第01讲 几何图形初步与平行线（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦几何图形初步、平行线、三角形三大核心模块，严格对标中考考情，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”系统架构，通过真题（如成都中考三视图、平行线性质题）梳理考点，结合思维导图构建知识网络，分层练习覆盖基础到全国新趋势，助力学生突破难点。 亮点在于跨学科综合（如物理折射、日晷模型）和动态问题（翻折、旋转角度）设计，培养数学眼光与思维。例如“翻折中的角度问题”通过矩形折叠例题，引导学生用几何直观分析，结合三角形内角和解决。分层练习配合限时测试，教师可精准把控节奏，有效提升学生应考能力。

第四章 三角形 第01讲 几何图形初步与平行线 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 几何图形的初步 题型01 三视图的相关辨析 题型02 三视图推断几何体的个数（含最值） 题型03 几何体的展开图 题型04 截面与旋转体相关问题 题型05 七巧板的相关计算 题型06 余角和补角等角度相关性质 命题点二 平行线的性质与判定 题型01 平行线性质的相关计算 题型02 平行线的判定 题型03 平行线的性质与判定综合证明 命题点三 三角形的相关概念 题型01 三角形的三边关系 题型02 三角形的三条线段相关的计算 题型03 三角形的内角和的计算与证明 题型04 三角形外角性质的相关计算 05·重难突破·思维进阶难 38 突破一 平行线的性质与跨学科综合 突破二 翻折中的角度问题 突破三 旋转中的角度问题 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 几何图形初步 成都卷 T2 （三视图） 成都卷 T2 （三视图） 成都卷 T20 （三视图） 识别常见几何体，掌握三视图识别，会判断正方体展开图与相对面，侧重空间直观感知，不考复杂作图、表面积和体积计算。 相交线与平行线 成都卷T17（1） （平行线的判定） 成都卷 T8 （平行线的性质） 成都卷T17（1） （平行线的性质） 掌握角的换算、余补角、对顶角、角平分线、垂直的定义与性质，能完成基础角度计算，仅作为几何基础工具，不考复杂证明。识别三线八角，掌握平行公理、判定与性质，能进行简单推理和角度计算，会处理基础拐点题型，弱化复杂逻辑证明。 三角形的相关概念（边与角） 成都卷 T25 （内角和） 成都卷 T20 （内角和） 成都卷 T22 （外角性质） 用三边关系判断三角形构成、求边长取值范围；掌握三角形的重要线段相关概念与计算；结合内角和、外角性质做角度推理计算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查几何图形初步、平行线的性质与判定、三角形的相关概念，分值在10分左右。几何图形初步主要考查三视图及相关计算；平行线的性质与判定近年很少单独命题，主要和其他知识点（如：特殊平行四边形、圆的相关计算与证明中）一起考查；三角形的相关概念中主要考查三角形的内角和/外角的性质的相关运算或和其他几何综合问题结合考查。 考点一 几何图形的初步 1.几何图形分类 平面图形：所有点都在同一平面内的图形，例如线段、角、三角形、矩形、圆等。 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何体，例如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。 2.三视图 定义：从正面看得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三者统称为三视图。 三视图投影规则：长对正、高平齐、宽相等，是判断三视图、还原几何体的核心依据。 考查形式：判断几何体的三视图（成都中考高频）、根据三视图推断组成几何体的小正方体最少或最多数量。 3.立体图形的展开图 正方体展开图：正方体共有11 种标准展开图。 4.角的定义：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 5.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）°；1周角=2平角=4直角=360°。 6.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角。 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角。 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．故选：C． 2．（2025·成都·二模）如图所示的几何体，从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从左面看，可得选项B的图形．故选：B． 3．（2025·四川成都·校考一模）如图，是初三数学老师制作的正方体盒子的平面展开图，每个面上都写有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“祝”字相对的面上的字是（    ） A．一 B．诊 C．顺 D．利 【答案】C 【详解】解：由展开图可知，“预”与“一”相对，“祝”和“顺”相对，“诊”和“利”相对，故选：C． 4．（2025·成都·模拟预测）《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：设⑤的面积为， 结合七巧板的特点得各个面积的情况如图所示： 依题意，，解得， ∴“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块即①的面积为8，∴边长为故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB异侧，．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【详解】解： 故答案为： 6．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短．故选：A 考点二 平行线的性质与判定 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示。 2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行。 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行。 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行。 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行。 6.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫这两条平行线之间的距离。 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等。 1．（2025·四川成都·一模）已知直线，将含有的直角三角尺按如图方式放置（），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意可知，， ，， ，，， ．故选：A． 2．（2025·四川成都·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 又，，故选：B． 3．（2025·四川成都·二模）如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵已知物和像都与主光轴垂直，， ∴，∴，故选：D． 考点三 三角形的相关概念（边与角） 1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。 2.三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）作用：①判断三条能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。 3.三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4.三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 1．（24-25九年级上·成都·期末）剑邑大桥是一座沟通丰城赣江南北、贯通全市河东河西，实现赣江两岸联通，促进城乡体化梦想的桥梁．剑邑大桥是一座斜拉索桥，斜拉索大桥中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性． 2．（2025·成都·校考二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，∵∴∴∴段的长可能为．故选：D． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 又平分，．故选：B． 4．（2025·四川成都·校考一模）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝9，则图中阴影部分△CEF的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵E为AD的中点，∴S△BEC＝S△ABC＝， 又∵F为BE的中点，∴S△EFC＝S△BEC＝．故答案为：． 5．（2025·四川成都·校考二模）如图，在中，点D在边上，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，故答案为：． 命题点一 几何图形的初步 ►题型01 三视图的相关辨析 【典例】1．（2024·四川成都·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【详解】A、三棱锥的三视图均为三角形（或由三角形组成的图形），不存在正方形，此选项不符合题意； B三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面边长相等且垂直底面）的正视图为中间有虚线（表示看不见的侧棱）的正方形，左视图为正方形，俯视图为等边三角形，与题目给出的三视图完全匹配，此选项符合题意； C、圆柱的俯视图为圆形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； D、长方体的俯视图为矩形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从正面看是长方形，从上面看是圆，从左面看是长方形，不合题意； B、从正面看是两个长方形，从上面看是三角形，从左面看是长方形，不合题意； C、从正面、上面、左面观察都是圆，符合题意； D、从正面看是三个长方形，从上面看是六边形，从左面看是两个长方形，不合题意．故选：C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看，得到的平面图形如图所示：故选：A． 【变式】3．（2025·成都·二模）如图，该几何体从左面看得到的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从左面看，可得选项D的图形．故选：D． ►题型02 三视图推断几何体的个数（含最值） 【典例】1．（2025·成都·校考一模）从正面，左面，上面观察由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图（如图所示），则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：从正面看左边第一列两个正方体，第二列有一个正方体；从左面来看，左边第一列两个正方体，第二列有一个正方体；说明从上面来看时，后面有两个正方体，前面一排各有一个，所以此几何体共有四个正方体，故选：． 【典例】2．（2023·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【答案】 【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，    ∴搭成这个几何体的小立方块最多有，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·二模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由所给的主视图和左视图可知： 搭成这个几何体的小正方体的个数最少个，故选：． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的形状图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为 个． 【答案】7 【详解】解：从上面看到的形状图确定最底层有5个小正方体， 从正面的形状图得出第二层最多有个小正方体，∴（个）故答案为：7 ►题型03 几何体的展开图 【典例】1．（2025·成都·三模）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（    ）．    A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【详解】解：如图，共有2种不同的选法：  故选C． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）下列是正方体展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、会有两个面重合，故不符合题意； B、无法折成正方体，故不符合题意；C、会有两个面重合，故不符合题意； D、根据正方体的展开图可得能折成正方体，故符合题意。故选：D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是 ． 【答案】亮 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“想”字所在面相对的面上的汉字是亮． 故答案为：亮． 【变式】3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意；故选：B ►题型04 截面与旋转体相关问题 【典例】1．（2025·四川成都·一模）用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用一个平面去截棱柱，截面可能是矩形．故选A． 【典例】2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，以直线为轴，将边长为的正方形旋转一周，所得一个几何体．这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体，该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两邻边长分别为和，故矩形的面积为．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y= ． 【答案】 【详解】解：由题意得，=化简得：， ∴y与x的函数关系式为：，故答案为：． ►题型05 七巧板的相关计算 【典例】1．（2025·成都·二模）七巧板由我国宋代“燕几图”演变而来，是一种古老的传统拼图玩具．小凯用一个边长为4的正方形制作了一副七巧板（如图①），并用这副七巧板拼成如图②所示的“企鹅”，则图②中的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H， 由七巧板的特点可知，，，∴， 在中，， ∴，∴，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·一模）将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中的长为 ．     【答案】 【详解】解：如图所示：根据题意得，为等腰直角三角形， ∴，∴，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为 ． 【答案】 【详解】解：设“东方魔板”的边长为，则“东方魔板”的面积为， ，， 在中，，，， 如下图所示，过点作，则，， 又，，，，， 在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为．故答案为： ►题型06 余角和补角等角度相关性质 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴， ∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 【典例】2．（2025·成都·一模）如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，故选：． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，直线相交于点O，，垂足为点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，， ，．故选：B ． 【变式】2．（2025·成都·二模）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 【答案】A 【详解】解：由题意得，“”表示邻补角的定义，“”表示同角的补角相等，故选：A． 【变式】3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故答案为：． 命题点二 平行线的性质与判定 ►题型01 平行线性质的相关计算 【典例】1．（2025·成都·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作， ∵，∴，， ，∴； 方案Ⅱ：如图3，延长交于点F，∵，， ，∴，∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行．故选D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图形（图2），对同桌说：“如图，若，且，则的度数为（   ）” A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于F，如图所示： 由题意得，，∴， ∵，∴，∴，故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点P作，∵，∴， ∴，∵，∴； ∵，∴，∴，故选：D． 【变式】2．（2025·成都·二模）划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴，故选：A． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选D． ►题型02 平行线的判定 【典例】1．（2025·成都·二模）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当，，故不符合题意；故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、∵，标记，如解图所示， 则．∴．∴（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； C、∵．，∴，不能判定，故不符合题意； D、∵，∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意；故选：D． 【变式】2．（2025·成都·一模）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中三角板的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径，．下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，故A不符合题意； ，，，，故B不符合题意； 由不能得出，故C符合题意； ，，故D不符合题意；故选：C． 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不能判断； ③，不能判断； ④∵，，∴， 根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；综上，能判断的是①④，故选：C． ►题型03 平行线的性质与判定综合证明 【典例】1．（2025·成都·校考一模）如图，在中，，点D在的延长线上． (1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：    则即为所求． （2）证明：∵，∴， ∵的平分线，∴ ∵，， ∴，∴． 【变式】1．（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形中，已知平分的延长线交的延长线于． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知直线，线段位于之间，点H，M在上，点F，N在上，与交于点P，且． (1)将的说理过程补充完整，并在括号内填写理论依据； 理由：∵ （____________），， ∴________，∴（____________）； (2)平移到的位置，若，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等；；内错角相等，两直线平行(2) 【详解】（1）解；理由：∵（对顶角相等），， ∴，∴（内错角相等，两直线平行）； （2）解：由平移的性质可得，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴． ∵，∴，∴． （2）解：∵，，∴．     ∵，∴．∴ 命题点三 三角形的相关概念 ►题型01 三角形的三边关系 【典例】1．（2025·成都·二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个三角形的第三边长为，则，即， 选项C中的满足条件，故选：C． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【答案】C 【详解】A.∵，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B.∵，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C.∵，，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D.∵，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C. 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，即．故选：A． 【变式】3．（2025·成都·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【答案】D 【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长；根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长； 综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q；故选：D． ►题型02 三角形的三条线段相关的计算 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴点D即为的中点，∴，故答案为：4． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 【答案】 【详解】解：由作图知：，∵，，∴， ∴，∴．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】（3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】（5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】解：（1）在中，，∴， ∵，分别平分和，∴，， ∴，∴； （2）猜想：，理由如下：在中，， ∵，分别平分和，∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下：∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点，∵，，由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，，∵，， ∴，， ∴，∴； （6）∵，结合折叠，∴，， ∴， ∵平分，平分，由（2）得：． 【变式】3．（2025·成都·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴；故答案为：； （2）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴；故答案为：； （3）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴； 【变式】4．（2025·成都·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1)见解析(2)①2；②见解析 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）①解：∵、、分别是的三条中线，∴，，， ∵，∴，， ∴，∴，同理可得，， ∴，∴；故答案为：2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，，、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为;， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． ►题型03 三角形的内角和的计算与证明 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（    ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线l位置的改变而改变 【答案】C 【详解】解：∵，直线l与，都相交（不经过点O）， ∴的度数之和，故选：C 【典例】2．（2025·成都·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案，方案一：测量出和的度数；方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点，则与所在直线的夹角为， 方案一：测量出和的度数，则与所在直线的夹角，故方案一正确； 方案二：测量出和的度数，可得，则与所在直线的夹角，故方案二正确；故选：A． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，梯形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，，， ，，，故选：A． 【变式】2．（2025·成都·二模）刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设点O是内弧所在圆的圆心，连接， 由题意得，，∵， ∴， ∴，故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，， ∴．故选：C． ►题型04 三角形外角性质的相关计算 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故选：A． 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，一副三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：和是一副三角板，，，，， ，，，故选：． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）如图，直线，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选：C． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为：． 突破一 平行线的性质与跨学科综合 【典例】（2025·成都·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶如图所示，由题意可知，指针交底座于点，，底座于相切于点，， ∵于相切于点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，即晷针与底座所成角为，故选∶ A． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，，，， ， ，，故选：B． 【变式】2．（2025·成都·二模）一束平行于主光轴的光线射向凹透镜．点均为凹透镜的焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【详解】解：，， ，，，故答案为：． 突破二 翻折中的角度问题 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，将矩形纸片沿折叠后，点C，D分别落在点，，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， 在矩形中，，，， 由折叠的性质可知﹐， ，故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得， ，根据折叠可得，， 在中，，即，∴甲、乙的说法都正确，故选：A． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．已知，，那么等于 ．    【答案】 【详解】解：根据折叠的性质可得，， ∵，，∴．∴， ∴．∴．故答案为：． 突破三 旋转中的角度问题 【典例】（2025·四川成都·一模）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角 °． 【答案】45 【详解】解：令与的交点为，∵，∴， 又∵，∴．故答案为：45． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板固定不动，三角板绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角，如图所示，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在，，，，，，这七个度数中是的度数的概率为 ． 【答案】 【详解】解：逆时针运动时有两种情况：第一种情况为：如图1：使,垂足为． ∵是等腰直角三角形，，∴平分， ∴，∴． 此时三角板绕直角顶点O按逆时针方向角度为符合题意． 第二种情况为：如图2：，垂足为．∴． ∵为直角三角形，，∴，∴． ∵，∴． 此时三角板绕直角顶点O按逆时针方向角度为符合题意． 顺时针旋转由三种情况：第一种情况：如图3：，垂足为．∴， ∵为直角三角形，，∴，∴ 此时三角板绕直角顶点O按顺时针方向角度为符合题意． ∵∴ 第二种情况为：，垂足为．∴ ∵是等腰直角三角形，，∴∴． 此时三角板绕直角顶点O按顺时针方向角度为符合题意． ∵为直角三角形，，∴． 第三种情况为：如图5：，垂足为．∴ ∵为等腰直角三角形，，，∴， ∵是直角三角形，，， ∴，∴， 此时三角板绕直角顶点O按顺时针方向角度为符合题意． ∴． 综上所述：三角板绕直角顶点O按逆时针或顺时针方向任意转动一个角度时，所的度数分别为、、、、． ∴在，，，，，，这七个度数中是的度数出现的可能为5种， ∴的度数的概率为．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图所示，在中，已知，，点在边上，将绕点按顺时针旋转后，当点恰好落在初始的边所在直线上时，那么 ． 【答案】100° 【详解】解：如图，∵将△ABC绕点D按顺时针旋转a(0<a<180°)后，当点B恰好落在初始Rt△ABC的边AB所在直线上时，∴，∴a=180°-40°-40°=100° ，故答案为：100°． 1．（2025·成都·模拟预测）由五个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看这个几何体看到的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：从上面看，所形成的图形第一行是个相邻的小正方形，第二行中间是一个小正方形， 故选：C． 2．（2025·四川成都·二模）如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵，，∴，∴故选：B． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵平分，∴， ∵，∴．故选：B． 4．（2025·成都·二模）如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，， ∴，，∴，故选：D． 5．（2025·四川成都·二模）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中，，，与相交于点，若，则的大小是（    ） A．75° B．90° C．105° D．120° 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 6．（2025·成都·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到，，， 又，， ，，故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确，故选：D． 7．（2025·成都·三模）如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（ ） A．线段的长度存在最小值 B．线段的长度存在最大值 C．的度数存在最大值 D．的度数存在最大值 【答案】A 【详解】解：作于点， ，线段的长度的最小值为线段的长度，但线段的长度不存在最大值， 故A符合题意，B不符合题意； 点在直线上移动，的度数不存在最大值，的度数不存在最大值， 故C不符合题意，D不符合题意，故选：A． 8．（2025·成都·模拟预测）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程： 证明：如图，， ．（ ① ） ， ．（ ② ） ．（ ③ ） ．（ ④ ） 现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（   ） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 【答案】A 【详解】解：证明：如图，，．（两直线平行，同位角相等） ，．（垂直的定义）．（等式的基本事实） ．（垂直的定义）综上可知，A不正确，故选：A 9．（2025·成都·三模）如图为七巧板拼成的一个正方形，其边长为，若由其中的六块拼成一个矩形，其周长为整数，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【详解】∵一个正方形的边长为，∴正方形的面积为， 结合七巧板，各图形的面积由大到小分别为2，2，1，1，1，，， ∴或或 则六块拼成的矩形的面积为或7或6，∵其周长为整数，∴面积为6，如图所示： 10．（2025·四川成都·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠CAD=30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AD， 在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AC=6，∴CD=AC=3，故答案为：3． 11．（2025·四川成都·二模）在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 【答案】36°/36度 【详解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，∴∠C=90°−∠B=54°， ∵AD是斜边BC边上的中线，∴AD=BD=CD， ∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，∴∠ADC=180°−∠DAC−∠C=72°， ∵将△ACD沿AD对折，使C落在F处，∴∠ADC=∠ADF=72°， ∴∠BDE=180°−∠ADC−∠ADF=36°，故答案为36°． 12．（2025·成都·二模）阅读与思考：下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务：(1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由．(2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法）。 【答案】(1)；四边形是等垂四边形，见解析(2)见解析 【详解】（1）解： ； ，，， ，， ，故答案为：； 四边形是等垂四边形， 理由如下： ，，分别平分，， ，，， ，，即． 又，四边形是等垂四边形． （2）如图，四边形即为所求作的等垂四边形． 过A点，作，与交于D点． 1．（2025·成都·模拟预测）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ，， ，，， ，故选：B． 2．（2025·四川成都·二模）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，，，如图，过G点作， ，，，， 又，．故选：B． 3．（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心，，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心，如图， ∵，， ∵是的内心，， ，，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误．故选：D． 4．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴，∴，，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即，，，又，，，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即，解得：，不符合题意，舍去，，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即，，， 又，的最小值为，即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意；故选：A． 5．（2025·成都·模拟预测）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 【答案】 7 9 【详解】解：从上面看，底层有5个正方体，从正面看，第二层最少有2个正方体， ∴搭成这样的几何体至少需要个小正方体；从正面看，第二层最多有4个小正方体， ∴搭成这样的几何体最多需要个小正方体．故答案为：7，9． 6．（2025·成都·二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)不是的“等积线”，理由见解析 【详解】（1）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，，∴，∴为过点的“等积线”； （2）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，，∴，， ∵，∴为过点的“等积线”； （3）解：不是的“等积线”，理由如下．连接，， ∵，∵，∴， ∵为中点，∴， ∵，∴，∴不是的“等积线”． 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，，， ，，， ，，，故选：B． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短；故选C． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点在直线上，， ， ，，．故选B． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 【答案】C 【详解】解：与“钒”字相对面上的字是：之，故选：C． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，故选：A． 6．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；故选：C． 7．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，，∴． ∴．故选：D． 8．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作， ∵，∴，∴，， ∴．故选：D． 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意；故选：C． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【详解】解：由题意得，根据内错角相等，两直线平行可得．故选：B． 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【详解】解：∵，∴（同位角相等，两直线平行）； ∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵，∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 11．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：设腰长为，底长为，则，∴． 根据三角形三边的关系可知，，解得：， 又，即，解得：，∴，故答案为：5（答案不唯一）。 12．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：；(2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析(2)的度数为． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）解：由（1）得，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴的度数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第01讲 几何图形初步与平行线 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 几何图形的初步 题型01 三视图的相关辨析 题型02 三视图推断几何体的个数（含最值） 题型03 几何体的展开图 题型04 截面与旋转体相关问题 题型05 七巧板的相关计算 题型06 余角和补角等角度相关性质 命题点二 平行线的性质与判定 题型01 平行线性质的相关计算 题型02 平行线的判定 题型03 平行线的性质与判定综合证明 命题点三 三角形的相关概念 题型01 三角形的三边关系 题型02 三角形的三条线段相关的计算 题型03 三角形的内角和的计算与证明 题型04 三角形外角性质的相关计算 05·重难突破·思维进阶难 38 突破一 平行线的性质与跨学科综合 突破二 翻折中的角度问题 突破三 旋转中的角度问题 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 几何图形初步 成都卷 T2 （三视图） 成都卷 T2 （三视图） 成都卷 T20 （三视图） 识别常见几何体，掌握三视图识别，会判断正方体展开图与相对面，侧重空间直观感知，不考复杂作图、表面积和体积计算。 相交线与平行线 成都卷T17（1） （平行线的判定） 成都卷 T8 （平行线的性质） 成都卷T17（1） （平行线的性质） 掌握角的换算、余补角、对顶角、角平分线、垂直的定义与性质，能完成基础角度计算，仅作为几何基础工具，不考复杂证明。识别三线八角，掌握平行公理、判定与性质，能进行简单推理和角度计算，会处理基础拐点题型，弱化复杂逻辑证明。 三角形的相关概念（边与角） 成都卷 T25 （内角和） 成都卷 T20 （内角和） 成都卷 T22 （外角性质） 用三边关系判断三角形构成、求边长取值范围；掌握三角形的重要线段相关概念与计算；结合内角和、外角性质做角度推理计算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查几何图形初步、平行线的性质与判定、三角形的相关概念，分值在10分左右。几何图形初步主要考查三视图及相关计算；平行线的性质与判定近年很少单独命题，主要和其他知识点（如：特殊平行四边形、圆的相关计算与证明中）一起考查；三角形的相关概念中主要考查三角形的内角和/外角的性质的相关运算或和其他几何综合问题结合考查。 考点一 几何图形的初步 1.几何图形分类 平面图形：所有点都在同一平面内的图形，例如线段、角、三角形、矩形、圆等。 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何体，例如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。 2.三视图 定义：从正面看得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三者统称为三视图。 三视图投影规则：长对正、高平齐、宽相等，是判断三视图、还原几何体的核心依据。 考查形式：判断几何体的三视图（成都中考高频）、根据三视图推断组成几何体的小正方体最少或最多数量。 3.立体图形的展开图 正方体展开图：正方体共有11 种标准展开图。 4.角的定义：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 5.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）°；1周角=2平角=4直角=360°。 6.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角。 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角。 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·二模）如图所示的几何体，从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·校考一模）如图，是初三数学老师制作的正方体盒子的平面展开图，每个面上都写有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“祝”字相对的面上的字是（    ） A．一 B．诊 C．顺 D．利 4．（2025·成都·模拟预测）《冷庐杂识》中有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”、“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是64，那么“蝴蝶”上带有阴影的正方形板块边长为 ． 5．（2025·四川成都·二模）如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB异侧，．若，则的度数为 ． 6．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 考点二 平行线的性质与判定 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示。 2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行。 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行。 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行。 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行。 6.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫这两条平行线之间的距离。 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等。 1．（2025·四川成都·一模）已知直线，将含有的直角三角尺按如图方式放置（），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点三 三角形的相关概念（边与角） 1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。 2.三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）作用：①判断三条能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。 3.三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4.三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 1．（24-25九年级上·成都·期末）剑邑大桥是一座沟通丰城赣江南北、贯通全市河东河西，实现赣江两岸联通，促进城乡体化梦想的桥梁．剑邑大桥是一座斜拉索桥，斜拉索大桥中运用的数学原理是 ． 2．（2025·成都·校考二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·校考一模）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝9，则图中阴影部分△CEF的面积是 ． 5．（2025·四川成都·校考二模）如图，在中，点D在边上，若，，则 ． 命题点一 几何图形的初步 ►题型01 三视图的相关辨析 【典例】1．（2024·四川成都·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·二模）如图，该几何体从左面看得到的图形为（    ） A． B． C． D． ►题型02 三视图推断几何体的个数（含最值） 【典例】1．（2025·成都·校考一模）从正面，左面，上面观察由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图（如图所示），则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例】2．（2023·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【变式】1．（2025·成都·二模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的形状图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为 个． ►题型03 几何体的展开图 【典例】1．（2025·成都·三模）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（    ）．    A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）下列是正方体展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是 ． 【变式】3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． ►题型04 截面与旋转体相关问题 【典例】1．（2025·四川成都·一模）用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，以直线为轴，将边长为的正方形旋转一周，所得一个几何体．这个几何体的左视图的面积为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y= ． ►题型05 七巧板的相关计算 【典例】1．（2025·成都·二模）七巧板由我国宋代“燕几图”演变而来，是一种古老的传统拼图玩具．小凯用一个边长为4的正方形制作了一副七巧板（如图①），并用这副七巧板拼成如图②所示的“企鹅”，则图②中的长为 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中的长为 ．     【变式】2．（2025·成都·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为 ． ►题型06 余角和补角等角度相关性质 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·一模）如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，直线相交于点O，，垂足为点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 【变式】3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 命题点二 平行线的性质与判定 ►题型01 平行线性质的相关计算 【典例】1．（2025·成都·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图形（图2），对同桌说：“如图，若，且，则的度数为（   ）” A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° ►题型02 平行线的判定 【典例】1．（2025·成都·二模）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，直线c，d被直线a，b所截，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·一模）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中三角板的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径，．下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③ ►题型03 平行线的性质与判定综合证明 【典例】1．（2025·成都·校考一模）如图，在中，，点D在的延长线上． (1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)求证：． 【变式】1．（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形中，已知平分的延长线交的延长线于． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，已知直线，线段位于之间，点H，M在上，点F，N在上，与交于点P，且． (1)将的说理过程补充完整，并在括号内填写理论依据； 理由：∵ （____________），， ∴________，∴（____________）； (2)平移到的位置，若，求的度数． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，；(2)若，求的度数． 命题点三 三角形的相关概念 ►题型01 三角形的三边关系 【典例】1．（2025·成都·二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q ►题型02 三角形的三条线段相关的计算 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接，若的面积为4，则的面积为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】（3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】（5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【变式】3．（2025·成都·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【变式】4．（2025·成都·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． ►题型03 三角形的内角和的计算与证明 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（    ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线l位置的改变而改变 【典例】2．（2025·成都·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案，方案一：测量出和的度数；方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，梯形中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° ►题型04 三角形外角性质的相关计算 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，一副三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）如图，直线，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 突破一 平行线的性质与跨学科综合 【典例】（2025·成都·一模）如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬（地球球心为O，A处的纬度是指与赤道面所成角），则晷针与底座所成角为（    ）． A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）一束平行于主光轴的光线射向凹透镜．点均为凹透镜的焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若，则的大小为 ． 突破二 翻折中的角度问题 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，将矩形纸片沿折叠后，点C，D分别落在点，，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．已知，，那么等于 ．    突破三 旋转中的角度问题 【典例】（2025·四川成都·一模）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角 °． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板固定不动，三角板绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角，如图所示，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在，，，，，，这七个度数中是的度数的概率为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图所示，在中，已知，，点在边上，将绕点按顺时针旋转后，当点恰好落在初始的边所在直线上时，那么 ． 1．（2025·成都·模拟预测）由五个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看这个几何体看到的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（2025·四川成都·二模）如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·二模）如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线．已知，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中，，，与相交于点，若，则的大小是（    ） A．75° B．90° C．105° D．120° 6．（2025·成都·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·成都·三模）如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（ ） A．线段的长度存在最小值 B．线段的长度存在最大值 C．的度数存在最大值 D．的度数存在最大值 8．（2025·成都·模拟预测）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程： 证明：如图，， ．（ ① ） ， ．（ ② ） ．（ ③ ） ．（ ④ ） 现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（   ） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 9．（2025·成都·三模）如图为七巧板拼成的一个正方形，其边长为，若由其中的六块拼成一个矩形，其周长为整数，则矩形的面积为 ． 10．（2025·四川成都·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为 ． 11．（2025·四川成都·二模）在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 12．（2025·成都·二模）阅读与思考：下面是奋进小组在模拟练习过程中对已有练习试题进行的研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 背景：翻阅资料了解到一个新名词“等垂四边形”．定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． 任务：(1)如图2．如图3，已知四边形为等垂四边形，，． 在图2中，若，，则的度数为_______； 在图3中，若，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由．(2)如图4，已知锐角，请你在图中作等垂四边形．（保留作图痕迹，不写作法）。 1．（2025·成都·模拟预测）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 4．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 5．（2025·成都·模拟预测）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 6．（2025·成都·二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 5．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 11．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 12．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：；(2)求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $