导数运算及切线方程问题 期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过表格梳理与步骤化流程系统构建导数运算及切线方程知识体系，用表格呈现基本初等函数导函数公式，清晰列出四则运算法则与复合函数求导逻辑关系，将切线方程求法按“在某点处”“过某点”“公切线”分类型细化步骤，突出知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，题型涵盖单选、多选、解答题，如结合函数奇偶性与导函数奇偶性关系的多选题培养推理意识，公切线问题步骤化指导强化数学思维。每个专题配有易错点注记，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准教学。

导数运算及切线方程 一．重点知识梳理 1．基本初等函数的导函数 为有理数 2．导数的四则运算法则：（设，是可导的） ⑴函数和（或差）的求导法则： ， ⑵函数积的求导法则： ，特别地：， ⑶函数的商的求导法则： ．（） 特别地当时，有． 注：若为奇函数，则为偶函数； 若为偶函数，则为奇函数 ； 3．复合函数的导数 一般形式：，内函数：；外函数，则 4．求在某点处的切线方程的步骤： （1）求出f ′(x)； （2）写出切点(x0，f(x0))； （3）求切线斜率k＝f ′(x0) ；（4）切线方程为：y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)； 5.过点P(a，b)的切线方程 （1）设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f ′(x0)，切线方程为： y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0) （2）因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f ′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2 （3）当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f ′(x0)(x－x1) 当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f ′(x0)(x－x2) 6.公切线问题 求函数与的一般步骤： （1）设任意一点坐标为，设任意一点坐标为， （2）分别写出函数与的在所设切点处的切线方程： y＝f ′(x1) x－x1 f ′(x1)+f(x1) y＝g ′(x2) x－x2 g ′(x2)+g(x2) （3）两曲线的公切线即为两曲线在两切点处的切线重合，则满足两个条件： 得到关于x1，x2的方程组。 7.已知切线方程求参数 已知直线Ax＋By＋C＝0与曲线y=f(x)相切 （1）设切点为(x0，f(x0))则: （2）解方程组得x0及参数的值. 二．典例分析类分析 （一）导数的运算 1．设函数．若，则a= ． 【答案】1 【详解】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 2．已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，，解得，故. 当时，液体上升高度的瞬时变化率为． 故选：C 3．（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解：对于A选项，，故错误； 对于B选项，，正确； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故正确. 故选：BD 4．（多选）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知，必为偶函数. 对于A选项，为奇函数； 对于B选项，为偶函数； 对于C选项，为偶函数； 对于D选项，为非奇非偶函数. 故选：BC. 5．已知函数的导函数为，且满足关系式，则___________． 【答案】 【详解】由条件可知，，， 解得：，故答案为： 6.已知函数，则 ． 【答案】 【详解】由条件可知，， 所以: 则：. 故答案为： 7．求下列函数的导数： (1) (2) (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)； (4)； (5) (6). 【详解】（1） （2）. （3） ． （4） . （5） （6）， 故 . 8．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【详解】 （1）， ，. （2）， . （3）， . （4）， ． 9.若点A，B分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则AB的最小值为（ ） A． B． C． D．17 【答案】：A 【详解】设，则有，令，得，所以可知，， 故选A． 10．设，，，……，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，，，，，……， 又因为， 故， 故选：B． 11．（多选）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ） A．若的导函数为，定义域为R，则 B．函数的图像关于直线对称 C．的图像关于对称 D．设数列为等差数列，若，则 【答案】ACD 【详解】解：因为函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数， 所以，， 所以，即， 所以，是偶函数 所以，， 所以，为奇函数，故定义域为R，则，A选项正确； 函数的图像是由函数图像向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到， 因为是偶函数，图像关于对称， 所以函数的图像关于直线对称，故B选项错误； 因为，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C选项正确； 由选项知，当时，， 由等差数列性质，所以， 同理，，；，； ，；，； ，即，故； 所以，，故D选项正确. 故选：ACD （二）“在一点”处的切线方程 1．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， ，即， 当时，； 当时，. ， 故选：. 2．函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为函数， 则， 所以，也即函数在处切线的斜率， 故选：. 3.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 4．求曲线在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是______． 【答案】 【详解】设，则，∴， ∴曲线在点处的切线方程为，即． ∴切线与x轴的交点是，与直线x＝2的交点是， ∴所围成的三角形的面积为． 故答案为： 5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______． 【答案】　－3 【详解】　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3. 故答案为：－3 6．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 7．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 【答案】1 【详解】 . 8．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即． 9.函数在点处的切线记为，直线及x轴围成的三角形的面积记为Sn，则________． 答案： 【详解】：因为，所以在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即的方程为，令，得， 所以， 令，得， 由得， 直线的交点坐标为， 所以直线及x轴围成的三角形的面积为， 所以， 则 ． （三）“过一点”的切线方程 1．过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故选：B 2．过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________． 【答案】 【详解】由题意得，设切点的坐标为，的导数， 则有，即切线的斜率， 又因为切线经过原点，设切线方程为， 将切点代入得，化简得，所以. 故答案为：. 3．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． 【答案】或. 【详解】设切点为对求导得： ， 切线方程为：， 切线过， 解之：或1，所以斜率或， 又过， 代入点斜式得切线方程为：或， 故答案为：或. （四）已知切线求参数问题 1．直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． 【答案】 【详解】设切点为，， 又， ，解得： 故答案为： 2．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 【答案】B 【详解】因为，所以，故 又，所以． 故选：B 3．已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 4．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 5．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 6．已知函数.，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】∵函数，定义域为， ∴， ∴，当且仅当时，取等号， 要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，， 所以的值必有一正一负， 当时，，不合题意， 当时，，不合题意， 当时，，则，，例如，，故的值可以是， 当时，，则，，例如，，故的值可以是. 所以的值可以是或. 故选：AB. （五）两曲线公切线问题 1．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 3．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 【答案】8 【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得. 4．函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. 【答案】－1或3 【详解】，故在的图象上， ，则， 故的图象在点处的切线方程为， 当在上时，，解得：， 故， 则，则， 则在处的切线方程为，满足要求， 当不在上时，设切点为， ，则， 由于在处的切线方程为， 所以， 解得：，，经检验符合要求， 故答案为：-1或3 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数运算及切线方程 一．重点知识梳理 1．基本初等函数的导函数 为有理数 2．导数的四则运算法则：（设，是可导的） ⑴函数和（或差）的求导法则： ， ⑵函数积的求导法则： ，特别地：， ⑶函数的商的求导法则： ．（） 特别地当时，有． 注：若为奇函数，则为偶函数； 若为偶函数，则为奇函数 ； 3．复合函数的导数 一般形式：，内函数：；外函数，则 4．求在某点处的切线方程的步骤： （1）求出f ′(x)； （2）写出切点(x0，f(x0))； （3）求切线斜率k＝f ′(x0) ；（4）切线方程为：y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)； 5.过点P(a，b)的切线方程 （1）设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f ′(x0)，切线方程为： y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0) （2）因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f ′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2 （3）当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f ′(x0)(x－x1) 当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f ′(x0)(x－x2) 6.公切线问题 求函数与的一般步骤： （1）设任意一点坐标为，设任意一点坐标为， （2）分别写出函数与的在所设切点处的切线方程： y＝f ′(x1) x－x1 f ′(x1)+f(x1) y＝g ′(x2) x－x2 g ′(x2)+g(x2) （3）两曲线的公切线即为两曲线在两切点处的切线重合，则满足两个条件： 得到关于x1，x2的方程组。 7.已知切线方程求参数 已知直线Ax＋By＋C＝0与曲线y=f(x)相切 （1）设切点为(x0，f(x0))则: （2）解方程组得x0及参数的值. 二．典例分析类分析 （一）导数的运算 1．设函数．若，则a= ． 2．已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且满足关系式，则___________． 6.已知函数，则 ． 7．求下列函数的导数： (1) (2) (3)． (4)； (5)； (6)． 8．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 9.若点A，B分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则AB的最小值为（ ） A． B． C． D．17 10．设，，，……，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ） A．若的导函数为，定义域为R，则 B．函数的图像关于直线对称 C．的图像关于对称 D．设数列为等差数列，若，则 （二）“在一点”处的切线方程 1．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．求曲线在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是______． 5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______． 6．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 7．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 8．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是 . 9.函数在点处的切线记为，直线及x轴围成的三角形的面积记为Sn，则________． （三）“过一点”的切线方程 1．过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________． 3．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． （四）已知切线求参数问题 1．直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． 2．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 3．已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 4．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 5．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数.，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（    ） A． B． C． D． （五）两曲线公切线问题 1．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 2．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 3．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 4．函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $