5.2函数的导数运算 和切线求法讲义（知识点+基础+提高）-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用 专题 -- 函数的导数的运算和切线求法 知识梳理 1、平均变化率 （1）平均变化率的概念 一般地，对于函数是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率为.上式中的值可正可负，但不为0.为常数函数时，. 2、瞬时速度 如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在这段时间内，当时平均速度的极限.即. 3、几种常见函数的导数 (1) （C为常数）. (2) . (3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 4.导数的运算法则 （1）. （2）.（3）. 5.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作. 注意： . 典型例题 题型一　复合函数的求导法则 【例1】函数y=(2 026-8x)3的导数y'= ( 　　) A.3(2 026-8x)2 B.-24x C.-24(2 026-8x)2 D.24(2 026-8x)2 变式1-1.若f(x)=exln 2x，则f'(x)= ( 　　) A.exln 2x+ B.exln 2x- C.exln 2x+ D.2ex· 变式1-2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x)，且f'(2)=2，则实数a的值为 ( 　　) A. B. C. D.1 变式1-3若函数f(x)=，则f'(x)=　　　　.  【例2】求函数的导数 y=； 变式2-1 求函数的导数y=e-xsin 2x； 变式2-2求函数的导数y=ln-1； 变式2-3求下列函数的导数y=cos(-2x)+32x+1. 题组二　利用导数求切线方程 1． 在型求切线方程 2． 过型求切线方程 典型例题 题型一 在某点处的切线方程 【例3】曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 变式3-1函数在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 变式3-2．曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 变式3-3．已知函数，曲线在点处的切线方程为_______． 题型二 过某点处的切线方程 【例4】过点且与曲线相切的直线方程是( ) A． B． C． D．或 变式4-1．函数过点的切线方程为( ) A． B． C． D． 变式4-2．过点且与曲线相切的直线方程为______. 变式4-3．已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______． 【基础练习】 1.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x，则的值为 ( 　　) A.10 B.-10 C.-20 D.20 2.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x，则的值为 ( 　　) A.10 B.-10 C.-20 D.20 3.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40 min的降雨强度为 ( 　　) A.20 mm/min B.400 mm/minC. mm/min D. mm/min 4.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0，f(0))处的切线方程是 ( 　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 5.函数f(x)=的导函数f'(x)=　　　　.  6.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中，正确的是 ( 　　) A.x>0时，f'(x)=，x<0时，f'(x)=- B.x>0时，f'(x)=，x<0时，f'(x)无意义 C.x≠0时，都有f'(x)= D.因为x=0时f(x)无意义，所以不能对y=ln|x|求导 7.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n，则f'(0)= ( 　　) A.n B.n-1 C. D. 8.曲线在点处的切线方程为_________． 9.设a∈R，函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数，曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为 ( 　　) A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.4x-y=0 D.4x+y=0 10.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　.  解答题 11．求过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程？ 12.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，求a的值？ 13.设f(x)=a(x-5)2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴交于点(0，6)，试确定a的值. 【能力提升】 1.已知y=，则y'=　　　　.  2.设函数f(x)在(-∞，+∞)内的导函数为f'(x)，若f(ln x)=，则= ( 　　) A.2 B.-2 C.1 D.e+1 3.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　.  4.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-x-2-x，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为　　　　.  5.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为 ( 　　) A.- B.0 C. D.5 6.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=x2+1，h(x)=ln(x+2)，φ(x)=cos x(x∈(0，π))的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ( 　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 7.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f'(x)，则下列关于函数g(x)的说法正确的是 ( 　　) A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行 D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1-x2|的最小值为 8.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x，f'(x)是f(x)的导函数，且a=f'，求过曲线y=x3上一点P(a，b)的切线方程. 9.设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x)； (2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元函数的导数及其应用 专题 -- 函数的导数的运算和切线求法 知识梳理 1、平均变化率 （1）平均变化率的概念 一般地，对于函数是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率为.上式中的值可正可负，但不为0.为常数函数时，. 2、瞬时速度 如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在这段时间内，当时平均速度的极限.即. 3、几种常见函数的导数 (1) （C为常数）. (2) . (3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 4.导数的运算法则 （1）. （2）.（3）. 5.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作. 注意： . 典型例题 题型一　复合函数的求导法则 【例1】函数y=(2 026-8x)3的导数y'= ( 　　) A.3(2 026-8x)2 B.-24x C.-24(2 026-8x)2 D.24(2 026-8x)2 【答案】C 【解析】　y'=3(2 026-8x)2×(2 026-8x)'=3×(2 026-8x)2×(-8)=-24(2 026-8x)2.故选C. 变式1-1.若f(x)=exln 2x，则f'(x)= ( 　　) A.exln 2x+ B.exln 2x- C.exln 2x+ D.2ex· 【答案】C 【解析】　f'(x)=(ex)'·ln 2x+ex·(ln 2x)' =exln 2x+. 故选C. 变式1-2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x)，且f'(2)=2，则实数a的值为 ( 　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=， 由f'(2)=2，可得=2，解得a=. 故选B. 变式1-3若函数f(x)=，则f'(x)=　　　　.  【答案】 【解析】∵f(x)==(4x-3， ∴f'(x)=(4x-3·(4x-3)' =. 【例2】求函数的导数 y=； 【解析】∵y=， ∴y'= =. 变式2-1 求函数的导数y=e-xsin 2x； 【解析】y'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x =e-x(2cos 2x-sin 2x). 变式2-2求函数的导数y=ln-1； 【解析】　∵y=ln-1=ln(2x+1)-1， ∴y'=××(2x+1)'=. 变式2-3求下列函数的导数y=cos(-2x)+32x+1. 【解析】y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3=-2sin 2x+2·32x+1ln 3. 易错警示　分析函数的运算结构，以基本初等函数的导数为基础，利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 题组二　利用导数求切线方程 1． 在型求切线方程 2． 过型求切线方程 典型例题 题型一 在某点处的切线方程 【例3】曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，则 所以曲线在点处的切线的斜率为 所以切线方程为：，即 故选：B 变式3-1函数在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，有，则所求切线方程为． 故选：B. 变式3-2．曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导得斜率，代点检验即可选B. ，，故选：B 变式3-3．已知函数，曲线在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】，， ，即切线斜率为， 又， 切线方程为，即. 故答案为：. 题型二 过某点处的切线方程 【例4】过点且与曲线相切的直线方程是( ) A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】因为所以，曲线在处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为，选A． 变式4-1．函数过点的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为 因为 因此切线方程为 故选：D 变式4-2．过点且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】设切点为，因为，所以， 所以过切点的切线方程为. 因为切线过点，所以，即，解得， 所以所求切线方程为，即切线方程为 故答案为： 变式4-3．已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______． 【答案】或 【解析】设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠2)，则k=， ∵y0=x02+2，且∵k=y′=2x0，∴=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0， ∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或， 故直线l的方程或. 【基础练习】 1.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x，则的值为 ( 　　) A.10 B.-10 C.-20 D.20 【答案】C　 【解析】∵f(x)=2ln(3x)+8x，∴f'(x)=+8，∴f'(1)=10， ∴ =-2 =-2f'(1)=-20.故选C. 2.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x，则的值为 ( 　　) A.10 B.-10 C.-20 D.20 【答案】C　 【解析】∵f(x)=2ln(3x)+8x，∴f'(x)=+8，∴f'(1)=10， ∴ =-2 =-2f'(1)=-20.故选C. 3.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40 min的降雨强度为 ( 　　) A.20 mm/min B.400 mm/minC. mm/min D. mm/min 【答案】D　 【解析】由f(t)=，得f'(t)=·(10t)'=， 所以f'(40)==. 4.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0，f(0))处的切线方程是 ( 　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 【答案】D　 【解析】∵f'(x)=4e4x-1，∴k=f'(0)=3. 又f(0)=-1，∴切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0.故选D. 5.函数f(x)=的导函数f'(x)=　　　　.  【答案】 【解析】由f(x)=， 得f'(x)=-. 6.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中，正确的是 ( 　　) A.x>0时，f'(x)=，x<0时，f'(x)=- B.x>0时，f'(x)=，x<0时，f'(x)无意义 C.x≠0时，都有f'(x)= D.因为x=0时f(x)无意义，所以不能对y=ln|x|求导 【答案】C　 【解析】根据题意得f(x)= 分两种情况讨论: (1)x>0时，f(x)=ln x⇒f'(x)=(ln x)'=； (2)x<0时，f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=·(-1)=.故选C. 7.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n，则f'(0)= ( 　　) A.n B.n-1 C. D. 【答案】D 【解析】　f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n， 则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1， 则f'(0)=1+2+3+4+…+n=.故选D. 8.曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】，曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 9.设a∈R，函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数，曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为 ( 　　) A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.4x-y=0 D.4x+y=0 【答案】A　 【解析】因为函数f(x)=ex+a·e-x是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立， 所以e-x+a·ex=-ex-a·e-x对一切x∈R恒成立，即(a+1)(ex+e-x)=0对一切x∈R恒成立，所以a+1=0，解得a=-1， 因此f(x)=ex-e-x，故f'(x)=ex+e-x. 由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0，得f(x)=ex-e-x=0，解得x=0. 所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0，0)， 切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2. 故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0)，即2x-y=0.故选A. 10.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　.  【答案】　2 【解析】　令y=f(x)，则曲线y=eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)，又切线与直线x+2y+1=0垂直，所以f'(0)=2.因为f(x)=eax，所以f'(x)=(eax)'=(eax)·(ax)'=aeax，所以f'(0)=ae0=a，故a=2. 解答题 11．求过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程？ 【答案】. 【解析】设切点为，所以切点为，由点可知直线方程为 12.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，求a的值？ 【解析】设切点为P(x0，y0)，则y0=x0+1，y0=ln(x0+a)， ∵y'==1，∴x0+a=1， ∴y0=ln(x0+a)=0，∴x0=y0-1=-1.∴a=1-x0=2. 13.设f(x)=a(x-5)2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴交于点(0，6)，试确定a的值. 【答案】a=. 【解析】　因为f(x)=a(x-5)2+6ln x，所以f '(x)=2a(x-5)+. 令x=1，得f(1)=16a，f '(1)=6-8a，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1). 由点(0，6)在切线上，可得6-16a=8a-6，解得a=. 【能力提升】 1.已知y=，则y'=　　　　.  【答案】- 【解析】　y====1+. 设y=1+，u=1-x， 则y'x=y'u·u'x=(1+)'·(1-x)' =·(-1)=-. 2.设函数f(x)在(-∞，+∞)内的导函数为f'(x)，若f(ln x)=，则= ( 　　) A.2 B.-2 C.1 D.e+1 【答案】.B　 【解析】令ln x=t，则x=et，代入f(ln x)=得y==1+=1+e-t， ∴y'=-，∴==-2.故选B. 3.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　　　.  【答案】　2 【解析】　令y=f(x)，则曲线y=eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)，又切线与直线x+2y+1=0垂直，所以f'(0)=2.因为f(x)=eax，所以f'(x)=(eax)'=(eax)·(ax)'=aeax，所以f'(0)=ae0=a，故a=2. 4.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-x-2-x，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为　　　　.  【答案】　y=2x-1 【解析】设x>0，则-x<0，∴f(-x)=ex-2+x， ∵f(x)为偶函数，∴f(x)=ex-2+x，则f'(x)=ex-2+1，∴f'(2)=2， 又f(2)=3，∴曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2)，即y=2x-1. 5.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为 ( 　　) A.- B.0 C. D.5 【答案】.B 【解析】　由题设可知f(x+5)=f(x)， ∴f'(x+5)=f'(x)，∴f'(5)=f'(0)， 又f(-x)=f(x)，∴f'(-x)(-1)=f'(x)， 即f'(-x)=-f'(x)，∴f'(0)=0， ∴f'(5)=f'(0)=0.故选B. 6.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=x2+1，h(x)=ln(x+2)，φ(x)=cos x(x∈(0，π))的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ( 　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【答案】C　 【解析】由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x， 令x2+1=2x，解得x1=x2=1，即a=1. 由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=， 设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-， 当x=-1时，F(-1)=-1<0， 当x=0时，F(0)=ln 2-=ln -ln >0，故-1<b<0. 由φ(x)=cos x(x∈(0，π))可得φ'(x)=-sin x， 令cos x=-sin x，得sin x+cos x=0， 则sin=0， 又x∈(0，π)，所以x+=π，得x=，即c=. 综上可知，b<a<c.故选C. 7.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f'(x)，则下列关于函数g(x)的说法正确的是 ( 　　) A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行 D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1-x2|的最小值为 【答案】AD 【解析】　根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2，=-=， ∴T=2π，ω==1. 根据五点法画图知，当x=时，ωx+φ=+φ=+2kπ，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ=， ∴f(x)=2sin， ∴f'(x)=2cos， ∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin， 令x+=+kπ，k∈Z，解得x=-+kπ，k∈Z， ∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ，k∈Z，A正确； 当x+=+2kπ，k∈Z时，函数g(x)取得最大值2，B错误； g'(x)=2cos， ∵g'(x)≤2<3， ∴不存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行，C错误； 方程g(x)=2，即2sin=2， ∴sin=， ∴x+=+2kπ，k∈Z或x+=+2kπ，k∈Z， ∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1-x2|的最小值为，D正确.故选AD. 9.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x，f'(x)是f(x)的导函数，且a=f'，求过曲线y=x3上一点P(a，b)的切线方程. 【答案】3x-y-2=0或3x-4y+1=0 【解析】由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x， 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x， 则a=f'=3-2sin +2cos =1. 由y=x3得y'=3x2. 当P点为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3， 又b=a3，∴b=1，∴切点P的坐标为(1，1)， ∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0. 当P点不是切点时，设切点坐标为(x0，)， 此时切线的斜率k'=3， ∴切线方程为y-=3(x-x0). ∵P(a，b)在曲线y=x3上，且a=1， ∴b=1，将P(1，1)代入切线方程， 得1-=3(1-x0)， ∴2-3+1=0，∴2-2-+1=0， ∴(x0-1)2(2x0+1)=0， 解得x0=-(x0=1舍去)， ∴切点坐标为， 又切线的斜率为3×=， ∴切线方程为y+=， 即3x-4y+1=0.综上，满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0 10.设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x)； (2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b的值. 【解析】　(1)由f(x)=aexln x+， 得f'(x)=(aexln x)'+' =aexln x++. (2)由题意得，切点既在曲线y=f(x)上，又在切线y=e(x-1)+2上， 将x=1代入切线方程，得y=2， 将x=1代入函数y=f(x)，得f(1)=b， 所以b=2. 将x=1代入导函数f'(x)中， 得f'(1)=ae=e， 所以a=1. 能力提升练 5.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x， 令x2+1=2x，解得x1=x2=1，即a=1. 由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=， 设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-， 当x=-1时，F(-1)=-1<0， 当x=0时，F(0)=ln 2-=ln -ln >0，故-1<b<0. 由φ(x)=cos x(x∈(0，π))可得φ'(x)=-sin x， 令cos x=-sin x，得sin x+cos x=0， 则sin=0， 又x∈(0，π)，所以x+=π，得x=，即c=. 综上可知，b<a<c.故选C. 6.AD　根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2，=-=， ∴T=2π，ω==1. 根据五点法画图知， 当x=时，ωx+φ=+φ=+2kπ，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ=， ∴f(x)=2sin， ∴f'(x)=2cos， ∴g(x)=f(x)+f'(x) =2sin+2cos =2sin =2sin， 令x+=+kπ，k∈Z， 解得x=-+kπ，k∈Z， ∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ，k∈Z，A正确； 当x+=+2kπ，k∈Z时，函数g(x)取得最大值2，B错误； g'(x)=2cos， ∵g'(x)≤2<3， ∴不存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行，C错误； 方程g(x)=2，即2sin=2， ∴sin=， ∴x+=+2kπ，k∈Z或x+=+2kπ，k∈Z， ∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1-x2|的最小值为，D正确.故选AD. 7.答案　- 解析　y= = ==1+. 设y=1+，u=1-x， 则y'x=y'u·u'x=(1+)'·(1-x)' =·(-1)=-. 8.答案　1-ln 2 解析　设f(x)=ln x+2，g(x)=ln(x+1)， 则f'(x)=，g'(x)=. 设f(x)上的切点为(x1，y1)，g(x)上的切点为(x2，y2)， 则k==，则x2+1=x1. 又y1=ln x1+2，y2=ln(x2+1)=ln x1， 所以k==2， 故x1==，y1=ln+2=2-ln 2. 故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 9.解析　(1)由f(x)=aexln x+， 得f'(x)=(aexln x)'+' =aexln x++. (2)由题意得，切点既在曲线y=f(x)上，又在切线y=e(x-1)+2上， 将x=1代入切线方程，得y=2， 将x=1代入函数y=f(x)，得f(1)=b， 所以b=2. 将x=1代入导函数f'(x)中， 得f'(1)=ae=e， 所以a=1. 10.解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x， 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x， 则a=f'=3-2sin +2cos =1. 由y=x3得y'=3x2. 当P点为切点时，切线的斜率k=3a2=3×12=3， 又b=a3，∴b=1，∴切点P的坐标为(1，1)， ∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0. 当P点不是切点时，设切点坐标为(x0，)， 此时切线的斜率k'=3， ∴切线方程为y-=3(x-x0). ∵P(a，b)在曲线y=x3上，且a=1， ∴b=1，将P(1，1)代入切线方程， 得1-=3(1-x0)， ∴2-3+1=0，∴2-2-+1=0， ∴(x0-1)2(2x0+1)=0， 解得x0=-(x0=1舍去)， ∴切点坐标为， 又切线的斜率为3×=， ∴切线方程为y+=， 即3x-4y+1=0.综上，满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $