2026年中考数学一轮复习 专题05 一次方程（组）应用过关自测卷《知识解读・题型训练》（全国通用）

专题05 一次方程（组）应用过关自测卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 6．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并留一工人在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入18块等重的条形石，并在船上留3个工人，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个工人，水位也恰好到达标记位置．已知工人体重均为140斤，设每块条形石的重量是斤，则下列错误的是（   ） A．依题意得 B．依题意得 C．该象的重量是5320斤 D．每块条形石的重量是280斤 8．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 9．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 10．已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2． 填空题(本题共6题，每小题3分，共18分） 11．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则_____． 12．已知是方程的解，则______． 13．现有100元和20元的人民币25张，总面额1300元，则20元人民币的有________张． 14．已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 15．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 16．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么_____． 三．解答题（本题共8题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）解方程组： (1) (2) 19．（8分）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 20．（8分）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 21．（10分）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 22．（10分）茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元． (1)求甲、乙两种套装的单价． (2)某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装． 23．（10分）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 24．（10分）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次方程（组）应用过关自测卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，将一次项系数化为1即可得出答案． 【详解】解：解得：， 故选：A． 2．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入①可得， 解得， 所以原方程组的解为， 故选：C． 3．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 4．已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 5．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可． 【详解】解：设共有x人， 由题意得，． 故选：C． 6．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 7．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并留一工人在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入18块等重的条形石，并在船上留3个工人，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个工人，水位也恰好到达标记位置．已知工人体重均为140斤，设每块条形石的重量是斤，则下列错误的是（   ） A．依题意得 B．依题意得 C．该象的重量是5320斤 D．每块条形石的重量是280斤 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以列出方程，然后求解，再计算出大象的体重，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 该象的重量为（斤， 综上，错误的选项为A， 故选：A． 8．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 9．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 10．已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 2． 填空题(本题共6题，每小题3分，共18分） 11．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则_____． 【答案】8 【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵一组数据6，8，10，x的平均数是8， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了已知平均数求未知数的值，掌握平均数的求法是解题的关键． 12．已知是方程的解，则______． 【答案】5 【分析】将代入方程，求出a即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 13．现有100元和20元的人民币25张，总面额1300元，则20元人民币的有________张． 【答案】15 【分析】设20元人民币有x张，则100元人民币有(25-x)张，根据“总面额1300元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设20元人民币有x张，则100元人民币有(25-x)张， 依题意得：20x+100(25-x)=1300， 解得：x=15， 答：20元人民币的有15张． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 14．已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】 【分析】此题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看做已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 16．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么_____． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 三．解答题（本题共8题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，然后验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， 经检验：当时，则，，故是方程的解． 18．（8分）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19．（8分）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 【答案】(1)每本A类书刊进价8元，每本B类书刊进价10元 (2)B类书刊打折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）设类书刊打了折，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了折． 20．（8分）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 21．（10分）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【答案】(1)5， (2)参赛者答对13题 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）由参赛者A可求得答对一题得分，由参赛者B可求得答错一题得分； （2）设参赛者答对题，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 22．（10分）茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元． (1)求甲、乙两种套装的单价． (2)某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装． 【答案】(1)甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元； (2)最多购买2套甲种套装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，根据“购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，利用总价单价数量，结合总价不超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元； （2）解：设购买套甲种套装，则购买套乙种套装， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为2． 答：最多购买2套甲种套装． 23．（10分）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据“友好方程”的定义即可求解； （2）根据“友好方程”的定义得到方程，再解方程求出，最后代入求值即可； （3）先求出方程的“友好方程”，再求出两个方程的解，然后根据解都是整数即可求解整数c的值． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的“友好方程”为， 解得：， 解得：， ∵与其“友好方程”的解都是整数， ∴与都是整数， ∴既是5的倍数，也是5的因数， ∴． ∴或． 24．（10分）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 学科网（北京）股份有限公司 $