7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 人教A版必修第二册第七章 1.理解推导： 能借助三角恒等变换公式，由代数乘法推导出三角形式的乘、除法法则； 2.描述意义： 能用自然语言准确描述复数乘除运算的几何意义（旋转与伸缩）； 3.直观想象： 能在复平面内画出给定复数与其经过乘除运算后对应点的位置关系，并能根据几何变换预测运算结果； 4.简单应用： 能利用三角形式进行简单的复数乘除运算，并解决简单的几何旋转问题。 学习目标 目标导航 请注意：∣ 𝑧 1 − 𝑧 2 ∣ ∣z 1 ​ −z 2 ​ ∣ 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 1.复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一 一 对 应 一一对应 一一对应 平面向量 a b z=a＋bi r θ 复习引入 2.复数的两种形式 三角形式 代数形式 复习回顾 3.复数的代数形式的乘除运算法则是什么？ 思考：复数的三角形式下的乘、除运算规则是什么？有什么样的几何意义？ 复习引入 如果复数 你能计算出 的积，并将结果表示为三角形式吗？ 即 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 口诀： 模相乘，角相加 一、复数乘法运算的三角表示 新知探究 二、复数乘法运算的三角表示的推广 即复数的n(n∈N*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理． 如果在上式中取 新知探究 【探究】：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 三、复数乘法运算三角表示的几何意义 模: 相当于z1对应的向量绕O按逆时针方向旋转角θ2 （当θ2<0，绕O按顺时针方向旋转角 幅角: z1*z2的几何意义 模变为原来的r2倍 本质是复数所代表向量的旋转和伸缩. 新知探究 几何意义：将复数对应的向量绕点O按照逆时针方向旋转 ，得到-1对应的向量 你能解释和的几何意义吗？ 几何意义：将-1对应的向量绕点O按照逆时针方向旋转，得到1对应的向量 新知探究 四、复数除法运算的三角表示 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 口诀： 模相除, 角相减 复数的除法运算是乘法运算的逆运算,根据复数乘法运算的三角表示,你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 新知探究 五、复数除法运算三角表示的几何意义 【探究】：类比复数三角形式的乘法的几何意义,你能得出复数三角形式的除法的几何意义吗？ 绕O按顺时针方向旋转角θ2 模变为原来的倍 新知探究 六、复数除法运算三角表示的几何意义 【探究】：类比复数三角形式的乘法的几何意义,你能得出复数三角形式的除法的几何意义吗？ 模: 相当于z1对应的向量绕O按顺时针方向旋转角θ2 （当θ2<0，绕O按逆时针方向旋转角 幅角: 的几何意义 模变为原来的倍 本质是复数所代表向量的旋转和伸缩. 新知探究 典例分析 例1 已知 ， ，求 z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释. 解： 首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 的向量OZ． OZ 即为z1z2=3i所对应的向量． 例题练习 典例分析 例2 如图,向量 对应的复数为1+i，把 绕点O按逆时针方向旋转120O，得到 .求向量 对应的复数(用代数形式表示). 解： 向量 对应的复数为 例题练习 例3 计算 并把结果化为代数形式． 解： 例题练习 学以致用 教材P89 变式. 在复平面内，把与复数3-i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数（代数形式表示）． 例题练习 1.计算 : 例题练习 2.计算 : 例题练习 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 1.①复数乘法运算的三角表示： 2.①复数除法运算的三角表示： 模相除，辐角相减 ②复数除法运算的几何意义 向量的旋转和伸缩 ②复数乘法运算的几何意义 模相乘，辐角相加 课堂小结 复数的运算 数系扩充与复数引入 复数的概念 复数的几何意义 复数的分类 复数相等的充要条件 复平面的概念 复数的向量表示 复数的模 共轭复数 复数代数形式的加减运算及其几何意义 复数代数形式的乘除运算 课堂小结 课后作业 教科书第89页练习1、2、3. 教科书第89页习题7.3第4、6、8题 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 $