排成一个以点O为圆心，r为半径的圆圈 (如图)，又来了两名同学，先到的同学都沿 各自所在半径往后移动，移动的距离为α，再 左右调整位置，使这(n十2)名同学之间的距 离与原来n名同学之间的距离（即在圆周上 相邻两人之间的圆弧的长)相等.这(n十2) 12.[2024·重庆A卷]为促进发展，某企业决定 名同学排成圆圈后，又有一名同学要加入队 投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生 伍，重复前面的操作，则每人须往后移动 产线的设备进行更新换代。 的距离（用含a的代数式表示），才 (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某 能使得这(n十3)名同学之间的距离与原来 市出台了相应的补贴政策.根据相关政策， n名同学之间的距离相等. 更新1条甲类生产线的设备可获得3万元 的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得 2万元的补贴，这样更新完这30条生产线的 设备，该企业可获得70万元的补贴.问：该 企业甲、乙两类生产线各有多少条？