精品解析：湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试卷

九年级第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 8. 近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为元，现打九折，再优惠元，那么该手机现在的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，） AI A. B. C. D. 10. 若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　） A. ﹣2＜m＜﹣1 B. ﹣1＜m＜0 C. 0＜m＜1 D. 1＜m＜2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 14. 如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为_____． 15. 圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 16. 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是_______ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． （1）连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①；②；③；④ （2）当，______； （3）若，，P为上一动点，求的最小值． 20. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________； （2）图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； （3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 21. 如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，．若，求的面积． 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的度数． 24. 我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． （1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； （2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 25. 如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． （1）填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） （2）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； （3）如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴最接近标准的是选项C足球． 2. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：6710亿． 3. 8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看 到的图形．根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 【详解】解：由题意，从上面看该图形的俯视图如下： 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，整式的除法，根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式除以单项式法则、二次根式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A. 与的指数不同，不是同类项，无法合并，故错误； B. ，选项中结果为，符号错误，故错误； C. ，选项中结果为，符号错误，故错误； D. ，运算正确． 故选：D． 5. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算出5人的总成绩，求出丙的成绩，再根据众数的定义得到众数，即可得到被遮盖的两个数据． 【详解】解：∵这5名同学的平均成绩为80， ∴丙同学的成绩为， ∵这5名同学的成绩中，成绩为80的人数最多， ∴众数为80， ∴缺失的两个数据依次为80，80． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 7. 如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】因为，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，由，可求出，再次根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆心角是圆周角的2倍等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此定理． 8. 近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为元，现打九折，再优惠元，那么该手机现在的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出代数式即可． 根据题意，先计算打九折后的价格，再减去优惠金额即可. 【详解】解：∵打九折即原价乘以， ∴折后价为元， 再优惠元， ∴现售价为元， 故选：D. 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，） AI A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正切的计算，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一可得，，在中，根据，，代入计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ． 故选：． 10. 若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　） A. ﹣2＜m＜﹣1 B. ﹣1＜m＜0 C. 0＜m＜1 D. 1＜m＜2 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵， ∴m2+2+=0， ∴m2+2=-， ∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-， 作函数图象如图， 在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-的y值随m的增大而增大， 当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-=-=2， ∵6＞2， ∴交点横坐标大于-2， 当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-=-=4， ∵3＜4， ∴交点横坐标小于-1， ∴-2＜m＜-1． 故选A． 考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】且x≠3 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，列不等式求解. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，必须 解得且x≠3． 故答案为且x≠3 12. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 【答案】-6 【解析】 【分析】将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：， 解得：． 的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设点M的坐标为：（m，2m），根据OM＝，结合勾股定理，得到关于m的一元二次方程，解之，得到点M的坐标，代入y＝，即可得到答案． 【详解】解：设点M的坐标为：（m，2m）， 根据题意得： m2+（2m）2＝，（m＞0） 解得：m＝1， 即点M的坐标为：（1，2）， 把点M（1，2）代入y＝得： k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和勾股定理是解题的关键． 15. 圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 16. 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是_______ 【答案】5 【解析】 【详解】分析：此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案． 解答：解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）； 第二步时候：左边x-2，中间x+2，右边x； 第三步时候：左边x-2，中级x+3，右边x-1； 第四步开始时候，左边有（x-2）张牌，则从中间拿走（x-2）张，则中间所剩牌数为（x+3）-（x-2）=x+3-x+2=5． 所以中间一堆牌此时有5张牌． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】原式=，当，时，原式=-4． 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简以及多项式除以单项式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． （1）连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①；②；③；④ （2）当，______； （3）若，，P为上一动点，求的最小值． 【答案】（1）④； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质： （1）连接、，证明，即可得出答案； （2）先求出，再根据全等三角形的性质得出，得出，进而得出答案； （3）过点G作于H，即为的最小值，先根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质得出，设，则，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接、， 在和中， ， ∴， 故选：④； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点G作于H，即为的最小值， ∵，，， ∴， ∵，，是的平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值． 20. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________； （2）图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； （3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40 （2） 54°，如图： （3）700人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数和所占抽样总人数的百分率，即可求出抽样总人数； （2）由A级6人，可求得A级占的百分比，继而求得∠α的度数；结合（1）计算C级的人数，继而补全统计图； （3）首先求得本次抽样测试的学生中不及格人数的百分比，再乘以九年级总人数即可估算出不及格的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：图1中的度数是； C级的人数是：（人）； 【小问3详解】 解：估计不及格的人数为（人） 故答案为：700； 【小问4详解】 解：根据题意画树形图如下： 共有12种等可能结果，选中小明的有6种， 则（选中小明） 21. 如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，．若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据题意得出，利用勾股定理求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴的面积． 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】（1）每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 （2）共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【解析】 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 点D是的中点，O是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，判断是的中位线，得到，进而推出，得到，即可证明结论； （2）连接，根据直角所对的圆周角是直角，得到，再证明，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 答：的度数为 24. 我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． （1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； （2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】（1）；， （2）①对称轴为；②过定点， （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【小问1详解】 解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； 【小问2详解】 解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． 【小问3详解】 解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 25. 如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． （1）填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） （2）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； （3）如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】（1） （2）2 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； 【小问2详解】 解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； 【小问3详解】 解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $