21.2　平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第1课时　平行四边形的判定(1) 课后·知能演练 一、基础巩固 1.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶2∶1 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶1 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1 2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若使四边形ABCD为平行四边形,则可以添加的一个条件是(　　) A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC C.AB=AD D.∠A=∠C 3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若OA=OC,BD=16 cm,则当OB=__________ cm时,四边形ABCD是平行四边形.  4.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是________________________________________.  5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF. (1)求证△BEO≌△DFO; (2)求证:四边形ABCD是平行四边形. 二、能力提升 6.在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF是平行四边形的是(　　) A.BE=DF B.AE=CF C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF 7.在同一平面内,有公共顶点的两个三角形,若其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个三角形完全重合,则原来这两个三角形除公共顶点外的其余四个顶点顺次连接形成的四边形是__________.  8.如图,△ACD,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时,求证:四边形ADFE是平行四边形. 三、思维拓展 9.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D分别作DF∥AC,DE∥AB,分别交直线AB,AC于点F,E. (1)探究问题:如图①,当点D在边BC上时,求证DE+DF=AC. (2)类比探究:如图②,当点D在边BC的延长线上时,如图③,当点D在边BC的反向延长线上时,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,并对图②的结论加以证明. (3)实践应用:若AC=6,DE=4,则DF=__________.  图① 图② 图③ 参考答案 1.D 2.D　解析 添加选项A,B,C中的条件均不能判定四边形ABCD是平行四边形. 选项D中,∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠C=180°, ∵∠A=∠C,∴∠ABC+∠A=180°, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 3.8 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.证明 (1)∵∠EOB与∠FOD是对顶角, ∴∠EOB=∠FOD. 在△BEO和△DFO中, ∴△BEO≌△DFO(ASA). (2)由(1)知△BEO≌△DFO, ∴OE=OF. ∵AE=CF,∴OA=OC. 又OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 6.B　解析 如图,连接AC,交BD于点O, 在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD, 要使四边形AECF是平行四边形,只需证明OE=OF即可. A.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故本选项不符合题意; B.若AE=CF,则无法判断OE=OF,故本选项符合题意; C.若AF∥CE,则能够利用“AAS”或“ASA”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意; D.若∠BAE=∠DCF,则能够利用“ASA”证明△ABE和△CDF全等,从而得到BE=DF,进而得到OE=OF,故本选项不符合题意. 故选B. 7.平行四边形 8.证明 ∵△ABE,△BCF是等边三角形, ∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°, ∴∠ABE-∠ABF=∠CBF-∠ABF, ∴∠FBE=∠CBA. 在△FBE和△CBA中, ∴△FBE≌△CBA(SAS). ∴EF=AC. 又△ADC是等边三角形,∴AD=AC. ∴EF=AD. 同理可得AE=DF. ∴四边形AEFD是平行四边形. 9.(1)证明 ∵DF∥AC,DE∥AB, ∴四边形AFDE是平行四边形, ∴DF=AE. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B, ∴∠EDC=∠C, ∴DE=EC, ∴DE+DF=EC+AE=AC. (2)解 题图②:AC+DE=DF; 题图③:AC+DF=DE. 证明:∵DF∥AC,DE∥AB, ∴四边形AFDE是平行四边形, ∴AE=DF. ∵DE∥AB,∴∠B=∠BDE. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∴∠BDE=∠ACB. 又∠DCE=∠ACB, ∴∠BDE=∠DCE,∴DE=CE, ∴AC+DE=AC+CE=AE=DF. (3)2或10 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　平行四边形的判定(2) 课后·知能演练 一、基础巩固 1.在四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A.AD=BC B.AC=BD C.AB=CD D.∠A=∠B 2.如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC,AD上的点,且AF=CE.求证:四边形DEBF是平行四边形. 3.如图,点B,E,C,F在同一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:四边形ABED是平行四边形. 二、能力提升 4.如图,E,F分别是▱ABCD的边AB,CD的中点,则图中平行四边形的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是__________(填序号).  6.如图,AD是△ABC的中线,CF,BE分别垂直AD,垂足分别为F,E,连接BF,CE.四边形BECF是平行四边形吗?请说明理由. 三、思维拓展 7.如图,在▱ABCD中,AD=2AB=6 cm,BE平分∠ABC,交AD于点E.M,N分别是AD,CB上的动点,点M从点E出发,沿ED方向以1 cm/s的速度向点D运动,同时,点N从点C出发,沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动,当点M运动到点D时,点N随之停止运动,设运动时间为t s. (1)求AE的长. (2)是否存在以M,E,B,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.C 2.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AF=CE, ∴AD-AF=BC-CE, 即DF=BE. 又DF∥BE, ∴四边形DEBF是平行四边形. 3.证明 ∵AB∥DE,AC∥DF, ∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F. ∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA), ∴AB=DE. 又AB∥DE, ∴四边形ABED是平行四边形. 4.C　解析 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB,DC=AB. ∵E,F分别是边AB,CD的中点, ∴DF=FC=DC,AE=EB=AB. ∵DC=AB, ∴DF=FC=AE=EB, ∴四边形DFBE和四边形CFAE是平行四边形, ∴DE∥FB,AF∥CE, ∴四边形FHEG是平行四边形. 故选C. 5.①②④　解析 如图,连接AD,交BE于点O. ①∵在正六边形ABCDEF中,∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°,AB=DE, ∴△AOB和△DOE是等边三角形, ∴OA=OD,OB=OE. 又BM=EN,∴OM=ON, ∴四边形AMDN是平行四边形,故①符合题意. ②∵∠FAN=∠CDM,∠DAF=∠CDA, ∴∠OAN=∠ODM,∴AN∥DM. 又∠AON=∠DOM,OA=OD, ∴△AON≌△DOM(ASA), ∴AN=DM, ∴四边形AMDN是平行四边形,故②符合题意. ③∵AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN, ∴△ABM与△DEN不一定全等,不能得出四边形AMDN是平行四边形,故③不符合题意. ④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,∴△ABM≌△DEN(AAS), ∴AM=DN. ∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNE+∠DNM=180°,∴∠AMN=∠DNM, ∴AM∥DN, ∴四边形AMDN是平行四边形,故④符合题意. 故答案为①②④. 6.解 四边形BECF是平行四边形. 理由如下:∵AD是△ABC的中线, ∴DC=BD. ∵CF⊥AD,BE⊥AD, ∴∠CFD=∠BED=90°, ∴CF∥EB. 在△CFD和△BED中, ∴△CFD≌△BED(AAS), ∴CF=BE, ∴四边形BECF是平行四边形. 7.解 (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. ∵AD=2AB=6 cm,∴AE=3 cm. (2)存在.由(1)知,AE=3 cm. ∵AD=6 cm, ∴DE=AD-AE=3 cm. 由题意知,EM=t cm,CN=4t cm(0≤t≤3), ∵AD∥BC,∴要使以M,E,B,N为顶点的四边形是平行四边形, 只需满足EM=BN即可, 当点N在边BC上时,BN=BC-CN=(6-4t)cm, ∴t=6-4t,∴t=. 当点N在边CB的延长线上时,BN=CN-BC=(4t-6)cm, ∴t=4t-6,∴t=2. 综上,t=或t=2时,以M,E,B,N为顶点的四边形是平行四边形. 6 学科网（北京）股份有限公司 $