第4章 一次方程(组)-【一本·中考总复习】2026年中考训练方案 数学

027。 第2模块 方程（组)与不等式（组) 第四章 一次方程（组) 09 一元一次方程及其应用 答案1P009 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.一元一次方程 1能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解 染桌 及其解法 的意义，经历估计方程解的过程， 2.实际问题与 2掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 桌桌来 元一次方程 3能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 明考向 考句1 一元一次方程及其解法 合并同类项，得5x=35. 系数化为1，得x=7. 等式两边加（或减）同一个数（或 性质1 式子)，结果仍相等.如果a=b,那 点拨解一元一次方程要注意的问题：(1)去 么a±c=b±c 分母时，不要漏乘不含分母的项；(2)分子是 等式的 一个整体，去分母后应加上括号；(3)系数化 等式两边乘同一个数，或除以 性质 同一个不为0的数，结果仍相等. 为1时，不要把分子与分母弄颠倒， 性质2 如果a=b,那么ac=bc;如果a= 变式训练小红在解方程号-。+1时，第 6 b(c≠0)，那么只=b c c 步出现了错误（如图）： 只含有一个未知数（元），未知数 解：2×7x=4x-1+1. 定义 一元一次 的次数都是1，等号两边都是整式 方程 解一元 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (1)请用横线划出小红的错误之处 次方程(4)合并同类项；(5)系数化为1 (2)写出正确的解答过程. 典例1解方程：分3+号=4 解去分母，得3(x一3)十2(x一1)=24. 去括号，得3x一9十2x-2=24. 移项，得3x十2x=24十9十2. 028 考向2 实际问题与一元一次方程 典例2为了美化环境，建设生态桂林，某社区需 1.列方程解决实际问题的一般步骤 要进行绿化改造，现有甲、乙两个工程队可供 分析题意，找出题中的各个数量之间的关系 选择.已知甲工程队每天能完成的绿化改造 审 及其等量关系式 面积比乙队多200m,甲工程队与乙工程队 设 选择一个适当的未知数用字母表示 合作一天能完成800m的绿化改造面积. 列 根据等量关系列出方程（组） (1)甲、乙两个工程队每天各能完成多少平方 解 解方程（组），求出未知数的值 验 检验求得的值是否正确和符合实际情况 米的绿化改造面积？ 答 解答题需要作答，注意单位名称 (2)该社区需要进行绿化改造的区域共有 2.常见应用类型及等量关系 12000m,甲工程队每天的施工费用为 题中涉及的数量关系及公式 600元，乙工程队每天的施工费用为400元， 增长量=原有量×增长率；现有量=原 现有以下三种施工方案：①甲工程队单独完 和、差、倍 有量十增长量；现有量=原有量一降 分问题 成；②乙工程队单独完成；③甲、乙两个工程 低量 队全程合作完成.哪一种方案所需的施工费 m件A产品与n件B产品配套：A产品 配套问题 的数量Xn=B产品的数量×m 用最少？ 工作量=工作效率X工作时间； 解 (1)设乙工程队每天能完成xm的绿化 工程问题 两个或几个工作效率不同的对象所完成 改造面积，则甲工程队每天能完成(x十200)m 的工作量的和等于总工作量 相遇 的绿化改造面积。 快车行驶路程十慢车行驶路程=全路程 问题 依题意，得x+200十x=800,解得x=300. 快车行驶路程一慢车行驶路程一原距离 ∴.x+200=500. 追及 (同时不同地出发) 答：甲工程队每天能完成500m的绿化改造 问题 快车行驶路程=慢车行驶路程（同地不 面积，乙工程队每天能完成300m2的绿化改 同时出发) 顺流速度=静水速度十水流速度； 造面积 航行 逆流速度=静水速度一水流速度； (2)选择方案①所需的施工费用为600× 问题 水流速度 1 (顺流速度一逆流速度) 12000=14400(元)； 500 销售 商品的利润率= 商品利润 利润 商品进价 ×100%;商 问题 品利润=商品售价一商品进价（或成本） 选择方案②所需的范工费用为400×12000- 300 球队 比赛总场数=胜场场数十平场场数十负 16000(元)； 积分 场场数；比赛总积分=胜场积分十平场 问题 积分十负场积分 选择方案③所需的施工费用为(600十400)× 储蓄 利息=本金×利率×期数；本息和=本 12000 问题 金十利息=本金×(1十利率×期数) 500+300 =15000(元). 方案 根据题意分别列出不同方案的代数式， 决策 再通过计算比较结果，即可得到满足题 .14400<15000<16000, 问题 意的方案 .选择方案①所需的施工费用最少 029 过真题 。。。A组基础题·· 6.[2024·四川攀枝花]我国古代称幻方为“河 1.[2024·福建]今年我国国民经济开局良好， 图”“洛书”，又称“纵横图”.在如图所示的幻 市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一 方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线 季度社会消费品零售总额120327亿元，比去 上的三个数之和均相等，则a的值 年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会 为 消费品零售总额.若将去年第一季度社会消 9 费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方 程是 ( A.(1+4.7%)x=120327 B.(1-4.7%)x=120327 7.[2024·山东滨州门解方程.2,1=x十1 3 21 C.1+4.7%=120327 D.1-7%=120327 2.[2024·贵州]小红学习了等式的性质后，在 甲、乙两台天平的左、右两边分别放入“”“●” 8.[2024·陕西A卷]星期天，妈妈做饭，小峰和 “▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若 爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大 设“■”与“”的质量分别为x,y,则下列关系 扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h;若爸 式正确的是 爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了 一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单 独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次 A.x=y B.x=2y C.x=4y D.x=5y 一共打扫了3h,求小峰打扫的时长。 3.[2023·湖南永州改编]若关于x的一元一次 方程2x+m=5的解为x=1,则m的值 为 4.[2025·四川成都]任意给一个数x,按下列程 序进行计算.若输出的结果为15，则x的值为 9.[2024·北京]为防治污染，保护和改善生态 /输入x乘6减3输出 环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽 5.[2024·贵州]在《算术启蒙》中，记载了一道 车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）. 题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行 对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量 150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要 不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和 的天数是 (里为我国古代长度单 不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A, 位，1里=500m) B两类物质排放量之和原为92mg/km,经过 ◆030 一次技术改进后，该汽车的A类物质排放量 (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分 降低了50%，B类物质排放量降低了75%， 别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的 A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断 温度比铜棒的温度高20℃，求该铁棒温度 这次技术改进后，该汽车的A类物质排放量 的增加量： 是否符合“标准”，并说明理由 。··C组创新题·。 12.【创新考法】聪聪在一本数学课外读物中看 到这样一则信息：1925年，数学家莫伦发现 了世界上第一个完美长方形如图1所示，它 恰好能被分割成10个大小不同的正方形. 。。。B组能力题·。 聪聪仔细研究此图后，设计出了一个如图2 10.[2024·广东广州]定义新运算：a☒b= 所示的“准完美长方形”，其中标号“3”与“4” a2-b,a≤0， 的两个正方形大小完全相同.若标号为“1” 例如，一2☒4=（一2）2一4= -a+b,a>0. 的正方形的边长为1cm,求这个“准完美长 0,283=-2+3=1.若⑧1=-是，则x的 方形”的面积. 值为 6 8 11.[2025·河北]一般固体都具有热胀冷缩的 性质，固体受热后其长度的增加称为线膨 9 胀.在0~100℃（本题涉及的温度均在此范 围内)内，原长为lm的铜棒、铁棒受热后， 图1 图2 伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的 关系均为y=alx,其中a为常数，称为该金 属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数acu= 1.7×10-5（单位：/℃)；从20℃加热到 80℃，原长为2.5m的铁棒伸长了1.8× 10-3m. (1)原长为0.6m的铜棒温度升高50℃，求 该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）. (2)求铁的线膨胀系数ae;若原长为1m的 铁棒受热后伸长4.8×104m,求该铁棒温 度的增加量。 031 10 二元一次方程（组）及其应用 答案IP009 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.二元一次方程 染桌染 组及其解法 1.掌握消元法，能解二元一次方程组。 2能解简单的三元一次方程组。 2.二元一次方程 染染染 3能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 组的应用 明考向 考向1二元一次方程组及其解法 x-y=1, 典例1解二元一次方程组： 1.二元一次方程（组）的概念 3x+2y=8. (1)二元一次方程：含有两个未知数，并且含 x-y=1,① 有未知数的项的次数都是1的整式方程。 解 方法① 3x+2y=8.② (2)二元一次方程组：有两个未知数，含有每 ①X2,得2x-2y=2.③ 个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个 ②+③，得5x=10, 方程的方程组。 解得x=2. 2.二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的核心思想：化“二元”为 将x=2代入①，得y=1, “一元”，即“消元” x=2, ∴方程组的解为 步骤 代入消元法 加减消元法 y=1. 变形：用含一个未 x-y=1,① 变形：将某一未知数的系数 方法② 1 知数的式子表示 化为相等或互为相反数 3x十2y=8.② 另一个未知数 整理①，得x=y十1.③ 代入：将变形后的 加减：系数相等的两方程相 将③代入②，得3(y+1)+2y=8, 式子代入另一个 减，系数互为相反数的两方 方程，实现消元 程相加，实现消元 解得y=1. 3 求出一元：解一元一次方程，求出一元 将y=1代入③，得x=2, 4 求出另一元：将求出的一元代入，求出另一元 x=2, .方程组的解为 答案：写出方程组的解 y=1. ◆032 规律方法 选用二元一次方程组的解法的策略 规律方法 列二元一次方程组解决实际问 当二元一次方程组的两个方程中同一个未 题的一般步骤 知数的系数互为相反数或相等时，直接选择 (I)审题：找出题中的已知量和未知量及它 加减消元法；当二元一次方程组的两个方程 们之间的关系. 中同一个未知数的系数为1或一1时，可以 (2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并 考虑用代入消元法；当同一未知数的系数既 用字母表示出来， 不相等也不互为相反数时，需进行转化， (3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个 等量关系，列出方程组， x=1, 变式训练1已知 是二元一次方程组 (4)求解 y=-3 (5)检验并作答：检验所求解是否符合题意 ax+by=2, 及实际意义，并作答。 的解，则a十6b 的值 2ax-by=8 变式训练2某校为实现垃圾分类投放，准备在 为」 校园内摆放大、小两种垃圾桶.已知购买2个 考向2 二元一次方程组的应用 大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元，购买6 列方程组解应用题的一般步骤：审、设、列、 个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元. 解、验、答 (1)求大、小两种垃圾桶的单价. 典例2甲、乙两工程队共同修建一条长为 (2)若该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾 桶，则共需多少元？ 150km的公路，原计划30个月完工，而实际 施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了 50%,乙队施工效率不变，结果提前了5个月 完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修 建多少千米公路？ 解设甲工程队原计划平均每月修建xkm 公路，乙工程队原计划平均每月修建ykm 公路 30(x+y)=150, 根据题意，得 (30-5)[(1+50%)x+y]=150, x=2, 解得 y=3. 答：甲工程队原计划平均每月修建2km公 路，乙工程队原计划平均每月修建3km 公路. 033◆ 过真题 3x-2y=11,① 。。。A组基础题。。 5.[2025·山西节选]解方程： x+2y=1.② 1.[2024·内蒙古赤峰]用1块A型钢板可制成 3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型 钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板. 现在需要58块C型钢板、40块D型钢板， 问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如 果设用A型钢板x块，B型钢板y块，那么所 列方程组为 3x+2y=40, 3x+5y=40, A. B. 4x+5y=58 (4x+2y=58 3x+5y=58, 3.x+4y=58, C. D.1 4x+2y=40 5.x+2y=40 2.[2023·四川眉山改编]已知关于x,y的二元 6.[2023·西藏]列方程（组）解应用题， 3x-y=4m+1, 一次方程组 的解满足x一 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形 x+y=2m-5 状、大小完全相同的长方形墙砖砌成的，求： y=4,则m的值为 (1)一块长方形墙砖的长和宽， 3.[2025·河北]如图，甲、乙两张等宽的长方形 (2)电视背景墙的面积， 纸条的长分别为a,b.将甲纸条的}与乙纸条 的号叠合在一起，形成长为81的纸条，则a十 b= 81 4.[2023·四川巴中改编]某学校课后兴趣小组 在开展手工制作活动中，美术老师要求用14 张卡纸制作圆柱形状的包装盒，准备把这些 卡纸分成两部分，一部分用来做侧面，另一部 分用来做底面.已知每张卡纸可以裁出2个 侧面，或者裁出3个底面.如果1个侧面和2 个底面可以做成1个包装盒，那么这些卡纸 最多可以做成包装盒的个数为 ◆034 7.[2024·海南]端午节是我国传统节日之一， 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒 人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦 共16kg;第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋 肉棕和五花肉棕.请依据以下对话，求促销活 头酒共36kg,且所用的粮食糟醅的质量是第 动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价. 一次的2倍，芋头糟醅的质量是第一次的 端午节那天，商店开展促 销活动，所有粽子都打八 促销活动前，每 3倍 个瘦肉粽比每个 折，买10个瘦肉粽和5个 五花肉棕只需160元. 五花肉棕贵5元悬 (1)求第一次实验分别用了多少千克的粮食 糟醅和芋头糟醅。 (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器 的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟 醅中大米占比约为子，则在古代要想蒸馏出 这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多 少千克大米？ 。。。 B组能力题·。· 8.[2024·黑龙江龙东地区]某班开展了主题为 “书香满校园”的读书活动.该班决定为在活 动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进 行奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3 元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案 共有 A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 9.[2025·江西]某研究院用1：1复原的青铜 蒸馏器（如图）进行了蒸馏酒实验.用复原的 青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原 ··。C组创新题。。 材料与出酒率（出酒率= 出酒量×100%)如 糟醅量 10.【创新考法】已知关于x,y的二元 下表： (ax+biy=c1, 一次方程组 的解 类别 原材料 出酒率 azx+b2y=c2 粮食糟醅（含大米、糯米、 粮食酒 30% 谷壳、大曲和蒸馏水) 是任=2”则关于m,n的二元一次方程组 y=3, 芋头糟醅（含芋头、小曲 芋头酒 20% a(m+n)+b(m-n)=2c1, 和蒸馏水) 的解是 a2(m十n)+b2(m-n)=2c2第四章 考点09 一元一次方程及其应用 变式训练解：(1)如图所示 解：2×7x=4x-1十1. 80000e (2)去分母，得2×7x=4x一1十6. 化简，得14x=4x十5. 移项，得14x-4x=5. 合并同类项，得10x=5. 系数化为1，得工=日 1.A 2.C设“▲”的质量为a.由天平甲可得，x十y=y十 2a,即x=2a;由天平乙可得，x十a=x十2y, 即a=2y,∴.x=4y. 3.3,x=1是关于x的一元一次方程2x十m=5 的解， .2×1+m=5, 解得m=3. 4.3由题意，得6x一3=15， 解得x=3. 5.20设快马追上慢马需要的天数是x. 根据题意，得240x=150(12十x), 解得x=20. 故快马追上慢马需要的天数是20. 6.3如图 根据题意，得x十5=2十9， .x=11-5=6. 9+5=x+y, ∴.y=14-6=8. a+y=2+9, ,∴.a=11-8=3. 7.解：去分母，得2(2x-1)=3(x十1). 去括号，得4x-2=3x十3. 移项，得4x-3x=3十2. 合并同类项，得x=5. 8.解：设小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3一x)h 根搭题意，得学+32=1， 解得x=2. 答：小峰打扫了2h. 9.解：这次技术改进后，该汽车的A类物质排放量 符合“标准”.理由如下： 009 次方程（组） 设这次技术改进前，该汽车的A类物质排放量为 xmg/km,则B类物质排放量为(92-x)mg/km. 根据题意，得(1-50%)x十(1-75%)(92-x)= 40,解得x=68, '这次技术改进后，该汽车的A类物质排放量为 (1-50%)x=34. ,“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km, 34<35, 这次技术改进后，该汽车的A类物质排放量符 合“标准” 10.-7或7“⑧1=-， ∴当<0时2-1=-是， 解得x=一或x-(不合题意，合去)， 当>0时，-x+1=一，解得x=子 综上所述x的值为合或子。 11.解：(1)1.7×10-5×0.6×50=5.1×10-4(m), 答：该铜棒的伸长量为5.1×104m. (2)由题意，得am·2.5X(80-20)=1.8×103, 解得re=1.2X10-5. 设该铁棒温度的增加量为)℃。 根据题意，得1.2×105×1·x1=4.8×104, 解得x=40, 答：铁的线膨胀系数a=1.2X105/℃，该铁棒 温度的增加量为40℃. (3)设该铁棒温度的增加量为x2℃，原长为m. 根据题意，得1.7×10-5l。(x2-20)=1.2× 105lx2, 解得x2=68. 答：该铁棒温度的增加量为68℃. 12.解：设这个“准完美长方形”中标号“3”的正方形 的边长为xcm,则标号“2”的正方形的边长为 (2x一1)cm,标号“5”的正方形的边长为(x十1)cm, 标号“6”的正方形的边长为(x十2)cm 根据题意，得x十1十x十2=2x一1十x, 解得x=4, ∴这个“准完美长方形”的宽为4十1十4十2= 11(cm),长为4+4+4+1=13(cm), ∴.这个“准完美长方形”的面积为13×11= 143(cm). 答：这个“准完美长方形”的面积为143cm. 10 二元一次方程（组）及其应用 变式训练16把 x=1,代入二元一次方程组 y=-3 ◆010 2中n0 ②-①，得a+6b=6. 变式训练2解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小 垃圾桶的单价为y元： 2x+4y=600, /x=180, 依题意，得 解得 6x+8y=1560, y=60. 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为 60元. (2)180×8+60×24=2880(元). 答：共需2880元. 1.0 2.1 /3x-y=4m+1,① x+y=2m-5.② ①-②，得2x-2y=2m十6， .x-y=m+3. .x-y=4,∴.m+3=4, 解得m=1. 3 3.99 根据题意，得 1 (1-3)a+b=81, 解得/a=54, b=45, .a+b=99. 4.12设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面. 由题意，得x十y一14， 2×2x=3y, 解得/x6, y=8, 用6张卡纸做侧面，8张卡纸做底面，则做出侧 面的数量为12，底面的数量为24，∴.这些卡纸最 多可以做成包装盒的个数为12. 5.解：①+②，得4x=12, 解得x=3. 将x=3代入②，得3+2y=1, 解得y=-1, x=3, 这个方程组的解是 y=-1. 6.解：(I)设一块长方形墙砖的长为xm,宽为ym 根据题图，得十，5解得 x=1.2, 2x=x+4y,y=0.3. 答：一块长方形墙砖的长为1.2m,宽为0.3m. (2)电视背景墙的面积为2×1.2×1.5=3.6(m). 答：电视背景墙的面积为3.6m. 7.解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分 别为x元、y元. (10x+5y)×0.8=160, 由题意，得〈 x-y=5, x=15, 解得 y=10. 答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别 为15元、10元. 8.B设购买笔记本x本，碳素笔y支 根据题意，得3x十2y=28, y=14号x x,y均为正整数， =2或z=4或=6或=8， 或 y=11y=81 y=5 y=2, .购买方案共有4种. 9.解：(1)设第一次实验所用的粮食糟醅和芋头糟醅 的质量分别是xkg,ykg,则第二次实验所用的粮 食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2xkg,3ykg. 30%x+20%y=16, 由题意可得， 30%×2x+20%×3y=36, x=40, 解得{ y=20. 答：第一次实验用了40kg的粮食糟醅和20kg的 芋头糟醅. (2)两次实验得到的粮食酒总量为(40十40×2)X 30%=36(kg). 设需要准备之kg大米，则需要粮食糟醅4之kg 由题意可得，4z×30%×80%=36, 解得x=37.5. 答：需要准备37.5kg大米， 巴。代入{x千6y=G, 把 lazx+by=c2, 得2a,十36=，0 l2a2+3b2=c2.② ①+②，得2(a1+a2)+3(b1+b2)=1+c2.③ a1(m+n)+b(m-n)=2c1,④ a2(m+n)+b2(m-n)=2c2.⑤ ④+⑤，得(a1+a2)(m十n)+(b1+b2)(m-n)= 2(c十c2).⑥ 把③代入⑥，得(a1+a2)(m+n)+(b+b2)(m n)=4(a1+a2)+6(b1+b2), +n=解得m=5, (m-n=6, n=-1.