3.1 复数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦复数的概念，涵盖定义、分类、相等条件及虚数单位性质，从方程的解引入复数，衔接实数知识，通过新知形成搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点是以核心素养为导向，合作探究中通过典例辨析（如复数分类条件讨论）和规律方法总结，培养数学抽象与逻辑推理能力。随堂评价和课时分层设计满足不同需求，教师可利用结构化资料提升效率，学生通过分层训练巩固知识，提升数学运算能力。

3.1　复数的概念 　 第3章　复数 1.通过方程的解认识复数，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件， 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养. 2.了解复数的代数形式， 掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系， 达到数学抽象核心素养学业质量水平要求. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　复数的有关概念 知识梳理 名称 定义 表示方法 备注 复数 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中___称为复数a＋bi的实部，___称为复数a＋bi的虚部，i称为_________ 复数通常用字母z表示，代数形式z＝a＋bi(a，b∈R) 规定i2＝－1 复数集 __________所组成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫作复数集 通常用大写字母____表示 当b≠0时复数不能比较大小 a b 虚数单位 全体复数 C 点拨　(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i； (2)a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b； (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是. 知识点二　复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 知识点三　复数相等 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔____________. 点拨　在两个复数相等的条件下，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立. a＝c且b＝d 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数. (　　) (2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2. (　　) (3)复数z＝bi(b∈R)是纯虚数. (　　) (4)实数集与复数集的交集是实数集. (　　) 自主检测 × × × √ 2.设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 复数m(m－1)＋i是纯虚数，则m＝0或m＝1，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”不是“m＝1”的充分条件；当m＝1时，该复数为i，是纯虚数，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要条件，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要不充分条件.故选B. 3.若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝ A.4或0 B.－4或0 C.2或0 D.－2或0 √ 由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A. 4.若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为___________. －　－ 由已知得 返回 合作探究 返回 探究点一　复数的概念 (多选)下列命题不正确的是 A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i C.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D.实数集是复数集的真子集 典例 1 √ √ √ 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然D正确.故选ABC. 与复数有关命题的判断方法 1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答. 2.化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部. 规律方法 对点练1.对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是 A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于1 √ 对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a∈R；对于D，i的平方为－1.故选C. 探究点二　复数的分类 复数z＝＋(m2－2m－15)i(m∈R).求m取何值时， (1)z是实数； 解：若z是实数，则 即 所以当m＝5时，z是实数. 典例 2 (2)z是虚数； 解：若z是虚数，则 即 所以当m≠5且m≠－3时，z是虚数. (3)z是纯虚数？ 解：若z是纯虚数，则 即 所以当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 1.复数a＋bi(a，b∈R)是零的充要条件是a＝0且b＝0. 2.复数a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0. 3.复数a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0. 4.复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 规律方法 对点练2.已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m满足什么条件时， (1)复数z是零； 解：若复数z是零，则解得m＝1，即当m＝1时，复数z是零. (2)复数z是实数； 解：若复数z是实数，则m2＋2m－3＝0， 解得m＝1或m＝－3， 即当m＝1或m＝－3时，复数z是实数. (3)复数z是虚数； 解：若复数z是虚数，则m2＋2m－3≠0， 解得m≠1且m≠－3，即当m≠1且m≠－3时，复数z是虚数. (4)复数z是纯虚数？ 解：若复数z是纯虚数，则解得m＝0， 即当m＝0时，复数z是纯虚数. 探究点三　复数相等 (1)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值； 解：由已知得 解得m＝－2. 典例 3 (2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R， 依题意，得 解得 复数相等的充要条件 　　复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程(组)求解. 规律方法 对点练3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝ A.2 B.3 C.－3 D.9 √ 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3. 探究点四　虚数单位 已知i为虚数单位，求1＋i＋i2＋i3. 解：运用虚数单位i的性质计算，i2＝－1是解题关键. 1＋i＋i2＋i3＝1＋i＋＋i·i2＝1＋i＋－i＝0. 典例 4 对点练4.已知i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2 024＝ A.1 B.i C.－1 D.－i √ 1＋i＋i2＋…＋i2 024＝＋＋…＋(＋i2 022＋i2 023)＋i2 024＝(1＋i－1－i)＋＋…＋(1＋i－i)＋1＝1. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)下列说法中不正确的是 A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a，b∈R且a＞b，则a－i＞b－i √ √ √ 选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a－i与b－i都是虚数，不能比较大小.故选ABD. 2.若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan(θ－)的值为 A.7 B.－ C.－7 D.－7或－ √ 因为复数z＝(cos θ－)＋(sin θ－)i为纯虚数， 则， 所以sin θ＝－， 所以tan θ＝＝－， 所以tan(θ－)＝＝＝－7.故选C. 3.已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i＞2(i为虚数单位)，则a的取值范围是______________________. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 因为a，b∈R，a2－b＋(a－b)i＞2(i为虚数单位)， 所以，故可得a2－a－2＞0， 分解因式可得(a＋1)(a－2)＞0， 解得a＞2或a＜－1. 4.已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(2m2－3m－2)i.当实数m取什么值时，复数z是：(1)实数； 解：若复数z为实数，则2m2－3m－2＝0， 解得m＝－或2，此时复数z是实数. (2)虚数； 解：若复数z是虚数，则2m2－3m－2≠0， 解得m≠－且m≠2，此时复数z是虚数. (3)纯虚数？ 解：若复数z是纯虚数，则 解得m＝1，此时复数z是纯虚数. 返回 课时分层 返回 1.下列命题： ①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ②若＋＝0，则z1＝z2＝0； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值是否为实数加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则＋＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视a＝0时，0·i＝0，故③也是错误的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知a∈R，在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则 A.a＝0或a＝2 B.a＝0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 √ 因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知z1＝(m2＋m＋2)＋(m2＋m－5)i，m∈R，z2＝4－3i，则“m＝1”是“z1＝z2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 由z1＝z2，得 解得m＝1或m＝－2， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知集合M＝{－1，4，(m2－2m－3)＋(m2－5m＋6)i}，N＝，若集合M中的所有元素之和大于集合N中的所有元素之积，则实数m＝ A.2 B.2或3 C.3 D.2或－3 √ 由题意得，集合M中的元素(m2－2m－3)＋(m2－5m＋6)i为实数，则m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3.当m＝2时，M＝{－1，4，－3}，此时所有元素之和为0，而集合N中的所有元素之积为1，不符合题意；当m＝3时，M＝{－1，4，0}，所有元素之和为3，符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有 A.b＝0 B.a＝0且b≠0 C.a＝0或b＝0 D.ab≠0 √ z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得，a＝0且b≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.若复数z＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i是纯虚数，则sin2 022θ＋ cos2 022θ＝______. 1 由题意，复数z＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i是纯虚数， 所以，结合sin2θ＋cos2θ＝1， 解得， 故sin2 022θ＋cos2 022θ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若不等式m2－(m2－2m)i＜9＋i成立.则实数m的值为_______. 2 依题意可得 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝______. 3 因为x∈R，所以∈R，由复数相等的条件得解得x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)实数m取怎样的值时，复数z＝m－3＋(m2－2m－15)i是： (1)实数； 解：若z为实数，则m2－2m－15＝0，此时m＝－3或m＝5. (2)虚数； 解：若z为虚数，则m2－2m－15≠0，此时m≠－3且m≠5. (3)纯虚数？ 解：若z为纯虚数，则 此时m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：(1)实数； 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. 当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)虚数； 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. 当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)纯虚数； 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. 当时，z是纯虚数，解得k＝4. (4)零？ 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. 当时，z＝0，解得k＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)，则“a＝0”是“z为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 若复数z＝a＋bi是纯虚数，则a＝0，b≠0，则a＝0不能推出z为纯虚数，z为纯虚数可以推出a＝0，故“a＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是 A.[－1，8] B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由复数相等的充要条件可得 化简得4－4cos2θ＝λ＋4sin θ， 由此可得λ＝－4cos2θ－4sin θ＋4 ＝－4(1－sin2θ)－4sin θ＋4 ＝4sin2θ－4sin θ＝4(sin θ－)2－1， 因为sin θ∈[－1，1]， 所以4sin2θ－4sin θ∈[－1，8]. 故选A. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 3.1　复数的概念 返回 $