第08讲 平移与轴对称（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年（新教材沪教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 平移与轴对称（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】用“方位角+距离”表示物体的相对位置 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 【知识点02】用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明：(1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 【知识点03】平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【题型一】坐标系中的平移 例1．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 变式1．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用．根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 变式2．按要求画出图形： (1)在图1的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； (2)如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且． ①直接写出点B的坐标为_______； ②在平面直角坐标系中取一点C，使以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）． 【答案】(1)见解析 (2)①  ②见解析（答案不唯一） 【知识点】勾股定理与网格问题、利用平行四边形的性质求解、坐标系中的平移 【分析】本题考查了复杂作图、坐标与图形性质、平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据面积为8的正方形的边长画出正方形即可； （2）①根据勾股定理可知也是两直角边长分别为1和3的斜边，再结合点B是第二象限内的整点即可得到答案；②根据平行四边形的判定定理作图即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， 如图1所示，即为所求； ； （2）解：①∵是两直角边长分别为1和3的斜边，， ∴也是两直角边长分别为1和3的斜边， ∴， 故答案为：； ②以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图2所示： ． 【题型二】坐标系中的动点问题（不含函数） 例2．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 变式1．定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 变式2．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的动点问题（不含函数）、坐标系中的平移 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 【题型三】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例3．在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 变式1．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】(1)根据平移方式找到的对应点，顺次连接，即为所求； (2)根据题意，连接，根据四边形的面积,结合网格，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）四边形的面积为：． 【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【题型四】由平移方式确定点的坐标 例4．点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据直角坐标系中点的平移法则：横坐标满足“左（移）减右（移）加”，纵坐标满足“下（移）减上（移）加”． 【详解】解：点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，坐标变化为，则点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的平移变换，解题的关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加． 变式1．如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标的平移，根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是， 故答案为：． 变式2．一只蚂蚁在平面直角坐标系内爬行，从P点出发向右爬行2个单位长度，再向下爬行3个单位长度到达点Q，点P坐标为，设点Q的坐标为． (1)求m和n的值； (2)已知，求x，y及代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】二次根式有意义的条件、带有字母的绝对值化简问题、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据平移的性质求出结果即可； （2）先求出，，根据，，得出，，即可求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质求出，． 【题型五】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例5．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可． 【详解】解：∵的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点， ∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴的内部任意一点，则其对应点坐标一定是． 故选：C． 【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 变式1．在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 【答案】9 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据题意，点和的纵坐标的差为18，结合平移方式，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴点经过9次这样的运动后到达点． 故答案为：9． 变式2．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出将平移后得到的图形，并求出平移距离． (2)请画出将绕点旋转得到，并写出的坐标． 【答案】(1)作图见详解，平移距离5 (2)作图见详解， 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ， ∴平移距离为5． （2）解：如图，即为所求．． 【题型六】已知图形的平移，求点的坐标 例6．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解 【详解】解：将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合， ， ， 点A的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 变式1．在平面直角坐标系中中，线段平移至位置．若的对应点是，则的对应点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据点到点确定出平移规律，再根据相同的平移规律即可求解． 【详解】解：∵的对应点是， ∴可得向右平移了个单位，向下平移了个单位， ∴的对应点的坐标是，即 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化——平移，平移的规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定平移规律是解题的关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，使点与点重合． (1)画出平移后的； (2)若内有一点，经过平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，掌握图形的平移规律是解题的关键． （1）根据平移得性质作图即可； （2）首先求出平移方式，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）∵经过平移后，使点与点重合 ∴平移方式为向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∴点经过平移后的对应点的坐标是． 【题型七】已知平移后的坐标求原坐标 例7．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了由平移后的坐标点求原坐标点，根据平移方式以及平移后的坐标求出原坐标即可． 【详解】解：将沿x轴的负方向平移3个单位长度得到， 故选：A． 变式1．平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 【答案】 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 变式2．已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【答案】(1)0，4，6 (2)见解析 (3)3 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标、平移(作图) 【分析】（1）由点A（2，4）到（a，1）可知，点由A向下平移3个单位得到，得； （2）直接画图即可； （3）将四边形BB'C'C放在长方形中利用面积之差即可求出结果． 由B（5，b）到B'（3，1）可知，点由B向左平移2个单位得到，得,，． 【详解】（1）解：由题意，△A'B'C'是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到； ∴，，； 故答案为：0，4，6 （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标平移、面积的求法，根据点坐标确定平移的规律和利用割补法求面积是解题的关键． 【题型八】坐标系中的对称 例8．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 变式1．点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为_____． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的横坐标与点P的横坐标相同，纵坐标与点P的纵坐标互为相反数． ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 【题型九】坐标与图形变化——轴对称 例9．点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（    ） A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1） 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【详解】解：点P（1，5）关于y轴的对称点的坐标是（-1，5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 变式1．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________． 【答案】3 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性可得，即可求出结果． 【详解】解：点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上， ， ， 故答案为：3． 变式2．如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，1)． （1）写出A的坐标 ，并画出ABC； （2）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1； （3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为 ． 【答案】（1）A(1，-4)，作图见解析；（2）作图见解析；（3）28． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】（1）根据点A的位置写出点A的坐标即可，再根据A，B，C的坐标画出三角形即可； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （3）利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图，A(1，-4)，△ABC即为所求． 故答案为：(1，-4)； （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3）四边形ABB1A1的面积==28， 故答案为：28； 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，轴对称变换，梯形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，记住梯形的面积公式． 【题型十】求关于原点对称的点的坐标 例10．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 变式1．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________． 【答案】（2，-4） 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（-2，4）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，-4）， 故答案是：（2，-4）． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） (2)若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)图见解析；、、 (2) (3) 【知识点】画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练画图是解本题的关键． （1）分别确定、、绕原点O旋转后的对应点、、，再顺次连接即可； （2）对于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； （3）找出对称的两个点，求中点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，、、 （2）解：由题意知，与关于原点对称， 点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由图可知，与对称， 对称中心的坐标为，即， 故答案为：． 【题型十一】已知两点关于原点对称求参数 例11．在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点是，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质； 直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， 又∵对称点为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 变式1．若点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标规律是解题关键． 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程求解和，再求它们的和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 变式2．已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 【答案】点，点 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可． 【详解】解：∵与点关于原点对称， ∴，  解得， ∴点，点． 【点睛】本题考查已知关于原点对称的两点，求参数．熟练掌握关于原点对称的点的特征，是解题的关键． 【题型十二】判断两个点是否关于原点对称 例12．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 变式1．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】 原点 二 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、判断两个点是否关于原点对称、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，掌握点向左平移时横坐标减少，纵坐标不变的规则是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，向左平移时横坐标减少，纵坐标不变． 【详解】解：∵点向左平移5个单位， ∴新点横坐标，纵坐标， ∴得到的点坐标为，对应选项C． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分的性质，利用关于原点对称的点的坐标特征求出的坐标，再判断选项是否符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且其对角线相交于原点 ∴点与点关于原点对称 ∵点的坐标是 ∴点的坐标是 ． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点 B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点 B的坐标为． 故选：D． 4．已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据左（右）平移时点的横坐标减去（加上）一个正数，上（下）平移时点的纵坐标加上（减去）一个正数，由点和点的坐标确定出平移方式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：点和点是对应点， 平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， 点的对应点的坐标为，即 故选：A． 5．如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，设，利用三角形面积公式求出n的值，再求出，可得结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ）    A．9 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出，，可得结论． 【详解】解：，关于轴对称， ， 解得，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征；根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：∵和关于x轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．已知点与关于原点对称，则=____________． 【答案】-8 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答． 【详解】∵点与关于原点对称， ∴m=-6，1-n=3， ∴n=-2， ∴m+n=-6-2=-8， 故答案为：-8． 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求代数式的值，熟记坐标特征是解题的关键． 9．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 10．点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 11．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点和点是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点，则点的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】先根据点 A(1,−2) 和点 A′(−9,−2) 是这个图形上的一对称点找到相应的对称关系，再根据该对称关系找到点 B 的对称点的坐标即可． 【详解】∵点 A(1,−2) 和点 A′(−9,−2) 是这个图形上的一对称点， ∴点A与点 A′关于直线x=−4对称， ∴点 B(,3)关于直线x=−4对称为（）， 故答案为： ． 【点睛】此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度一般． 13．如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据平行四边形的性质及点坐标，可求出点坐标，再由可求出点坐标．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线， ∴点为的中点，即与相交于点， ∴点为的对称中心， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 又∵，且轴， 即点向左平移个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是__________．    【答案】 【分析】由图可知，每经过4次变换，点回到原来的位置，用，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：每经过4次变换，点回到原来的位置， ∵， ∴点坐标与第2次图形中的坐标相同， ∵原来点A坐标是，第1次变换后，变为，第2次变换后，变为； ∴经过第2022次变换后所得的A点坐标是； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与轴对称，点的坐标规律探究，解题的关键是得到每经过4次变换，点回到原来的位置． 15．如图，矩形的边在轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴， ∴， 设，则 即， 解得， ∴点的坐标为 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为______． 【答案】1或 【分析】本题考查了旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形．熟练掌握 旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，则，，，进而可求、的横坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为1，的横坐标为， 故答案为：1或． 三、解答题 18．中，点A的坐标为，点C的坐标为，点B的坐标为，与关于y轴对称（A，B，C的对称点分别为D，E，F）．画出，并直接写出点E的坐标．    【答案】画图见解析，点E的坐标为 【分析】分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，然后求出点E的坐标即可． 【详解】解：如图所示，即为所求．    ∴点E的坐标为． 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 19．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接、、． （1）直接写出点C、D的坐标 （2）如图②，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上运动时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）点，点；（2）；证明见解析． 【分析】（1）根据点的平移规律得到C点和D点坐标，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形ABDC的面积． （2）结论：过点P作PE∥CD．利用平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）∵点A，B的坐标分别为，，将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点A，B的对应点C，D， ∴点，点． （2）如图，作，由平移可知， ∴， ∴，， ∴，即． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为，点B的坐标为． (1) ． (2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，求点的坐标． (3)请在图中画出，并求出的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)见详解，10 【分析】本题主要考查坐标轴的特点和点的平移， 根据在x轴上得特点列出求解即可； 根据平移得性质即可求得； 在平面直角坐标系中找到对应点，再将三角形分割为两部分求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上且坐标可表示为， ∴，解得． 故答案为：2； （2）由得， 根据点A向上平移3个单位，得， 再向左平移2个单位得到点， 故； （3）如图， ． 21．某城市规划部门正在进行安全设施布局优化．在平面直角坐标系中，消防站位于点，学校位于点，医院位于点．如图所示，现需解决以下问题： (1)以y轴（主干道）为对称轴，确定这些设施的对称位置，画出关于y轴对称的． (2)为快速响应突发事件，计划在x轴（快速路）上设置一个应急物资存储点P，使得P到消防站A和学校B的总距离最短．在x轴上找出点P的位置并写出坐标． (3)在后续规划中发现，点C关于x轴对称的点的坐标为，需要确定参数a和b，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标为 (3)1 【分析】（1）作点B、C关于y轴的对称点，依次连接A、，即得； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，即可求出点P的坐标； （3）根据点与点关于轴对称，列方程即可求出a、b的值，再求代数式的值． 【详解】（1）解：∵在y轴上，点，点关于y轴的对称点为， ∴首尾顺次连接A、，得到，如图，即为所求． （2）解：如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接， 则， 此时，为最小值， 则点即为所求． ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为． （3）解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查了网格作图．熟练掌握轴对称性质，关于坐标轴对称的点坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的关系，是解题的关键． 22．如图，在的正方形网格中，三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，画出平面直角坐标系并写出点的坐标； (2)直线经过点且与轴平行，写出点、关于直线对称点、的坐标； (3)直接写出上一点关于直线对称点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)， (3) 【分析】（1）由点的坐标为，可得点向左平移2个单位长度，向下平移一个单位长度，即是坐标原点，建立平面直角坐标系，再写出点的坐标即可； （2）根据轴对称的性质得到点、的坐标； （3）根据轴对称的性质得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：如图所示，，； （3）解：点为上一点关于直线的对称点， ． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，以及平移变换，正确得出相应的点的位置是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）． （1）若|a+3|+＝0，h＝2，求C点的坐标； （2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1． ①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴； ②在①的条件下，若点B，D及点（s，t）都是以关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，试判断s+t与m+n的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据非负数的性质，确定的值，即可确定的坐标，进而根据平移的方式求得点的坐标； （2）①根据题意可得的坐标，进而可得轴，根据，即可得证； ②根据题意将点的坐标代入二元一次方程，利用加减消元法可得，进而可得与的关系． 【详解】（1）|a+3|+＝0，， 解得 h＝2 先向右平移个单位，再向下平移1个单位 ，即 C点的坐标为 （2）①A（a，b），B（m，n） 将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点 的纵坐标相等，即到轴的距离相等 轴 x轴 ②依题意，在①的条件下由轴 DE的最小值为1 点向右平移1个单位，再向下平移1个单位到点 点B，D及点（s，t）是px+qy＝k（pq≠0）的解 ②-①得： 即代入①得 又 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，点的平移，点到坐标轴的距离，二元一次方程的解的定义，加减消元法，理解题意掌握平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平移与轴对称（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】用“方位角+距离”表示物体的相对位置 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 【知识点02】用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明：(1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 【知识点03】平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【题型一】坐标系中的平移 例1．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 变式2．按要求画出图形： (1)在图1的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； (2)如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且． ①直接写出点B的坐标为_______； ②在平面直角坐标系中取一点C，使以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）． 【题型二】坐标系中的动点问题（不含函数） 例2．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是___________． 变式2．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【题型三】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例3．在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出； (2)求四边形的面积． 【题型四】由平移方式确定点的坐标 例4．点向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________． 变式2．一只蚂蚁在平面直角坐标系内爬行，从P点出发向右爬行2个单位长度，再向下爬行3个单位长度到达点Q，点P坐标为，设点Q的坐标为． (1)求m和n的值； (2)已知，求x，y及代数式的值． 【题型五】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例5．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 变式2．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出将平移后得到的图形，并求出平移距离． (2)请画出将绕点旋转得到，并写出的坐标． 【题型六】已知图形的平移，求点的坐标 例6．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中中，线段平移至位置．若的对应点是，则的对应点的坐标是___________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，使点与点重合． (1)画出平移后的； (2)若内有一点，经过平移后的对应点的坐标是 ． 【题型七】已知平移后的坐标求原坐标 例7．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______． 变式2．已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【题型八】坐标系中的对称 例8．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 变式1．点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为_____． 【题型九】坐标与图形变化——轴对称 例9．点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（    ） A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1） 变式1．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________． 变式2．如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，1)． （1）写出A的坐标 ，并画出ABC； （2）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1； （3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为 ． 【题型十】求关于原点对称的点的坐标 例10．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） (2)若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 【题型十一】已知两点关于原点对称求参数 例11．在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点是，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 变式1．若点与点关于原点对称，则的值是______． 变式2．已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 【题型十二】判断两个点是否关于原点对称 例12．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 变式1．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点 B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ）    A．9 B． C．1 D．0 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则：_____． 8．已知点与关于原点对称，则=____________． 9．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 10．点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为______． 11．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 12．在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点和点是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点，则点的对称点的坐标是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为___________． 14．如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是__________．    15．如图，矩形的边在轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点的坐标为______． 16．在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为_____． 17．如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为______． 三、解答题 18．中，点A的坐标为，点C的坐标为，点B的坐标为，与关于y轴对称（A，B，C的对称点分别为D，E，F）．画出，并直接写出点E的坐标．    19．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接、、． （1）直接写出点C、D的坐标 （2）如图②，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上运动时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为，点B的坐标为． (1) ． (2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，求点的坐标． (3)请在图中画出，并求出的面积． 21．某城市规划部门正在进行安全设施布局优化．在平面直角坐标系中，消防站位于点，学校位于点，医院位于点．如图所示，现需解决以下问题： (1)以y轴（主干道）为对称轴，确定这些设施的对称位置，画出关于y轴对称的． (2)为快速响应突发事件，计划在x轴（快速路）上设置一个应急物资存储点P，使得P到消防站A和学校B的总距离最短．在x轴上找出点P的位置并写出坐标． (3)在后续规划中发现，点C关于x轴对称的点的坐标为，需要确定参数a和b，求出的值． 22．如图，在的正方形网格中，三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，画出平面直角坐标系并写出点的坐标； (2)直线经过点且与轴平行，写出点、关于直线对称点、的坐标； (3)直接写出上一点关于直线对称点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）． （1）若|a+3|+＝0，h＝2，求C点的坐标； （2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1． ①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴； ②在①的条件下，若点B，D及点（s，t）都是以关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，试判断s+t与m+n的大小关系，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $