2026年中考数学一轮复习 专题07 一元二次方程过关自测卷《知识解读・题型训练》（全国通用）

专题07 一元二次方程过关自测卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。 1．下列四个方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：C． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和即可. 【详解】∵a、b是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，理解连续两次降价的关系是关键． 每次降价后的价格是降价前价格的倍，两次降价后为原价乘以的平方，进而可列方程． 【详解】解：∵原价为144元，连续两次降价，每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后价格为元， 第二次降价后价格为元， 根据题意，第二次降价后售价为121元， ∴列方程为． 故选A． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 7．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 8．设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 9．已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（    ） A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8 【答案】A 【分析】根据题意，可得：（1）x≥-2时，x2+x+（-2）=10；（2）x＜-2时，（-2）2+x+（-2）=10；据此求出实数x的值为多少即可． 【详解】解：（1）x≥-2时， x2+x+（-2）=10， ∴x2+x-12=0， 解得：x=-4或x=3， ∵x≥-2， ∴x=3； （2）x＜-2时， （-2）2+x+（-2）=10， ∴4+x+（-2）=10， 解得：x=8， ∵8＞-2， ∴x=8不符合题意． 综上，可得：实数x的值为3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“#”的含义． 10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—动点问题，解题的关键是正确列出方程． 首先表示出，，然后根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：点P的速度是，点Q的速度是，，，， ∴点P从点A到点B的时间为（秒），点Q从点B到点C的时间为（秒）， 设Q运动的时间为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 当时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去， ∴． ∴经过时，四边形的面积等于． 故选：A． 2． 填空题(本题共6题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的常数项是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 13．北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为：______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设有x支队伍，根据题意，得即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得， 故答案为：． 14．若是关于x的方程的解，则的值为______． 【答案】2019 【分析】把代入方程求出，代入原式计算即可求出值． 此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把代入方程得：， 则原式， 故答案为： 15．如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为36， 正方形边长为6， 直角三角形①中的长直角边为6， ，整理得， 解得：（负值已舍去） ， 故答案为：． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 3. 解答题（本题共8题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 18．（8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 19．（8分）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 【答案】该市参加健身运动人数的年均增长率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的30万人增加到2024年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． 20．（8分）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【答案】应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 21．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】(1)10％ (2)110 【分析】（1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； （2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 22．（10分）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 【答案】 （1） （2）① ② 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数的定义，理解定义内容，并熟练运用解一元二次方程的方法是解题关键． （1）解一元二次方程，按照定义确定点M的坐标即可； （2）①解一元二次方程，用含m的式子表示点M的坐标即可； ②根据①中所求坐标，按照一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 得，， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （2）①将原方程因式分解，得， ∴，， 显然， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ②令，，得， ∴直线解析式为． 故答案为． 23．（10分）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【答案】（1）（x﹣2）2﹣9；（2）（x+5）（x﹣7）；（3）等边三角形，见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法． （2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可． （3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案． （4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5 ＝x2﹣4x+22﹣22﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9． （2）x2﹣2x﹣35 ＝x2﹣2x+1﹣1﹣35 ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）． （3）△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15 ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2， ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【点睛】本题主要考查了配方法，分解因式，等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．（10分）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程过关自测卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。 1．下列四个方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的根为（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 7．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 9．已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（    ） A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8 10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2． 填空题(本题共6题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的常数项是________． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 13．北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为：______． 14．若是关于x的方程的解，则的值为______． 15．如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为________． 3. 解答题（本题共8题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 19．（8分）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 20．（8分）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 21．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 22．（10分）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 23．（10分）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 24．（10分）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 学科网（北京）股份有限公司 $