19.1二次根式及其性质同步训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1 二次根式及其性质 同步训练 一、单选题 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 7．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算：___________． 9．若二次根式的值为0，则的值为________． 10．当时，二次根式的值为______． 11．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 12．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 13．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为___________． 三、解答题 14．当为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 15．计算： (1)； (2)． 16．结合数轴先化简，再求值：． 17．若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 18．观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 学科网（北京）股份有限公司 《19.1 二次根式及其性质 同步训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册》参考答案 1．D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 4．C 【分析】根据二次根式性质与幂的运算的对应运算规则逐一判断选项即可. 【详解】解：∵， ∴A错误. ∵，，与不是同类项，不能合并， ∴B错误. ∵， ∴C正确. ∵， ∴D错误. 5．C 【分析】本题根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴二次根式中，被开方数满足， 解不等式得． 6．A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 7．C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 8．5 【分析】根据直接计算得到结果． 【详解】解：． 9．3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 10． 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 11．2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 14．(1) (2) (3)且 (4)取任意实数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据被开方数非负得到不等式求解即可； （2）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （3）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （4）根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：， 即， 所以当时，有意义； （2）解：，即， 所以当时，有意义； （3）解：，即且， 所以当且时，有意义； （4）解：因为，所以取任意实数，都有意义． 15．(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．化简见解析    【分析】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据数轴分析出，，，再根据题意进行解题即可． 【详解】解：由数轴可知，，，， 原式= ． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求代数式的值，等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 对于（1），先根据二次根式的性质求出c，再根据绝对值和二次根式的非负性求出a,b,然后求出代数式的值； 对于（2），根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； （2）解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $