5.3导数在研究函数中的应用-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

5.3导数在研究函数中的应用 一 函数的单调性与导数的关系 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化． 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论． 二 利用导数求函数的单调区间 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 或(1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减． 三 由导数的信息画函数的大致图象 由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 四 函数极值概念的理解 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 五 求函数的极值 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 六 由极值求参数的值或范围 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 七 极值与最值的关系 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 八 求函数的最值 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 九 利用最值证明不等式 证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果． 考点一 求函数的单调区间 【例1】(2020·江苏省前黄高级中学高二期中)函数的单调递增区间为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数的定义域为，则， 令，解得， 所以，函数的单调递增区间为.故选：C. 【练1】(2020·河南信阳·高二期末(文))已知函数，则其单调增区间是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，定义域为 令解得 故函数单调增区间是故选 考点二 已知单调性求参数 【例2】(2020·广东汕尾·高二期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数在