第08讲 矩形（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年（新教材人教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 矩形（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也就是长方形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 注意：由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 【知识点02】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表. 类别 性质 符号语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD OA＝OB＝OC＝OD 对称性 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴 直线，是矩形ABCD的两条对称轴两条对称轴互相垂直 【知识点03】直角三角形斜边上的中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90 °，AD＝BD，∴ CD＝AB (或CD＝AD＝BD) 证明线段的倍分、相等关系 说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形” 仍然成立， 它可以用来判定一个三角形是直角三角形. 对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 【知识点04】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形(定义法) 在▱ABCD 中，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵ AC＝ BD，∴▱ABCD是矩形 注意： 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法 【题型一】矩形性质理解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花． 变式2．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为________． 变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 变式1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【题型四】根据矩形的性质求面积 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 变式2．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 【题型五】利用矩形的性质证明 例5．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 例6．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【题型七】矩形与折叠问题 例7．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，．点E，F分别在，上．将矩形沿折叠，使点，分别落在矩形外部的点，处，则整个阴影部分图形的周长为________cm． 变式2．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿所在直线折叠，点D的对称点F恰好落在上，已知，，求边的长． 【题型八】斜边的中线等于斜边的一半 例8．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【题型九】矩形的判定定理理解 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 变式2．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 变式2．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【题型十一】证明四边形是矩形 例11．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求角度 例12．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 变式1．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 变式2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求线段长 例13．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【题型十四】根据矩形的性质与判定求面积 例14．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 一、单选题 1．如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的长为（   ）    A．2.5 B．5 C． D． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．14 D．16 3．如图，已知在中，，，是边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点、；②作直线，分别交、于点、；③连接、.则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图（1）将一个边长为a的正方形纸片，剪去两个小矩形，得到一个“” 图案，如图（2）再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图（3）则新矩形的周长可以表示为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（   ） A． B．3 C．4 D．5 6．点分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．正方形 B．菱形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．7 B．7.5 C．6 D．6.5 8．下列命题是真命题的有（ ）   ①若a＞b，则a2＞b2；②如果直角三角形两条边的长度分别为3和4，那么斜边上中线的长度为2.5；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4）；⑤等腰三角形的两条边长分别为3和7，则三角形的周长是13或17． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图中，，，的周长是11，于F，于点E，且点D是的中点，则的长为（　　）    A．36 B． C．8 D．7 10．如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．Rt△ABC的斜边长为20，则其斜边上的中线长为________． 12．如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的值为______． 13．如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为______．    14．在矩形中，对角线交于点O．于点E，若，，则＝__． 15．如图，四边形中，，，，连接和，若，则______°，的周长为______．      16．如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，，则，的长为________．    三、解答题 17．如图，在直角坐标系中，已知矩形．写出它的各个顶点及对角线、的交点P的坐标． 18．如图所示，是的高，D是边的中点，求证：． 19．兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)如四边形的面积是，且，求对角线的长． 21．如图，在的方格纸中，点A、B均在格点上，请按要求画图．    (1)在图1中画出一个面积为2的格点等腰． (2)在图2中画出一个格点Rt，使是的中线． 22．阅读下面材料： 小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系． 小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决． （1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________． （2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 矩形（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也就是长方形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 注意：由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 【知识点02】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表. 类别 性质 符号语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD OA＝OB＝OC＝OD 对称性 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴 直线，是矩形ABCD的两条对称轴两条对称轴互相垂直 【知识点03】直角三角形斜边上的中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90 °，AD＝BD，∴ CD＝AB (或CD＝AD＝BD) 证明线段的倍分、相等关系 说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形” 仍然成立， 它可以用来判定一个三角形是直角三角形. 对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 【知识点04】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形(定义法) 在▱ABCD 中，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵ AC＝ BD，∴▱ABCD是矩形 注意： 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法 【题型一】矩形性质理解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形性质理解 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花． 【答案】 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 变式2．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角和三角形外角的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等得到，则由等边对等角得到，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为________． 【答案】102.5° 【知识点】利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）根据题意得，结合即可求解； （2）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 的周长， 故答案为：． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 变式1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【答案】的最小值为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【题型四】根据矩形的性质求面积 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】12 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 变式2．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 【答案】能，损耗面积为． 【知识点】根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，求得．根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴损耗面积． 【题型五】利用矩形的性质证明 例5．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 变式1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    【答案】/35度 【知识点】利用矩形的性质证明、等边对等角 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，从而可得为等腰三角形，，即可求得的度数． 【详解】解：四边形为矩形，对角线、相交于点O， ， 为等腰三角形， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用矩形的性质证明 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 例6．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型七】矩形与折叠问题 例7．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，．点E，F分别在，上．将矩形沿折叠，使点，分别落在矩形外部的点，处，则整个阴影部分图形的周长为________cm． 【答案】36 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】此题主要考查了翻折变换，解题的关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长． 根据折叠的性质，得，，，则阴影部分的周长即为矩形的周长． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， 则阴影部分的周长 ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿所在直线折叠，点D的对称点F恰好落在上，已知，，求边的长． 【答案】10 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠问题、勾股定理，先由勾股定理计算出，由折叠前后对应边相等可得，，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， 由折叠知， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即边的长为10． 【题型八】斜边的中线等于斜边的一半 例8．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、三线合一 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：连接，， ∵，，，F为的中点， ∴，，即， ∵G为的中点， ∴，， ∴． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【答案】10 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 【题型九】矩形的判定定理理解 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 变式2．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2； （2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠2， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠B=∠1， ∴∠1=∠2； （2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=ED， ∵AB=AC， ∴AC=ED， 在△ADC和△ECD中， ， ∴△ADC≌△ECD（SAS）； （3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下： ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BC， ∵D为边长BC的中点， ∴BD=CD， ∴AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵△ADC≌△ECD， ∴AC=DE， ∴四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形的定义，结合平行四边形的性质，确定符合要求的添加条件． 【详解】解：当或或或时，平行四边形为矩形； 当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形为矩形．（答案不唯一） 变式2．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①或②（选一项即可） (2)见解析 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据矩形的判定定理选择条件即可； （2）选择①：过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点，证明，进而即可得到结论； 选择②：根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①或②（选一项即可）； （2）选择①：证明：如图，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 为矩形； 选择②：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为矩形． 【题型十一】证明四边形是矩形 例11．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、三线合一 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求角度 例12．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 变式1．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 变式2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求线段长 例13．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理； 过A作于F，可得四边形是矩形，设，，在中，利用勾股定理列式，整体求出即可． 【详解】解：过A作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 【题型十四】根据矩形的性质与判定求面积 例14．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 一、单选题 1．如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的长为（   ）    A．2.5 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴； 故选C． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 3．如图，已知在中，，，是边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点、；②作直线，分别交、于点、；③连接、.则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意可知道为线段的中垂线，然后结合中垂线,全等三角形的判定与性质以及中线的性质逐项分析即可． 【详解】由题意可知，为线段的中垂线， ∵O为中垂线上一点， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴，故C正确； 假设成立， 则，， 而题干中只给出是中线，无法保证一定与垂直， ∴不一定与相等，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以及性质定理是解题关键． 4．如图（1）将一个边长为a的正方形纸片，剪去两个小矩形，得到一个“” 图案，如图（2）再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图（3）则新矩形的周长可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，剪下的两个小矩形的长为，宽为，所以这两个小矩形拼成的新矩形的长为，宽为，然后计算这个新矩形的周长． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键用和表示出剪下的两个小矩形的长与宽． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】解：，M是BD的中点， ， 设，则， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6．点分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．正方形 B．菱形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理即可求解． 【详解】解：根据题意得画出图如图所示， 要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直， 理由是：连接，两线交于，如图所示， 根据三角形的中位线定理得：， ， 四边形一定是平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个内角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；本题就是应用有一个内角是直角的平行四边形是矩形这一条判定方法进行求解的． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．7 B．7.5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】根据折叠的性质结合平行线的性质证得，然后在中，由勾股定理列方程求得的长，再由即可求解． 【详解】解：∵将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 设，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是关键． 8．下列命题是真命题的有（ ）   ①若a＞b，则a2＞b2；②如果直角三角形两条边的长度分别为3和4，那么斜边上中线的长度为2.5；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4）；⑤等腰三角形的两条边长分别为3和7，则三角形的周长是13或17． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用有理数的乘方运算及大小比较，可对①作出判断；利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对②作出判断；利用直角三角形的判定方法，可对③作出判断；利用关于y轴对称的点的坐标特点，可对④作出判断；利用三角形的三边关系定理及等腰三角形的性质，可对⑤作出判断． 【详解】解：①若a＞b，当a=0，b=-3时，a2＜b2， 此命题是假命题； ②∵直角三角形两条边的长度分别为3和4， ∴若为直角边，则斜边长为 ，斜边上的中线长2.5， 若不是直角边，则不成立；故此命题是假命题； ③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，此命题是真命题； ④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4），此命题是真命题； ⑤∵等腰三角形的两条边长分别为3和7， ∴3+3=6＜7， ∴此等腰三角形的腰长不能为3，只能为7 ∴三角形的周长为7×2+3=17，此命题是假命题； 是真命题的有③④. 故答案为：B． 【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线． 9．如图中，，，的周长是11，于F，于点E，且点D是的中点，则的长为（　　）    A．36 B． C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 的周长， ， 由勾股定理知． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键． 10．如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，由直角三角形的性质得到，则可证明：，据此可判断①； ②设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②； ③可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③； ④连接并延长交于，则点为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：①如图，连接， 是的中点， 点在的垂直平分线上， 的垂直平分线一定与相交于点，故①正确，符合题意； ②设 ，故②正确，符合题意； ③为的中点， ，是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形，故③正确，符合题意； ④如图 2，连接并延长交于点， 为的中点，为的中点， 点为的中点， 由③知：当为中点时，是等边三角形， ， 在中， ， 为的中点， ，故④不正确，不符合题意． 综上，正确的选项是①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题 11．Rt△ABC的斜边长为20，则其斜边上的中线长为________． 【答案】10 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得结论． 【详解】解：在中，斜边长为20， 斜边上的中线长． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 12．如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据矩形的性质得，，根据得，即可得是等边三角形，，根据三角形内角和定理得，根据直角三角形的性质得，在中，根据勾股定理即可得；掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，，根据勾股定理得， ， 故答案为：． 13．如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为______．    【答案】 【分析】设，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理可得，解方程求的x的值，即可得的长． 【详解】解：设，则， ∵矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合， ∴， 在中，∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 14．在矩形中，对角线交于点O．于点E，若，，则＝__． 【答案】2 【分析】由矩形的性质可得，由线段关系可求的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴AE2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，准确求出的长是解此题的关键． 15．如图，四边形中，，，，连接和，若，则______°，的周长为______．      【答案】 /15度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理求解．由等腰直角三角形的性质可得结合即可求解，过点A作，利用勾股定理即可求解的周长． 【详解】解：，，， ，， 点O为中点， ， ， ， ， 过点A作，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， 周长为：， 故答案为：；． 16．如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，，则，的长为________．    【答案】 【分析】由折叠的性质和平角的定义证明，同理可得，利用勾股定理求出，再由折叠的性质推出，则由矩形的性质可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 同理， ∵， ∴，即， 同理可得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确推出是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在直角坐标系中，已知矩形．写出它的各个顶点及对角线、的交点P的坐标． 【答案】，，，， 【分析】根据坐标系中确定点的坐标的方法及矩形的性质-矩形的对角线相等且互相平分，求解即可． 【详解】由图得，，，，， ∵四边形是矩形，点P为对角线、的交点， ∴点P是的中点， ，即． 【点睛】本题考查了在坐标系中确定点的坐标的方法及矩形的性质，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 18．如图所示，是的高，D是边的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出是解题的关键． 【详解】证明：∵是的高， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴． 19．兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 【答案】米 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后证明四边形ABDE为矩形，得出ED，从而求得； 【详解】解：∵ ∴∠BDC=90°， 在中， ，， （米）． ∵AB⊥AE，DE⊥AF，BD⊥DE， ∴∠BAE=∠DEA=∠BDE=90°， ∴四边形ABDE为矩形， ∴ED=AB=1.7米， （米）， 答：风筝的高度为米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)如四边形的面积是，且，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知证明，再根据矩形的判定定理得出结论； （2）根据矩形的性质和直角三角形的性质求出，再由矩形的面积公式列式求出，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，，， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积是， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，含直角三角形的性质，二次根式的运算等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21．如图，在的方格纸中，点A、B均在格点上，请按要求画图．    (1)在图1中画出一个面积为2的格点等腰． (2)在图2中画出一个格点Rt，使是的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据三角形的中线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：解：如图，即为所求（答案不唯一）：    （2）解：如图，即为所求（答案不为一）：    【点睛】本题考查作图−应用设计，三角形的面积、三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义和等腰三角形的定义是解题的关键． 22．阅读下面材料： 小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系． 小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决． （1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________． （2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由． 【答案】（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论； （2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论． 【详解】解：（1）作PG⊥DE与DE交于G， ∵DP为的平分线，，PG⊥DE， ∴PM=PG， 同理可证明PG=PN， ∴PM=PN， 在Rt△PDM和Rt△PDG中， ∵PM=PG，PD=PD， ∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL）， ∴DM=DG， 同理可证GE=EN， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形BNPM为矩形， ∴PN=BM,PM=BN， ∴ 故答案为：PM=PN，； （2）（或），理由如下： 作PH⊥DE，连接BP， 与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN， ∴P在∠ABN的角平分线上， ∵， ∴∠ABP=∠PBN=30°， ∴在Rt△BPM中，BP=2PM， 根据勾股定理, 同理可证， ∴（或）． 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $