专题02 整式的乘法与除法（9大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

专题02 整式的乘法与除法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 题型二、计算多项式乘多项式 3 题型三、多项式除以单项式 5 题型四、整式运算中先化简再求值 7 题型五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型六、整式的乘除法与图形面积 14 题型七、多项式乘法中的规律性问题 18 题型八、整式运算中的新定义型问题 23 题型九、利用竖式的方法求整式中多项式除以多项式 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 题型二、计算多项式乘多项式 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，多项式乘以多项式运算； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键． （1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、多项式除以单项式 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）用多项式除以单项式法则计算； （2）用多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是认真计算． （1）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加法运算即可； （2）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行减法运算即可； （3）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则是解题关键． （1）用多项式除以单项式法则计算； （2）先计算括号内式子，再合并同类项，最后用多项式除以单项式法则计算； （3）先计算括号内式子，再合并同类项，最后用多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 题型四、整式运算中先化简再求值 13．（25-26八年级上·陕西延安·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项，再除以单项式进行化简，最后把，代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 当，时， 原式 ． 16．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运算多项式除以单项式，得，最后把，代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 把，代入， 得． 题型五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 17．（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 18．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）若的积中不含有x与项． (1)直接写出m、n的值，即______ _____ (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． （1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与项可以求解的值． （2）将m、n的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： ∵原式不含有x与项， ∴， 解得 故答案为：； （2）解：将代入得， ． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式， 因为 所以这种组合为消元组合，其消元余量为． 因为，结果不是常数； 所以这种组合不是消元组合． (1)若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． (2)若多项式存在消元组合，则p的值为________． (3)若多项式存在消元组合，求a与b的关系式． 【答案】(1)是消元组合，消元余量为． (2)或8或2 (3)或 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，理解题中定义，熟练掌握多项式乘法运算法则是解答的关键． （1）先求得结果，再根据题中定义可作出判断； （2）分三种情况，，求解即可； （3）分三种情况，，求解即可． 【详解】（1）解：由题意， ， 结果是常数， ∴这种组合为消元组合，其消元余量为． （2）解：分三种情况： 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 综上，p的值为或8或2； （3）解：分三种情况： ① ， 若组合是消元组合， 则，解得； 若组合是消元组合， ② ，不可能为常数， ∴组合不是消元组合； ③ ， 若组合是消元组合， 则，解得； 综上，a与b的关系式为或． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 题型六、整式的乘除法与图形面积 21．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 22．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 【答案】(1) (2)8550元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：地砖面积为空地面积减去花园面积， 即 故地砖面积为． （2）解：当，， ， 元， 故购买所需地砖需要元． 23．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)小华同学的设计方案满足学校要求，理由见详解． 【分析】本题主要考查长方形和圆的面积公式的应用，以及代数式的运算和比较大小．解题的关键在于准确运用长方形面积公式和圆的面积公式来计算各区域面积． （1）根据题目所给的蔬菜种植地的长和宽，以及小池塘的直径与的关系，利用相应面积公式求出蔬菜种植地和小池塘的面积． （2）先求出长方形土地的面积，再求出绿地面积，然后将绿地面积与长方形土地面积的一半进行比较，判断是否满足学校要求． 【详解】（1）解：①蔬菜种植地的长为，宽为，长方形面积为：； ②小池塘是半圆形，直径为，则半径．半圆形小池塘的面积为： （2）解：小华同学的设计方案满足学校的要求，理由如下： ∵长方形土地的面积，且 ∴ ∵绿地面积为，，由（1）可知， ∴ ∵长方形土地面积的一半为 ∴ ∴绿地面积大于长方形土地面积的一半． 综上，（1）①；②；（2）小华同学的设计方案满足学校要求． 24．（25-26八年级上·河南新乡·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 (1)请分别计算这两个建筑的占地面积； (2)若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 【答案】(1)福建土楼占地面积：；山西大院占地面积： (2)①组同学想法正确 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴①组同学想法正确． 题型七、多项式乘法中的规律性问题 25．（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 0或 (3) 65536 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）观察已知等式，总结出与到的和相乘的结果规律； （2）利用规律将与相乘，结合已知条件求出的值，再计算的值即可； （3）利用规律先计算，再加上即可． 【详解】（1）解：由已知规律可得． 故答案为：． （2）解：由规律得： ， ，即， 解得：或， 当时，则，与题干矛盾， 当或时，则，符号题意， 或． （3）解：由规律得：， ． 则原式． 26．（25-26八年级上·山东临沂·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 【答案】(1)； (2)三 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）可得的展开式，则，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，可得： ；； （2）解：同（1）可得， ∴ ， ∴除以7余1， ∵今天是星期二， 再过天是星期三； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ． 27．（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)二 (3)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 28．（25-26八年级上·山东济宁·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)    (3)    (4) (5) 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； （2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； （3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； （4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； （5）解：原式 ． 题型八、整式运算中的新定义型问题 29．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 30．（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 【答案】(1)5 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查代数式求值，整式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）把代入代数式进行求解即可； （2）根据新定义，结合整式的运算法则进行计算，利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）根据新定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）当时， ； ∵， ∵， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 32．（23-24七年级下·山西长治·月考）定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，求的值． (3)若多项式（为有理数），是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或11或1 (3)的值为 【分析】本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． （1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①；②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 【详解】（1）∵ ， ∴这组黄金多项式的黄金因子是． （2）若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 综上所述，的值为或11或1． （3）①∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ②∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴ ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ③∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， ∴黄金因子为，符合题意； 综上所述，的值为． 题型九、利用竖式的方法求整式中多项式除以多项式 33．（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 34．（24-25八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）． ． 35．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是． 【知识点】计算单项式除以单项式、多项式除以单项式、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法： （1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案； （2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案； （3）利用（1）的规律计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算法则：同底数幂相乘，平方差公式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，分别对四个式子逐一计算，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，计算单项式乘多项式及求值，计算单项式除以单项式，运用平方差公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运用，整式加减运用，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列式计算求出另一边长，再根据周长公式列式计算即可． 【详解】解：， 即它另一边长为， 则它的周长为 ． 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川资阳·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A．100 B．92 C．90 D．86 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，设长方形的长为，宽为，表示出、、，再结合求出的值，即可得解，熟练掌握整式的混合运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴长方形的面积为， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再合并所得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川内江·月考）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，求出．先根据多项式乘多项式运算法则求出，再分别求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∵甲把抄错成了4，得到的结果为， ∴， 解得：， ∵乙把抄错成了6，得到的结果为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 【答案】10 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、多项式乘多项式等知识点，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合n为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的长为、宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为，阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若n为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为，阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④． 故答案为：①③④． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期中）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式运算法则． 先利用多项式乘以多项式运算法则将其展开，通过比较多项式的两种形式系数，建立方程求解参数，进而得到零点． 【详解】解： 比较系数得：，，， ∴ 代入，则， ∴； ∴ 解得 ∴ ∴或， 解得， ∴， 解得 故多项式的零点为2或3， 故答案为：2或3． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）（2）（3）原式通过多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号合并即可得到结果. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 12．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则，进行化简，然后再代入数据，进行计算即可． 【详解】解： ， 将，代入中，得原式． 13．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 14．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 15．（25-26八年级上·北京·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． (1 )根据特征系数对的定义即可解答； (2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； (3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案． 【详解】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：； （2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ； （3）解：根据题意得， 令，则， ， ， ． 故答案为：4． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 17．（25-26八年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． (2)任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． (3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 【答案】(1)； (2)①；② (3)，商式为，竖式见解析 【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可； 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：①如图所示： ； 故答案为：； ②如图所示： ， 故答案为：； （3）如图所示： ∵的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴，即， ∴此时． 18．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可． （2）根据，可得，结合，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴，； ，； ，； ，； 可得， 当时，成立； 假设当时成立， 当时，， ∵， ∴， 因此，当时规律也成立， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法与除法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 题型二、计算多项式乘多项式 3 题型三、多项式除以单项式 5 题型四、整式运算中先化简再求值 7 题型五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型六、整式的乘除法与图形面积 14 题型七、多项式乘法中的规律性问题 18 题型八、整式运算中的新定义型问题 23 题型九、利用竖式的方法求整式中多项式除以多项式 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 题型二、计算多项式乘多项式 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型三、多项式除以单项式 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四、整式运算中先化简再求值 13．（25-26八年级上·陕西延安·月考）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中，． 15．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）先化简，再求值：，其中，． 16．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）化简求值：，其中， 题型五、已知多项式乘积不含某项求字母的值 17．（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 18．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）若的积中不含有x与项． (1)直接写出m、n的值，即______ _____ (2)求代数式的值． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式， 因为 所以这种组合为消元组合，其消元余量为． 因为，结果不是常数； 所以这种组合不是消元组合． (1)若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． (2)若多项式存在消元组合，则p的值为________． (3)若多项式存在消元组合，求a与b的关系式． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    题型六、整式的乘除法与图形面积 21．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 22．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 23．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 24．（25-26八年级上·河南新乡·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 (1)请分别计算这两个建筑的占地面积； (2)若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 题型七、多项式乘法中的规律性问题 25．（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 26．（25-26八年级上·山东临沂·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 27．（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 28．（25-26八年级上·山东济宁·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 题型八、整式运算中的新定义型问题 29．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 30．（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 32．（23-24七年级下·山西长治·月考）定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，求的值． (3)若多项式（为有理数），是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出的值． 题型九、利用竖式的方法求整式中多项式除以多项式 33．（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 34．（24-25八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 35．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 2．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川资阳·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A．100 B．92 C．90 D．86 二、填空题 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： ． 7．（25-26八年级上·四川内江·月考）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期中）当或时，多项式的值为0，则把此时的值称为多项式的零点．若多项式，则多项式的零点是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 12．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 14．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 15．（25-26八年级上·北京·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 17．（25-26八年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． (2)任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． (3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 18．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $