第08讲 图形的旋转与简单的图案设计（知识详解+24典例分析+习题巩固）2025-2026学年（北师大版）八年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 图形的旋转与简单的图案设计（知识详解+24典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转及其相关概念 旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 旋转的“三要素”: ①旋转中心：如点O； ②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠ AOD，∠ BOE， ∠ COF 旋转中的 对应元素 对应点 点A 与点D，点B 与点E，  点C 与点F  △ ABC 绕点O 按顺时针方向旋转一定角度得到△ DEF 对应线段 AB 与DE，AC 与DF，BC  与EF  对应角 ∠ BAC 与 ∠ EDF，∠ ABC 与∠ DEF，∠ ACB 与∠ DFE  【知识点02】旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 2. 旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 . (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小 . (3)可以用来确定旋转中心 . 【知识点03】旋转画图 1.画图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度。 2. 旋转画图的一般步骤 【知识点04】中心对称 1. 定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点。 2. 中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转 180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点  都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 【知识点05】中心对称的性质 1. 中心对称的性质  成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心。 方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 【知识点06】画成中心对称的图形 根据中心对称的性质画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤： 特别解读 简记为： 连线并延长，截线段，顺次连接。 【知识点07】中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 2.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的 (位置)关系； (3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【知识点08】图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形，从基本图形的大小、形状、位置、距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式 。 2.常见的形成图案类型有 （1）平移变换； （2）旋转变换； （3）轴对称变换； （4）旋转变换与平移变换的组合； （5）旋转变换与轴对称变换的组合； （6）轴对称变换与平移变换的组合。 【知识点09】图案设计 1. 图案设计的思路 设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计 。 2. 图案设计的步骤 (1) 明确设计意图； (2) 确定图案的形状和基本图形； (3) 构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 . 【题型一】判断生活中的旋转现象 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 变式1．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【答案】689 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 变式2．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【答案】不一样 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据平移和旋转的性质判断即可； 【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键． 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 例2．（24-25八年级下·山西运城·期中）打乒乓球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转是解题关键． 【详解】 解：图标通过旋转可以得到图形 故选：D． 变式1．如图，已知和中，，，，，； (1)请说明的理由； (2)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)绕点A顺时针旋转可以得到； (3)． 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用证明，可得，则，即； （2）根据旋转的定义和性质可得答案； （3）根据三角形外角的性质可求． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴通过观察可知绕点A顺时针旋转可以得到； （3）解：由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的定义和性质，三角形外角的性质等知识，正确理解旋转的定义和性质是解题的关键． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 例3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握旋转对称的定义． 根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是______． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示， (1)请画出向右平移5个单位后得到的． (2)经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 【答案】(1)见解析 (2)①；②绕点逆时针旋转可以得到 【知识点】平移(作图)、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可． （1）根据平移方式作图即可得到答案； （2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）①旋转中心点P的坐标为， 故答案为： ②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到 【题型四】旋转的性质及辨析 例4．（2023·陕西西安·一模）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】旋转的性质及辨析 【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可． 【详解】解：A、正方体不能由旋转得到，故此选项正确，符合题意； B、圆柱能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； C、圆锥能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； D、球能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、性质都不改变． 变式1．（1）是圆O的任意一条半径，将绕点O按同一方向连续旋转三次，每次旋转，依次得到半径，它们将圆分成四部分，这四部分的形状和大小有什么关系？ （2）如图，A为圆周上一点，O为圆心，将曲线绕点O按同一方向连续旋转三次，每次旋转，这样得到的四条曲线将圆分成了四部分，这四部分的形状和大小又有什么关系？你能利用旋转的有关知识进行说明吗？ 【答案】（1）四个部分都是圆，形状､大小都相同；（2）它们可以看成一个图形绕点O依次旋转而相互得到，根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，因而它们形状､大小都相同 【知识点】旋转的性质及辨析 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； （2）把曲线旋转问题转化为一个封闭图形的旋转问题，再根据旋转的性质进行判断即可． 【详解】解：（1）旋转后的图形如图所示，由旋转的性质可知，这四部分形状、大小都相同； （2）把曲线OA与旋转一次后得到的图形作为一个整体，把这个整体再连续旋转三次，每次旋转90°，就得到如图所示的图形，由旋转的性质可知这四部分形状相同，大小相同． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 例5．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 【答案】/62度 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到 (2)6 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键． （1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可； （2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到． （2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ． 【题型六】画旋转图形 例6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，将该图按逆时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画旋转图形 【分析】本题是考查作旋转一定角度的图形，解题的关键是掌握图形旋转只是位置的改变，形状与大小不变． 根据旋转图形的特征，图形逆时针旋转，就得到图形B，据此判断即可． 【详解】解：将题干中已知的图形按逆时针方向旋转得到图形B． 故选：B． 变式1．如图，点O，A，B都在正方形网格的格点上，点A，B的旋转后对应点A'，B'也在格点上，请描述变换的过程．_____． 【答案】将△OAB绕点O顺时针旋转后90°得到△OA'B'． 【知识点】画旋转图形 【分析】根据图中可知是顺时针旋转得到的，只要相应的找到旋转角即可. 【详解】由图可知：将△OAB绕点O顺时针旋转后90°得到△OA'B'， 故答案为将△OAB绕点O顺时针旋转后90°得到△OA'B'． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，找到旋转方向和旋转角是解题的关键. 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在平面直角坐标系中将该图形绕原点顺时针依次旋转，，，并画出它在各象限内的图形． 【答案】见解析． 【知识点】画旋转图形 【分析】此题是考查利用旋转设计图案．旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度．整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 根据旋转图形的特征，这个图形绕点顺时针旋转、，，点的位置不动，其余各部分均绕点顺时针旋转、、，得到的是一个星星图案． 【详解】解：如图即为所求图形． 【题型七】求绕原点旋转90度的点的坐标 例7．（24-25八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：如图，绕原点逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标为． 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 【答案】或 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，分点A绕原点O顺时针和逆时针旋转 两种情况讨论，然后画出图形，数形结合求解即可． 【详解】解：点A绕原点O顺时针旋转，如图， ∴； 点A绕原点O逆时针旋转，如图， ∴ ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据图形旋转的性质，先分别作三个顶点绕原点旋转得到的对应点，再将三个对应点连结成三角形即可； （2）根据图形即可写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知点的坐标． 故答案为：． 【题型八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例8．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 变式1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，点、、的对应点分别为点、、； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解； 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移和旋转，坐标与图形； （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律先得到对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （2）根据所给的旋转方式和网格的特点得到对应点、的坐标，再描出、、，最后顺次连接、、即可 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， ． 【题型九】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例9．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2）．若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为（      ） A．（1，1） B．（2，2） C．（－1，－1） D．（－2，－2） 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】由菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°可知菱形绕点O逆时针旋转90°的时间为2秒，旋转一周角的时间为8秒，再计算出菱形绕点O逆时针旋转60秒共旋转了几周且剩余几秒，即可推导出此时点B的坐标． 【详解】解：∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°， ∴菱形绕点O逆时针旋转90°的时间为2秒，旋转360°的时间为8秒， ∵60÷8＝7（周）……4（秒）， ∴第60秒时，菱形的顶点B相当于回到原来的位置后又继续旋转两个象限，达到第三象限的角平分线上， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）， 故选：D． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、旋转的性质、图形与坐标等知识，正确地理解旋转的概念并且找到旋转的规律是解题的关键． 变式1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化---旋转，通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现数学转化思想，根据题题分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 变式2．如图，已知坐标系中的．    (1)将绕O顺时针旋转得； (2)直接写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)、、． 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、画旋转图形 【分析】（1）根据旋转的性质，确定出点的位置，连接即可； （2）根据点的位置，求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）由（1）可得，点的坐标分别为：、、． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质正确确定的位置． 【题型十】坐标与旋转规律问题 例10．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 变式1．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为________． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为， 第2次旋转结束时，正好与原来点A的坐标关于原点对称，则此时点A的坐标为， 第3次旋转结束时，在x轴的负半轴上，点A在第二象限，此时点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A回到原来的位置，此时点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【题型十一】线段问题(旋转综合题) 例11．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】线段问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 变式1．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转90°，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】线段问题(旋转综合题)、点坐标规律探索 【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2022的坐标即可． 【详解】解：由题意知，图形每旋转四次就回到原来的象限，且每旋转一次长度扩大3倍， ∵2022÷4＝505……2， ∴点B2022和B2在同一象限，且OB2022＝32023， ∵三角形A2022OB2022是等腰直角三角形， ∴点B2022的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，根据B点的坐标变化得出B点的位置是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图，你能绕着点使线段和重合吗？为什么？ （2）小明认为利用学习过的旋转和平移的知识，进行两种变换可以使线段和重合你知道他是怎么做的吗？请结合图形描述他的变换过程．    【答案】（1）不能，因为对应点到旋转中心的距离应该相等，而；（2）见解析． 【知识点】线段问题(旋转综合题)、平移(作图) 【分析】（1）根据旋转的性质即可判断求解； （2）根据旋转和平移的性质解答即可． 【详解】解：（1）不能，理由如下： ∵，， ∴， ∵一个图形和它经过旋转后所得的图形中，对应点到旋转中心的距离应该相等， ∴不能绕着点使线段和重合． （2）如图，以为旋转中心把线段顺时针旋转到的位置，再把线段沿的方向平移使点和点重合即可．（或把先向下平移个单位，再向右平移个单位）    【点睛】本题主要考查了图形的旋转与平移，熟练掌握旋转与平移的性质是解题的关键． 【题型十二】角度问题(旋转综合题) 例12．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度问题(旋转综合题) 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 变式1．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 变式2．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】(1)①是；120；② (2)当时，；当时，点与点重合；当时， 【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，再根据等边三角形的每一个角都是得到，从而得解； （2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解． 【详解】（1）解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形， ，， 在与中， ， ； ， ， 又， 在四边形中，； ②由已知得：和是全等的等边三角形， ， 是由绕点旋转得到的， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）如图，，， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得，， 在和中， ， ， ， ， 当时，， 当时，点与点共线，无； 当时，．   ． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键． 【题型十三】其他问题(旋转综合题) 例13．（22-23八年级下·江苏南京·月考）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【知识点】其他问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】其他问题(旋转综合题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 【题型十四】成中心对称 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 【答案】 【知识点】成中心对称 【分析】结合成中心对称的图形的性质解答． 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的图形的性质可得，点的对称点为点． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、成中心对称 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 【题型十五】画已知图形关于某点对称的图形 例15．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形网格中已画出了一个四边形和两个三角形，并给定了点．请你画出与这三个图形关于点成中心对称的图形． 【答案】见解析． 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 将图形的一个顶点与点连线并延长相同长度找它的对应点；然后依次找到其他各点的对应点，顺次连接得中心对称图形． 【详解】解：如图所示的即为这三个图形关于点成中心对称的图形． 【题型十六】画两个图形的对称中心 例16．（2025·河北邯郸·二模）如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 变式2．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点坐标为 (2)作图见解析，坐标为 (3)旋转中心P点的坐标 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、画两个图形的对称中心 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）根据图形得出旋转中心P点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； （2）解：如图，即为所求，坐标为； （3）解：如图，连接、、交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为． 【题型十七】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例17．（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】该题考查了勾股定理和中心对称，根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵在 中，，，， ∴， ∵与 关于点 O 中心对称， ∴， 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 【答案】 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质求解即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ， ， ． 【题型十八】中心对称图形的识别 例18．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国探月C．中国火箭 D．中国行星探测 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在中，，，若扇形与扇形关于点成中心对称，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键，将一个图形围绕某一个点旋转，能够与自身重合，则称该图形为中心对称图形，根据中心对称得扇形的面积与扇形的面积相等，从而即可得解。 【详解】解：∵扇形与扇形关于点中心对称， ∴扇形的面积与扇形的面积相等， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，O是的对称中心．这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形． 【答案】不是，作图见解析． 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断，然后根据中心对称图形的概念作图即可． 【详解】解：这个图形不是中心对称图形，根据一个图形绕着某一点旋转后，不能够与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形， 如图： 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是熟记相关概念． 【题型十九】判断中心对称图形的对称中心 例19．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 变式1．如图，和关于点O成中心对称．找出它们的对称中心点O． 【答案】见解析 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题主要考查中心对称图形，连接，找到交点即可求出结果． 【详解】解：连接，交于点O， 如图点O为对称中心， 【题型二十】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例20．（2025·江苏苏州·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【答案】1 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【题型二十一】中心对称图形规律问题 例21．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 变式1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【题型二十二】求关于原点对称的点的坐标 例22．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 变式1．在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请在图中画出； (2)点A关于原点中心对称的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换、关于原点对称的点的坐标． （1）根据平移的性质作图即可； （2）关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：点A关于原点中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 【题型二十三】已知两点关于原点对称求参数 例23．（24-25八年级下·江苏南通·月考）若与点关于原点对称，则的值是（　　） A．12 B． C．64 D． 【答案】B 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 变式1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为___________． 【答案】3 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键． 先根据点与点关于原点对称得到，，代入求值即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：3． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】8 【知识点】已知两点关于原点对称求参数、加减消元法 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于和的方程组，求解后计算的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， 将得： 解得 代入①得： 故原方程组的解为： 则． 【题型二十四】利用旋转设计图案 例24．由基本图案1得到图案2的方法是 (   ) A．旋转和平移 B．中心对称和轴对称 C．平移和轴对称 D．中心对称 【答案】A 【知识点】利用旋转设计图案 【分析】图2的由基本图形绕中心旋转3次，每次旋转90度，然后再平移一次得到. 【详解】图2的由基本图形绕中心旋转3次，每次旋转90度，然后再平移一次得到， 故选A. 【点睛】此题主要考查旋转设计图案. 变式1．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号) (1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是__; (2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是__; (3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是__. 【答案】(1)①④；(2) ②⑤；(3) ③ 【知识点】旋转的性质及辨析、旋转对称图形、利用旋转设计图案、图形的平移 【分析】图①由基本图形“半圆环”平移2次得到，图②由基本图形“菱形”旋转2次得到，每次旋转120°，图③既可通过基本图形“圆环”平移3次得到，又可通过旋转得到，图④ 由基本图形平移2次得到，图⑤由基本图形“箭头旋转2次得到，每次旋转120°，故可作出选择. 【详解】(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是①④， (2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是②⑤， (3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是③， 【点睛】此题主要考查旋转与平移的应用. 一、单选题 1．点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，即可得答案． 【详解】解：∵一个点关于原点的对称点的坐标特点为，横纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标是， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别等知识点，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中三角形旋转的规律问题，根据旋转的概率，即可得出每旋转次一个循环，进而得到第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，掌握旋转的规律是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时，点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； ； ∴每旋转次一个循环， ∴第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，为； 故选：． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 6．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C、与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D、与是对应线段， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 7．下列说法中错误的是（   ） A．位于第三象限 B．在x轴上的点的纵坐标为0 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 【答案】A 【分析】根据点的坐标特征判断各选项正误.解答即可； 本题考查了坐标的特征，点的对称，点到坐标轴的距离，熟练掌握坐标的特点是解题的关键 【详解】解：A、∵ 点的纵坐标，当时，纵坐标为0，点在x轴上，不在第三象限， ∴ A错误. B、∵ x轴上的点纵坐标为0， ∴ B正确. C、∵ 点与点关于原点对称， ∴ ，， ∴ ，，， ∴ C正确. D、∵ 点到x轴的距离为， ∴ ，， ∴ D正确 故选：A. 8．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 9．如图，将绕点按逆时针方向旋转80°，得到，连接，若，的度数为（    ） A．20° B．30° C．25° D．35° 【答案】B 【分析】由旋转的性质可知，，即可求出．再由平行线的性质可知，最后由，即可求出的大小． 【详解】∵是由绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 10．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能通过计算发现从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出所得直角三角形的顶点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 三角形①的直角顶点坐标为， 过点M作x轴的垂线，垂足为N， 因为点、， 所以该直角三角形的斜边长为：， 则， 解得， 所以， 则点M的坐标为， 即三角形②的直角顶点坐标为， 依次类推，三角形③的直角顶点坐标为，三角形④的直角顶点坐标为， 三角形⑤的直角顶点坐标为，三角形⑥的直角顶点坐标为，…， 由此可见，从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环． 又因为余1， 所以三角形⑩直角顶点的横坐标为：，纵坐标为0， 所以三角形⑩的直角顶点的坐标为． 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点是， 故答案为：． 12．在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等5个图形，画面朝下随意放在桌面上，小明随机抽一张卡片，抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ____． 【答案】 【分析】本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 先判断出等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：在这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：菱形、矩形共2个， 张卡片上的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是． 故答案为：． 13．若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，熟知关于原点对称的点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 14．五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ________________． 【答案】 【分析】由四张背面完全相同的卡片上，正面分别是等边三角形、平行四边形、菱形、圆，不是中心对称图形的是直角三角形、等边三角形，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵四张背面完全相同的卡片上，正面分别是直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，不是中心对称图形的是直角三角形，等边三角形， ∴从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用以及中心对称图形．注意掌握中心对称图形的定义是解此题的关键． 15．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 16．已知点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为___________； 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用旋转的性质可得，，然后利用平角定义可得，从而利用同角的余角相等可得，进而可得，最后利用全等三角形的性质可得，，即可解答． 【详解】解：如图：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，   ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ()， ， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．等腰Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣，0），点C在原点，AB＝BC．把Rt△ABC沿x轴正半轴绕三角形右边顶点作顺时针旋转，第一次旋转到位置①，第二次旋转到位置②…依此规律，第8次旋转后B的对应点的横坐标是 ___． 【答案】5+ 【分析】由题意，第一次B1（1，0），第二次B2（1，0），第三次B3（2+，），…，3次一个循环，8÷3=2…2，推出第8次纵坐标与B2相同，纵坐标为0，求出B8的横坐标即可． 【详解】解：由题意，第一次B1（1，0），第二次B2（1，0），第三次B3（2+，），…，每3次一个循环， 8÷3=2…2， 第8次纵坐标与B2相同，纵坐标为0，横坐标为2（2+）+2×+1=5+2， 故答案为：5+2． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________． 【答案】（-2,0） 【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意得： 点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），， ∴每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0）， 故答案为：（-2,0）． 【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键． 三、解答题 19．如图，把绕点逆时针旋转，得到在，点恰好落在边上，连接，求的度数． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得∠BABʹ=40°，AB=ABʹ，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵把绕点逆时针旋转，得到在， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，A，B，C的坐标分别是（﹣2，3），（﹣1，1），（0，2）． （1）作△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）图见解析，（2，﹣3）；（2）． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据所作图形得出点A1坐标； （2）利用割补法即可求△ABC的面积． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； 点A1的坐标为（2，﹣3）； （2）△ABC的面积＝2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣1×2＝． 【点睛】本题考查基本作图-中心对称图形、三角形的面积公式，熟练掌握中心对称图形的性质，会利用网格特点个割补法求解图形面积是解答的关键． 21．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．    (1)按下列要求画图：将绕点顺时针旋转； (2)计算的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)1 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、旋转后的对应点、，从而得到； （2）利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：所作图形如下所示：    （2）解：由图可知：的面积． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 22．如图，    (1)不用量角器，在方格纸中画出绕点顺时针方向旋转后得到的． (2)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图，三角形面积公式，画旋转图形； （1）绕点B顺时针方向旋转90°，找到A，C的对应点，连线即可． （2）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）如图所示：即为所求    （2）如图所示，连接    四边形的面积为， 故答案为：． 23．已知，且它们都是等腰直角三角形，． (1)如图1，当点D在边上时，连接并延长交于点F，则 ．（直接填空） (2)绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接并延长交于点F． ①求证：；    ②求证：点F为中点． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据，可得，从而得到，再由，即可求解； （2）①根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证；②过点E作交BF延长线于G，可得到，再由，可得，从而得到，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 故答案为： （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点E作交BF延长线于G， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 图形的旋转与简单的图案设计（知识详解+24典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转及其相关概念 旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 旋转的“三要素”: ①旋转中心：如点O； ②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠ AOD，∠ BOE， ∠ COF 旋转中的 对应元素 对应点 点A 与点D，点B 与点E，  点C 与点F  △ ABC 绕点O 按顺时针方向旋转一定角度得到△ DEF 对应线段 AB 与DE，AC 与DF，BC  与EF  对应角 ∠ BAC 与 ∠ EDF，∠ ABC 与∠ DEF，∠ ACB 与∠ DFE  【知识点02】旋转的性质 1. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。 2. 旋转的性质的作用 (1)可以用来判断线段或角是否相等 . (2)可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小 . (3)可以用来确定旋转中心 . 【知识点03】旋转画图 1.画图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转相同的角度。 2. 旋转画图的一般步骤 【知识点04】中心对称 1. 定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心。在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点。 2. 中心对称与轴对称的关系 项目 中心对称 轴对称 区别 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转 180° 图形沿对称轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 相同点  都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 【知识点05】中心对称的性质 1. 中心对称的性质  成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心。 方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 【知识点06】画成中心对称的图形 根据中心对称的性质画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤： 特别解读 简记为： 连线并延长，截线段，顺次连接。 【知识点07】中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。 2.中心对称与中心对称图形的区别和联系 项目 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的 (位置)关系； (3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对称点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【知识点08】图案的形成 1.图案的形成 分析图案的形成过程时，要认真观察整个图案，从中找出基本图形，从基本图形的大小、形状、位置、距离等方面加以分析，确定由基本图形得到整个图案的变换方式 。 2.常见的形成图案类型有 （1）平移变换； （2）旋转变换； （3）轴对称变换； （4）旋转变换与平移变换的组合； （5）旋转变换与轴对称变换的组合； （6）轴对称变换与平移变换的组合。 【知识点09】图案设计 1. 图案设计的思路 设计出基本图形后，利用平移、轴对称和旋转进行图案设计 。 2. 图案设计的步骤 (1) 明确设计意图； (2) 确定图案的形状和基本图形； (3) 构思图案的形成过程，即分析图案是由基本图形经过怎样的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，再作出图案 . 【题型一】判断生活中的旋转现象 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 变式1．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 变式2．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 例2．（24-25八年级下·山西运城·期中）打乒乓球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知和中，，，，，； (1)请说明的理由； (2)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (3)求的度数． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 例3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是______． 变式2．（24-25八年级下·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示， (1)请画出向右平移5个单位后得到的． (2)经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 【题型四】旋转的性质及辨析 例4．（2023·陕西西安·一模）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（1）是圆O的任意一条半径，将绕点O按同一方向连续旋转三次，每次旋转，依次得到半径，它们将圆分成四部分，这四部分的形状和大小有什么关系？ （2）如图，A为圆周上一点，O为圆心，将曲线绕点O按同一方向连续旋转三次，每次旋转，这样得到的四条曲线将圆分成了四部分，这四部分的形状和大小又有什么关系？你能利用旋转的有关知识进行说明吗？ 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 例5．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 变式2．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【题型六】画旋转图形 例6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，将该图按逆时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，点O，A，B都在正方形网格的格点上，点A，B的旋转后对应点A'，B'也在格点上，请描述变换的过程．_____． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在平面直角坐标系中将该图形绕原点顺时针依次旋转，，，并画出它在各象限内的图形． 【题型七】求绕原点旋转90度的点的坐标 例7．（24-25八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 【题型八】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 例8．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，点、、的对应点分别为点、、； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【题型九】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 例9．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2）．若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为（      ） A．（1，1） B．（2，2） C．（－1，－1） D．（－2，－2） 变式1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为__________． 变式2．如图，已知坐标系中的．    (1)将绕O顺时针旋转得； (2)直接写出各顶点的坐标． 【题型十】坐标与旋转规律问题 例10．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为________． 【题型十一】线段问题(旋转综合题) 例11．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转90°，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为________． 变式2．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图，你能绕着点使线段和重合吗？为什么？ （2）小明认为利用学习过的旋转和平移的知识，进行两种变换可以使线段和重合你知道他是怎么做的吗？请结合图形描述他的变换过程．    【题型十二】角度问题(旋转综合题) 例12．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式1．【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 变式2．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【题型十三】其他问题(旋转综合题) 例13．（22-23八年级下·江苏南京·月考）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 变式1．（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【题型十四】成中心对称 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 变式2．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【题型十五】画已知图形关于某点对称的图形 例15．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形网格中已画出了一个四边形和两个三角形，并给定了点．请你画出与这三个图形关于点成中心对称的图形． 【题型十六】画两个图形的对称中心 例16．（2025·河北邯郸·二模）如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 变式2．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【题型十七】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例17．（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 【题型十八】中心对称图形的识别 例18．（2026八年级下·湖北荆州·专题练习）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国探月C．中国火箭 D．中国行星探测 变式1．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在中，，，若扇形与扇形关于点成中心对称，则图中阴影部分的面积为________． 变式2．如图，O是的对称中心．这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形． 【题型十九】判断中心对称图形的对称中心 例19．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，和关于点O成中心对称．找出它们的对称中心点O． 【题型二十】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例20．（2025·江苏苏州·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【题型二十一】中心对称图形规律问题 例21．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【题型二十二】求关于原点对称的点的坐标 例22．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为______． 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请在图中画出； (2)点A关于原点中心对称的点的坐标为______． 【题型二十三】已知两点关于原点对称求参数 例23．（24-25八年级下·江苏南通·月考）若与点关于原点对称，则的值是（　　） A．12 B． C．64 D． 变式1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点与点关于原点对称，求的值． 【题型二十四】利用旋转设计图案 例24．由基本图案1得到图案2的方法是 (   ) A．旋转和平移 B．中心对称和轴对称 C．平移和轴对称 D．中心对称 变式1．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号) (1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是__; (2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是__; (3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是__. 一、单选题 1．点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 7．下列说法中错误的是（   ） A．位于第三象限 B．在x轴上的点的纵坐标为0 C．点和点关于原点对称，则的值为1 D．点到x轴的距离为3，则 8．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，将绕点按逆时针方向旋转80°，得到，连接，若，的度数为（    ） A．20° B．30° C．25° D．35° 10．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________． 12．在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等5个图形，画面朝下随意放在桌面上，小明随机抽一张卡片，抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ____． 13．若点与点关于原点对称，则______． 14．五张背面完全相同的卡片上，正面分别画有直角三角形，等边三角形，平行四边形，菱形，圆，现将五张卡片背面朝上洗均匀，从中任意抽取一张，卡片正面上所画图形恰好不是中心对称图形的概率是 ________________． 15．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 16．已知点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为___________； 17．等腰Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣，0），点C在原点，AB＝BC．把Rt△ABC沿x轴正半轴绕三角形右边顶点作顺时针旋转，第一次旋转到位置①，第二次旋转到位置②…依此规律，第8次旋转后B的对应点的横坐标是 ___． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________． 三、解答题 19．如图，把绕点逆时针旋转，得到在，点恰好落在边上，连接，求的度数． 20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，A，B，C的坐标分别是（﹣2，3），（﹣1，1），（0，2）． （1）作△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求△ABC的面积． 21．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．    (1)按下列要求画图：将绕点顺时针旋转； (2)计算的面积． 22．如图，    (1)不用量角器，在方格纸中画出绕点顺时针方向旋转后得到的． (2)四边形的面积为______． 23．已知，且它们都是等腰直角三角形，． (1)如图1，当点D在边上时，连接并延长交于点F，则 ．（直接填空） (2)绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接并延长交于点F． ①求证：；    ②求证：点F为中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $