第七章 相交线与平行线（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“相交线与平行线”单元内容，涵盖对顶角、垂线、三线八角、平行线判定与性质等核心知识范畴，搭建从基础概念认知到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+例题变式”三维架构呈现知识体系，如将“平行线判定与性质的因果关系”列为易错点并标注“因果颠倒混乱”，通过“F/Z/U型角结构特征”等图形模型培养几何直观和推理意识。特别设计“分类画图”“标图辅助分析”等实用策略，如拐点问题中“过拐点作平行线”的辅助线技巧，助力学生构建知识网络，教师可直接用于课堂分层教学，提升复习效率。

第七章 相交线与平行线 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 易错点1 根据平行线的判定与性质求解多解题 **易错总结** 1. **图形位置不全**：只考虑两直线同侧或基本位置，忽略点在直线不同侧、延长线上等情形导致漏解。 2. **角的关系单一**：仅用同位角相等求解，忘记内错角、同旁内角互补也能推出平行。 3. **隐含条件忽略**：未考虑平角、对顶角、邻补角等隐含条件，导致角度关系错误。 4. **多解检验不足**：求出多个角度后，未验证是否满足三角形内角和或图形合理性。 **注意事项**： - **分类画图**：根据题意画出所有可能位置关系图，分别求解。 - **全面利用角关系**：同位角、内错角、同旁内角都要考虑。 - **代数几何结合**：设未知数列方程，但要注意角度的几何意义。 - **验证取舍**：不符合图形或定理的解要舍去。 【例1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是 ． 易错点2 根据平行线的判定和性质多结论题 **易错总结** 1. **因果颠倒混乱**：将判定条件当性质用，或把性质结论当判定条件，逻辑链断裂。 2. **图形干扰误判**：复杂图形中平行线较多时，误将不同直线形成的角当作同位角或内错角。 3. **结论拓展过度**：由一组平行推出所有角关系后，错误推广到其他未证平行的直线。 4. **条件遗漏不全**：多个结论需多个条件支撑，常漏用某个隐含条件导致推导中断。 **注意事项**： - **理清因果关系**：判定是由角等推线平行，性质是由线平行推角等，方向不能反。 - **标图辅助分析**：用相同符号标记已知平行线，不同颜色标出对应角关系。 - **逐一验证结论**：每个结论都要有充分的推理依据，不凭感觉下结论。 - **逆向思维检验**：从结论反推所需条件，看是否与已知吻合。 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ． 易错点3 根据平行线的判定与性质探究角的关系 **易错总结** 1. **模型识别不清**：复杂图形中找不到基本“三线八角”模型，误判同位角、内错角。 2. **辅助线误作**：需过拐点作平行线时，辅助线作错位置或方向，导致角转化失败。 3. **关系拓展过度**：由一组平行推出部分角等，错误推广到所有角都等。 4. **方程思想薄弱**：多个未知角关系复杂时，不会设未知数列方程求解。 **注意事项**： - **先找截线**：确定哪条线是截线，分清被截两直线。 - **辅助线策略**：遇到拐点，过拐点作已知直线平行线。 - **标记已知角**：在图上标出已知角和待求角，寻找等量关系。 - **综合列式**：利用同位角、内错角相等，同旁内角互补列方程。 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 易错点4 根据平行线的判定与性质解决光线问题 **易错总结** 1. **反射定律误用**：将物理学中“入射角=反射角”转化为几何角时，误把光线与法线的角当成与界面的角。 2. **平行关系误判**：多次反射时，误以为所有反射面都平行，实际可能相交。 3. **路径跟踪错误**：光线传播路径复杂时，漏画某次反射或方向画反。 4. **角度计算混乱**：多个反射角交替时，忘记内错角、同位角转化关系。 **注意事项**： - **法线辅助**：过入射点作法线，明确入射角、反射角。 - **标角跟踪**：每次反射后标出光线方向和新角度。 - **平行转化**：两面平行时，利用内错角相等传递光线角度。 - **画精确图**：光线问题必须画规范图，避免视觉误导。 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·月考）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）七年级同学在一次研学中，发现天花板上有两盏三角形的灯在做旋转运动，如图2所示，已知，，灯绕点A以2度/秒的速度、灯绕点C以5度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在灯转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得边与边平行？若存在，求出所有满足条件的时间． 【变式】（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 易错点5 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 **易错总结** 1. **旋转对应混乱**：三角形旋转后，对应边、对应角关系弄错，导致平行条件误用。 2. **平行条件忽视**：旋转过程中某边与另一直线平行时，对应角关系未及时转化。 3. **多解情况遗漏**：旋转方向不同（顺逆时针）或旋转角不同导致平行位置多样，常漏解。 4. **动态过程误判**：旋转到某一位置时，误以为始终平行，忽略中途可能相交。 **注意事项**： - **标旋转角**：在图上标出旋转角，明确旋转后的对应边。 - **分类讨论**：按顺时针、逆时针旋转分别考虑平行情况。 - **列方程求解**：根据平行条件（同位角等）列出关于旋转角的方程。 - **检验周期性**：旋转角加减360°是否仍符合条件需验证。 【例5】（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【变式】（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 易错点6 根据平行线的判定和性质解决拐点问题 **易错总结** 1. **辅助线缺失**：遇拐点未过点作平行线，无法转化角度关系。 2. **方向错误**：辅助线作反方向(如延长线而非平行线)，导致角关系错乱。 3. **多拐点混乱**：多个拐点叠加时，未逐段转化，试图一步到位出错。 4. **结论概括不全**：探究拐点角度关系时，只得出一种情况，忽略点在两平行线间、外等不同位置。 **注意事项**： - **一拐一作**：每个拐点都作已知直线的平行线。 - **标角转化**：利用内错角、同位角将未知角转化为已知角。 - **分类讨论**：拐点在平行线内侧、外侧、之间时分别探究。 - **总结规律**：常见模型如“猪蹄模型”“铅笔模型”要熟练掌握。 【例6】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 二、填空题 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为 ． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 三、解答题 7．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 10．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 易错点1 根据平行线的判定与性质求解多解题 **易错总结** 1. **图形位置不全**：只考虑两直线同侧或基本位置，忽略点在直线不同侧、延长线上等情形导致漏解。 2. **角的关系单一**：仅用同位角相等求解，忘记内错角、同旁内角互补也能推出平行。 3. **隐含条件忽略**：未考虑平角、对顶角、邻补角等隐含条件，导致角度关系错误。 4. **多解检验不足**：求出多个角度后，未验证是否满足三角形内角和或图形合理性。 **注意事项**： - **分类画图**：根据题意画出所有可能位置关系图，分别求解。 - **全面利用角关系**：同位角、内错角、同旁内角都要考虑。 - **代数几何结合**：设未知数列方程，但要注意角度的几何意义。 - **验证取舍**：不符合图形或定理的解要舍去。 【例1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 易错点2 根据平行线的判定和性质多结论题 **易错总结** 1. **因果颠倒混乱**：将判定条件当性质用，或把性质结论当判定条件，逻辑链断裂。 2. **图形干扰误判**：复杂图形中平行线较多时，误将不同直线形成的角当作同位角或内错角。 3. **结论拓展过度**：由一组平行推出所有角关系后，错误推广到其他未证平行的直线。 4. **条件遗漏不全**：多个结论需多个条件支撑，常漏用某个隐含条件导致推导中断。 **注意事项**： - **理清因果关系**：判定是由角等推线平行，性质是由线平行推角等，方向不能反。 - **标图辅助分析**：用相同符号标记已知平行线，不同颜色标出对应角关系。 - **逐一验证结论**：每个结论都要有充分的推理依据，不凭感觉下结论。 - **逆向思维检验**：从结论反推所需条件，看是否与已知吻合。 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴； 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 易错点3 根据平行线的判定与性质探究角的关系 **易错总结** 1. **模型识别不清**：复杂图形中找不到基本“三线八角”模型，误判同位角、内错角。 2. **辅助线误作**：需过拐点作平行线时，辅助线作错位置或方向，导致角转化失败。 3. **关系拓展过度**：由一组平行推出部分角等，错误推广到所有角都等。 4. **方程思想薄弱**：多个未知角关系复杂时，不会设未知数列方程求解。 **注意事项**： - **先找截线**：确定哪条线是截线，分清被截两直线。 - **辅助线策略**：遇到拐点，过拐点作已知直线平行线。 - **标记已知角**：在图上标出已知角和待求角，寻找等量关系。 - **综合列式**：利用同位角、内错角相等，同旁内角互补列方程。 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 易错点4 根据平行线的判定与性质解决光线问题 **易错总结** 1. **反射定律误用**：将物理学中“入射角=反射角”转化为几何角时，误把光线与法线的角当成与界面的角。 2. **平行关系误判**：多次反射时，误以为所有反射面都平行，实际可能相交。 3. **路径跟踪错误**：光线传播路径复杂时，漏画某次反射或方向画反。 4. **角度计算混乱**：多个反射角交替时，忘记内错角、同位角转化关系。 **注意事项**： - **法线辅助**：过入射点作法线，明确入射角、反射角。 - **标角跟踪**：每次反射后标出光线方向和新角度。 - **平行转化**：两面平行时，利用内错角相等传递光线角度。 - **画精确图**：光线问题必须画规范图，避免视觉误导。 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·月考）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）七年级同学在一次研学中，发现天花板上有两盏三角形的灯在做旋转运动，如图2所示，已知，，灯绕点A以2度/秒的速度、灯绕点C以5度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在灯转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得边与边平行？若存在，求出所有满足条件的时间． 【答案】（1）光线a与光线b平行，理由见解析；（2）存在，当秒或秒时，与平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）由邻补角的定义可求得，从而可求得，即可判定； （2）分三种情况：①与在的两侧；②旋转到与都在的右侧；③旋转到与都在的左侧时，利用平行线的性质列式计算即可得解． 【详解】解：（1）光线a与光线b平行，理由如下： 如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即光线a与光线b平行； （2）存在．分三种情况： 灯转动一周的时间为秒，所以， 如图①，与在的两侧时， ∵，， ∴，， 要使，则， 即， 解得； ②旋转到与都在的右侧时，如图②， 此时，， 要使，则， 即， 解得， 此时，不符合题意； ③旋转到与都在的左侧时，如图③， 此时，， 要使，则， 即， 解得， 综上所述，存在，当秒或秒时，与平行． 【变式】（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可； （2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； （3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； ②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由： 由题意得：，， ∵， ， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴, ∴． （3）解：①在点G右侧作，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ②α与β之间的数量关系为．理由： 在点G右侧作，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 易错点5 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 **易错总结** 1. **旋转对应混乱**：三角形旋转后，对应边、对应角关系弄错，导致平行条件误用。 2. **平行条件忽视**：旋转过程中某边与另一直线平行时，对应角关系未及时转化。 3. **多解情况遗漏**：旋转方向不同（顺逆时针）或旋转角不同导致平行位置多样，常漏解。 4. **动态过程误判**：旋转到某一位置时，误以为始终平行，忽略中途可能相交。 **注意事项**： - **标旋转角**：在图上标出旋转角，明确旋转后的对应边。 - **分类讨论**：按顺时针、逆时针旋转分别考虑平行情况。 - **列方程求解**：根据平行条件（同位角等）列出关于旋转角的方程。 - **检验周期性**：旋转角加减360°是否仍符合条件需验证。 【例5】（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 【变式】（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 易错点6 根据平行线的判定和性质解决拐点问题 **易错总结** 1. **辅助线缺失**：遇拐点未过点作平行线，无法转化角度关系。 2. **方向错误**：辅助线作反方向(如延长线而非平行线)，导致角关系错乱。 3. **多拐点混乱**：多个拐点叠加时，未逐段转化，试图一步到位出错。 4. **结论概括不全**：探究拐点角度关系时，只得出一种情况，忽略点在两平行线间、外等不同位置。 **注意事项**： - **一拐一作**：每个拐点都作已知直线的平行线。 - **标角转化**：利用内错角、同位角将未知角转化为已知角。 - **分类讨论**：拐点在平行线内侧、外侧、之间时分别探究。 - **总结规律**：常见模型如“猪蹄模型”“铅笔模型”要熟练掌握。 【例6】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可得证； （2）同理过点作，根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可得证； （3）根据（1）（2）的结论得出，根据垂直的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 过点作， ， ， ，， 即 （2）证明：由（1）得， 同理过点作， 可得， 平分平分 （3）如图， ∵， 由（2）可得 ∵ ∴ ∴ 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图 由题意，得 ，， ∴． 故选D． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 三、解答题 7．（25-26七年级上·江苏南通·期末）为美化某市夜景，在两栋垂直于地面的高楼和上，分别安置了可旋转探照灯和（点高于点），现抽象成：如图所示，．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．设所研究的转动时间为秒． (1)若灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为_____°； (2)若灯比灯先转动秒，当两灯射线在和之间交于点，且时，求灯转动的时间； (3)若两灯同时开始转动，是否存在两灯射线所在直线平行或垂直？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，灯射线转动的时间为、或 (3)当，，，时，两光线垂直；时，两光线平行 【分析】本题主要考查平行线的性质以及解一元一次方程，正确进行计算是解题关键； （1）先算灯B第一次转完的时间，减去提前的秒得到灯的转动时间，再乘以灯的速度得到转过角度； （2）设灯B转动时间为t秒，利用平行线的同位角相等性质，结合角度和差关系列方程求解； （3）平行时利用平行线的内错角相等列方程，垂直时利用角度和为列方程，求解得到t的值． 【详解】（1）解：灯比灯先转动秒，当灯射线第一次经过时，灯射线转过的角度为， 故答案为： （2）设：灯射线转动的时间为 ， ①当时，如图， ，，． ②  当时，如图、， ，， ，，． ③ 当时，如图， ，，（舍）． 综上：当时，灯射线转动的时间为、或． （3）① 当时，两光线不平行； 两光线垂直时，如图， ，，． ②当时，两光线垂直时，如图6、7， ，， ，，． 两光线平行时，如图8， ，，． ③当时，两光线垂直时，如图9， ，， 两光线平行时，如图， ，，（舍） 综上：当，，，时，两光线垂直；时，两光线平行． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. （1）由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴ （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴ （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为20或80． 10．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $