3.1 复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第3章 复数 3.1 复数的概念 1.数的扩充过程？ 自然数→分数→负数→无理数 自然数集Q→整数集Z→有理数集→实数集R →虚数 →复数集C 2.实数是如何分类的？ 有理数：整数与分数 无理数：无限不循环小数 实数 虚数、复数是怎样的数？有何数学意义呢？ 实数范围内无解 复数范围内有解 问题1：如何求方程的根？ 问题2：当时，如何求方程的根？ 问题3：如何求方程的根？即如何求负实数的平方根？( 复数引入的必要性 根 我们把形如a+bi(其中a,b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a+bi的实部，b称为复数a+bi的虚部，i称为虚数单位. 全体复数所构成的集合C＝{ a ＋ b i｜ a ， b ∈R}称为复数集. 复数的定义 复数通常用字母 z 表示，即z=a+bi(a,b∈R) 复数的代数形式 复数集 复数相等 注意：两个复数不全是实数时，它们之间不能比较大小，只能说相等或不相等. 若两个复数 a ＋ b i， c ＋ d i（ a ， b ， c ， d ∈R）的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等， 即： a+bi=c+di a=c且b=d. 例如，2－i和3＋i，1和i之间都不能比较大小. 复数的分类 对于复数 a ＋ b i（ a ， b ∈R）， 当且仅当 b ＝0时，它是实数； 当且仅当 a ＝ b ＝0时，它是实数0； 当 b ≠0时，它叫作虚数； 当 a ＝0且 b ≠0时，它叫作纯虚数. 显然实数集R是复数集C的 ，且由C中虚部为0的全体复数组成. z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R） 实数（𝑏=0） 虚数（𝑏≠0） 非纯虚数（𝑎≠0） 纯虚数（𝑎=0） Venn图表示: 真子集　 实部 虚部 3 2 - 复数实部与虚部的判断，主要是根据它的代数形式z=a+bi(a,b∈R). 1.写出下列复数的实部与虚部，并说说你的方法. 2.当是何实数时，复数分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）0？ 解：(1)当m2－1=0，即m=±1时，复数z是实数. 　　(2)当m2－1≠0，即m≠±1时，复数z是虚数. 　　(3)当m2+m－2且m2－1≠0，即m=－2时，复数z是纯虚数. 　　(4)当m2+m－2 =0且m2－1=0，即m=1时，复数z=0. 对于复数z=a+bi(a,b∈R)，若满足 以下四种情况，a，b的取值是怎样的？ 实数（𝑏=0） 虚数（𝑏≠0） 非纯虚数（𝑎≠0） 纯虚数（𝑎=0） 解：根据复数相等的定义可得 　　解方程组，得 　　 　　 3. 设x，y∈R，若复数(2x－4y)+(3x＋2)i＝5+6i，求x，y. 　　 这个方程左右两边的数有何特点？方程要成立，需要满足什么条件？ 变式：若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. 解：设方程的实根为x＝m， 本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获. 1. 在①2＋ ，② i，③0，④8＋5i，⑤（1－ ）i，⑥0.618这几个数中，纯虚数的个数为（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： i，（1－ ）i是纯虚数，2＋ ，0，0.618是实数，8＋5i是虚数. C 2. 若（ x 2－1）＋（ x 2＋3 x ＋2）i是纯虚数，则实数 x 的值是（　B　） A. －1 B. 1 C. ±1 D. －1或－2 解析：∵（ x 2－1）＋（ x 2＋3 x ＋2）i是纯虚数， ∴∴ x ＝1，故选B. B 3. 复数4－3 a － a 2i与复数 a 2＋4 a i相等，则实数 a 的值为（　C　） A. 1 B. 1或－4 C. －4 D. 0或－4 解析：由复数相等的条件，知所以 a ＝－4.故选C. C 4. 若复数 z ＝ m ＋（ m 2－1）i（ m ∈R）满足 z ＜0，则 m ＝ ⁠. 解析：∵ z ＜0，∴解得 m ＝－1. －1 5. 设集合 A ＝{虚数}， B ＝{纯虚数}， C ＝{复数}，则 A ， B ， C 间的关系为 （　B　） A. A⫋B⫋C B. B⫋A⫋C C. B⫋C⫋A D. A⫋C⫋B 解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所 示.故选B. B 6. 已知集合 M ＝{1，2，（ m 2－3 m －1）＋（ m 2－5 m －6）i}， N ＝{－1，3}， M ∩ N ＝{3}，则实数 m 的值为（　B　） A. 4 B. －1 C. －1或4 D. －1或6 解析：由 M ∩ N ＝{3}，得3∈ M ， 故（ m 2－3 m －1）＋（ m 2－5 m －6）i＝3， 因此得 解得 所以 m 的值为－1，故选B. B 所以 解得a＝11或a＝－. x 则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， $