7.1.1数系的扩充与复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦数系的扩充与复数的概念，通过16世纪卡尔丹解方程的历史情境引入，系统梳理从自然数到实数的数系扩充脉络，以解方程矛盾为支架，引导学生理解引入复数的必要性。 其亮点在于以历史问题和问题链驱动，体现数学眼光（从历史现象发现数量关系矛盾）与数学思维（逻辑推理数系扩充规则），通过复数分类、相等条件等例题辨析，培养抽象能力与逻辑推理素养，助力学生把握概念本质，教师可高效开展概念教学。

7.1.1数系的扩充与复数的概念 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 1.了解引入复数的必要性. 2.了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养. 3.理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义. 学习目标 目标导航 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”. 解：设其中一个数是 x ,则另一个数为10-x. x (10-x) =40 化简得：(x-5)2=-15 该方程无实数解 他想：负数为什么不能开方？ 那么他是怎么解决的呢？ 情境引入 问题1：“数”是万物的本原，这些数是怎么来的吗？ 情境引入 4 最初，人们为了计数和表示物体的数量，逐渐形成了自然数的概念.自然数包括0和所有正整数，它们是人类最早认识和使用的数. 计数的需要 自然数 情境引入 随着生产和生活的需要，人们逐渐遇到了需要表示相反意义或相反方向的情况，如增加和减少、前进和后退等。为了满足这些需求，负数的概念被引入。 负数的引入， 解决了在自然数集中不够减的矛盾 情境引入 6 分数的引入， 解决了在整数集中不能整除的矛盾 在整数的基础上，人们发现有些量不能直接用整数来表示，而需要用分数来表示.例如，半个苹果不能用一个整数来表示，所以又因为等额公平分配的需要，产生了分数. 情境引入 1 1 ? 约2500年前，毕达哥拉斯学派的一个成员发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 从此产生了无理数，也引起了数学史上的第一次危机. 无理数的引入， 解决了开方开不尽的矛盾 情境引入 ①负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。 ②分数的引入，解决了在整数集中不能整除的矛盾。 ③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。 问题2：能否求出 即的解？ 我们要引入怎样的数通过怎样的计算 才能解决负数不能开平方的矛盾呢？ 情境引入 数 系 的 扩 充 思考：观察数系扩充的过程，都有哪些“规则”？ 思考： 数系为什么会不断被扩充？扩充的原因是什么？ 1.引入新数 2.原数集与新数间的四则运算及运算律依然成立 自然数集 刻画相反意义的量 引入了 负整数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 计数的需要 引入了 自然数 整数集 有理数集 实数集 情境引入 从数系扩充的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 【问题1】 思考下列解方程问题，你有什么体会？ （1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解； （2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解； （3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解； （4）在实数数集中求方程x2＋1＝0的解. 数系的每一次扩充都解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 0.数系扩充规则： （1）解决原数系不能解决的问题; （2）运算法则一致：新数集中规定的加法和乘法运算与原数集中规定的运算法则一致； （3）运算律一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 【追问1】 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 情境引入： 问题探究 引入一个新数，使是方程的解，即： 情境引入： 问题探究 方程的解怎么表示？ 扩充数集 引入新数 1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字--虚数，1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i ( imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位。直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。 历史再现 （1）引入一个新数 ，使得 是方程 的解，即使得 ； （2）我们希望新数 和实数之间保持运算法则和运算律一致，则： 规定：①把实数b与i相乘，结果记作bi； ②把实数a与bi相加，结果记作a+bi. （3）所有实数以及 都可以写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 新知学习 实部 2.复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 3 、复数的分类 【追问2】两个复数相等的充要条件是什么？两个复数能比较大小吗？ （4）复数相等：设a，b，c，d都是实数，那么：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，但两个实数可以比较大小. 新知学习 题型1.复数的概念 【例1】（1）说出下列复数的实部和虚部： －2＋i，＋i，，－i，i，0； （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系； （3）若 A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，判断A，B，C间的关系. 【答案】（1）实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0. （2）根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. （3）B⫋A⫋C. 情境引入： 例题练习 题型2.复数的分类 【变式】本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 【答案】 （1）当m=5时，复数z是实数. （2）当m≠5且m≠－3时，复数z是虚数. （3）当m＝3或－2时，复数z是纯虚数. 【答案】m＝5. 情境引入： 例题练习 题型3.复数相等 【例3】（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值； （2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 【或 情境引入： 例题练习 【练习1】下列说法中正确的是(　　) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 【练习2】给出下列说法错误的是 . ①复数2＋3i的虚部是3i； ②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数； ③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数； ④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数． 【答案】 ①②③ 【答案】C 情境引入： 例题练习 情境引入： 例题练习 情境引入： 例题练习 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 24 通过这节课的学习你有哪些收获呢？ 知识总结 学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式. 情境引入： 课堂小结 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 26 【例2】实数x分别取什么值时，复数z＝ eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是: ①实数；②虚数；③纯虚数. 【练习3】（1）实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)是： ①实数； ②虚数； ③纯虚数； ④零. （2）已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时， ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？ 【练习4】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. (2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. $