四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期数学周练测试（五）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（五） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为 A． B． C．1 D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 A．8 B． C． D． 4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 A． B． C．1 D． 5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 A． B． C． D． 6．已知函数是定义在R上奇函数，且满足,当时，，则当时的最大值为 A． B． C．1 D．0 7．已知为圆上一点，、，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知正数，满足，则 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在所有棱长都相等的直四棱柱中，，分别是，的中点，且，则 A． B．平面 C． D．平面 10．在中，，则 A． B． C． D．的面积为 11．已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则 A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则___________． 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________． 14．先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 16．（15分） 记数列的前项和为，已知为常数列. （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的前项和. 17．（15分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且，求a的取值范围. 18．（17分） 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分） 已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，. ①求的值： ②试问：△OMN的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（五） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D A C C C A AB BCD AC 1．D【详解】，所以，解得．故选：D 2．A【详解】，，， ，，. 3．D【详解】因为，所以该双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程为得，解得 4．A【详解】因为函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为， 所以，解得，则，得到. 5．C【详解】根据向量减法的三角形法则，可得， 画出向量，结合图像，通过平移即可发现．故选：C. 6．C【详解】由，因此可以得到： ，所以函数的周期为4，当时，， 当时，，显然当时，函数的最大值为1.故选：C 7．C【详解】设点，设点为坐标原点，圆心为，半径为， 则， 因为，所以，原点在圆外，且， ，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立. 所以，.故选：C. 8．A【详解】因为为正数，故. 由题设有，而，故，故， 故，且，故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故，故A正确，BCD错误. 9．AB【详解】对于A：因为，所以，所以. 又因为为的中点，所以，故A正确； 对于B：因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：由题可知，，所以与不平行，故C错误； 对于D：因为，，，所以. 设，则，， 所以 ， 所以与不垂直.又因为平面，所以与平面不垂直，故D错误. 10．BCD【详解】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确.故选：BCD 11．AC【详解】由题意知，设，过点P作轴于点N， 对于A，， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，， ，∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，D选项错误. 12．【详解】由题意得， 由二倍角的余弦公式得.故答案为：. 13．【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，又由函数，可得， 设曲线的切点为，则，解得.故答案为：. 14. 【详解】假设，则， 故的结果为， 故要使得，只需， 先后掷一个均匀的骰子3次，共有种不同情况， 若，共有种不同情况， 不含的情况有种，不含的情况有种， 不含也不含的情况有种， 故，的不同情况有种； 同理，的不同情况有种； ，的不同情况有种； 故.故答案为：. 15．【详解】（1）（i），，. （ii）事件M与N不相互独立 理由如下：法1：利用条件概率： ，，，所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，，，所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，，，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 16.【详解】（1）由，可得， 又为常数列，所以，即， 当时，，所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故； （2）因为，所以，， ， ， 所以， 所以 17.【详解】（1）由， 得，   函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以.令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足，所以a的取值范围. 18.【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面，所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. （2）所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. （3）由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面，所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为，， 所以，所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 19．【详解】（1）法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，；由椭圆的定义得， 解得，则，则椭圆方程为； 法二：因为，所以，即椭圆方程为（）， 又在椭圆上，所以，解得；则椭圆方程为. （2）易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图： ①令，，则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 化简得，同理得， 则是方程的两根，显然， 由韦达定理可知， 因为点在椭圆上，所以，则 则，即 ②法一：设，， 则，，，点到直线的距离为， 因为，所以，则， ， 由，得，同理， 则，则，所以. ②法二：设，，则，因为，所以直线方程为， 所以， 因为，两点在椭圆上，所以，， 则， 所以，又， 所以 ，则. ②法三：设，（i）若直线与轴平行，由对称性，，， 因为，所以不妨设有，则， 则，解得，即， 则，. （ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为, 则, 由，得，由，得， ， 所以, 因为,所以, 即，得，显然，即， . 综上. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $