第七章相交线与平行线专题训练 巧解平行线中的拐点问题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

**基本信息** 以“M”“U”“Z”形图分类，通过作平行线转化角关系，系统解决平行线拐点问题，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“M”形图|3题（含三角板放置）|过拐点作平行线，内错角/同旁内角转化|平行线性质→角的和差关系推导| |“U”形图|3题（含折叠/动态点）|构造平行线，利用垂直/互补角计算|平行线性质→多拐点角关系综合应用| |“Z”形图|3题（含项目化学习）|过拐点作平行线，外角/内角转化|平行线性质→三角形内角和拓展|

第七章相交线与平行线 专题训练 巧解平行线中的拐点问题 类型一“M”形图 1.如图,已知AB∥CD, 若∠E=66°,则∠F 的度数为 . 2.将一块直角三角板ABC 按如图所示的方式放置在平行线a，b之间.若∠2=52°,则∠1的度数为 . 3.如图,l₁∥l₂,已知,∠1-∠2=70°,则∠ABC 的度数是 . 类型二“U”形图 4.综合探究题 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示,BA 垂直于地面 AE 于 A,CD 平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD= . 5.已知直线 AB∥CD，E 为平面内一点,点 P,Q 分别在直线 AB,CD上,连接 PE,EQ. (1)如图1,若点 E 在直线AB,CD 之间,试探究∠BPE,∠DQE,∠PEQ 之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2,若点 E 在直线AB,CD 之间,PF 平分 ∠APE, QF 平分 ∠CQE,当∠PFQ=130°时,求∠PEQ 的度数; (3)如图3,若点 E 在直线AB 的上方,QF平分∠CQE,PH 平分∠APE,PH 的反向延长线交 QF 于点 F,当∠PFQ=155°时,直接写出∠PEQ 的度数. 6.综合探究题已知AB∥CD,点 E,F 分别在AB,CD 上,点 G 为平面内一点,连接 EG,FG. (1)如图1,当点G 在AB,CD 之间时,请直接写出∠AEG,∠CFG 与∠G 之间的数量关系 ； (2)如图 2,当点 G 在 AB 上方时,且∠EGF=90°,求证:∠BEG-∠DFG=90°; (3)如图3，在(2)的条件下，过点 E 作直线HK 交直线CD 于 K,使∠HEG 与∠GEB互补,FT 平分∠DFG 交HK 于点 T,延长GE,FT 交于点R,若∠ERT=∠TEB,请你判断 FR 与 HK 的位置关系，并证明. 类型三“Z”形图 7. 如图,AB∥DE,∠1=26°,∠2=116°,则∠BCD= . 8.如图,AB∥EF,∠C=90°,用∠B 和∠D 表示∠E,∠E= . 9.项目化学习【课题学习】平行线的“等角转化”.如图1,已知点 A 是 BC 外一点,连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C 的度数. 解:过点 A 作ED∥BC,所以∠B= ,∠C= ,又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.所以∠B+∠BAC+∠C= . 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“归类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决. 【方法运用】 (2)如图 2,已知 AB∥CD,BE,CE 交于点E,∠BEC=80°,求∠B-∠C 的度数; (3)如图3,若 AB∥CD,点 P 在AB,CD 外部,请探究∠B,∠D,∠BPD 之间的数量关系，并说明理由. 1.44° 2.142° 3.110° 4.270° 5.解:(1)∠PEQ=∠BPE+∠DQE,理由如下:过点 E 作EF∥AB, 所以∠BPE=∠PEF, 因为AB∥CD,EF∥AB, 所以CD∥EF,所以∠DQE=∠QEF, 因为∠PEQ=∠PEF+∠QEF, 所以∠PEQ=∠BPE+∠DQE. (2)过点 F 作 FG∥AB, 所以∠PFG=∠APF, 由题意可得CD∥FG, 所以∠QFG=∠CQF, 所以∠PFQ=∠PFG+∠QFG=∠APF+∠CQF=130°. 因为 所以 所以∠APE+∠CQE=260°, 因为 ∠APE +∠BPE = 180°,∠CQE +∠DQE=180°, 所 以 ∠APE + ∠CQE + (∠BPE +∠DQE)=360°, 所以∠BPE+∠DQE=100°, 因为∠PEQ=∠BPE+∠DQE, 所以∠PEQ=100°; (3)过点 E 作 EG∥AB, 所以∠PEG=∠BPE, 因为 180°, 所以 所以∠HPB =∠HPE +∠BPE = 90°+ 由对顶角相等得 ∠BPE,∠PFQ=∠APF+∠CQF, 又因为∠PFQ=155°, 所以 所以∠DQE-∠BPE=50°, 因为AB∥CD,EG∥AB, 所以 EG∥CD,所以∠QEG=∠DQE, 所以∠QEG-∠PEG=∠PEQ=50°. 6.解:(1)∠G=∠AEG+∠CFG; (2)如图,过点 G 作GP∥AB, 所以∠BEG +∠EGP = 180°,∠EHG +∠HGP=180°, 所以 所以∠EHG+∠EGP=90°. 因为AB∥CD,所以∠DFG=∠EHG, 所以∠BEG-∠DFG =180° - ∠EGP - (3)FR 与 HK 的位置关系为垂直.理由如下： 因为 FT 平分∠DFG 交 HK 于点 T,所以∠GFT=∠KFT. 因为∠EGF=90°, 所以∠GFT+∠ERT=90°, 所以∠KFT+∠ERT=90°. 因为∠ERT=∠TEB, 所以∠KFT+∠TEB=90°. 因为AB∥CD,所以∠FKT=∠TEB, 所以∠KFT+∠FKT=90°, 所以∠FTK=90°, 所以 KT⊥FR,即 FR⊥HK. 7.90°8.∠B+∠D-90° 9.解:(1)过点 A 作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=∠DAC,又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,所以∠B+∠BAC+∠C=180°,故答案为:∠EAB;∠DAC;180°; (2)过点 E 作EF∥AB, 所以∠B+∠BEF=180°. 因为 EF∥CD,所以∠FEC=∠C, 因为∠BEC=80°, 所以∠BEF+∠FEC=80°, 所以∠B-∠C=100°; (3)∠BPD=∠B-∠D, 理由:过点 P 作PE∥CD, 所以∠D=∠DPE, 因为 AB∥CD,所以 AB∥PE,所以∠B =∠BPE. 因为∠BPD=∠BPE-∠DPE, 所以∠BPD=∠B-∠D. 学科网（北京）股份有限公司 $