专题01 相交线中的有关的计算问题（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

专题01 相交线中的有关的计算问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用对顶角的性质求角 1 题型二、点到直线的距离 3 题型三、利用对顶角、余角、补角、直角的综合问题 5 题型四、与对顶角、余角、补角、直角有关的旋转综合问题 9 题型五、与对顶角、余角、补角、直角有关的新定义综合问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用对顶角的性质求角 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二、点到直线的距离 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，若，，，则点M到直线l的距离可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点到直线的距离可能是， 故选：．（答案不唯一） 8．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据垂直的定义以及点到直线的距离的定义，结合等面积法，即，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为的长，即点到的距离为6 ∵， ∴点B到直线的距离为的长； ∵ ∴， ∴点B到直线的距离为； 故答案为：；． 题型三、利用对顶角、余角、补角、直角的综合问题 9．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 10．（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点，射线，在直线同侧，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、对顶角相等、互余性质，找到角之间的运算关系是解答的关键． （1）根据角平分线的定义和对顶角相等求解即可； （2）设，根据已知和互余性质推导出，再根据角平分线的性质得到，由对顶角相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：设， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， 即， ∴． 12．（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知点、、在同一条直线上，． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，平分，求； (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题结合余角定义、补角定义及角平分线的定义考查角的和差计算，关键是利用角的和差关系建立等式计算． （1）先根据补角求出的度数，再结合，通过角的差计算的值； （2）先结合表示出，再根据表示出，利用角平分线的性质列方程求解； （3）根据互余定义得到，，分与在同侧、异侧两种情况，利用角的和差计算． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ，解得； （3）解：与互余，与互余， ， 分两种情况： ①当和在直线的两侧时， ； ②当和在直线的同侧时， ， ； 综上所述，或． 题型四、与对顶角、余角、补角、直角有关的旋转综合问题 13．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）点、、三点在同一条直线上，，平分，（本题中所有角均指小于的角） (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作射线，满足，求与的数量关系． (3)如图3为初始位置，，直角三角形（其中）如图放置，将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转的过程中，始终平分，设旋转的时间为秒（），在射线、、中，当其中有一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用． （1）根据已知得出，根据角平分线的定义可得，进而根据平角的定义可得，即可求解； （2）设，则，分别表示出与，即可求解； （3）根据题意分别表示出，再分三种情况讨论，根据角平分线的定义得出两个角相等，列出方程，再解绝对值方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵ 设，则 ∵平分，， ∴ ∴ ∴； （3）解：设旋转的时间为秒（）， ∵射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ ∵始终平分， ∴ ∵ ∴ 当平分时， ∴ 解得， 当平分时， ∴， 解得：或（舍去，重合） 当平分时， ∴ 解得：（舍去，重合）或 综上所述，或或． 14．（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知如图1，，是的平分线． (1)的度数为_____． (2)如图2，已知，将与重合，且在内部，作射线平分．求的度数． (3)将图2中的绕点顺时针旋转得到图3，旋转过程中始终平分． ①通过推理说明与旋转角度之间有怎样的数量关系？ ②当与互补时，的值为_____（直接写结果）． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据角平分线定义，进行求解即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可； （3）①根据旋转和角平分线定义得出，，再根据角度间的关系求出即可； ②根据补角定义列出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：① ， ， ； ②∵，， 又∵与互补， ∴， 解得：． 15．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算． （1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可； （2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可解答； （3）分两种情况：当在的上方时，当在的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：125 （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∴平分． （3）解：如图，当在的上方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和之间的数量关系为或． 题型五、与对顶角、余角、补角、直角有关的新定义综合问题 16．（25-26七年级上·四川达州·期末）若，我们则称是的“绝美角”．例如：若，，则是的“绝美角”，请注意：此时不是的“绝美角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝美角”，此时________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝美角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒，当时，若是的“绝美角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义、一元一次方程在角度问题中的应用以及分类讨论的数学思想，熟练掌握“绝美角”的定义，并能根据图形位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据“绝美角”的定义，结合已知的度数，列出方程求解的度数． （2）分在内部和外部两种情况，先利用“绝美角”定义求出，再结合与的互补关系，计算出的大小． （3）先由“绝美角”定义求出的固定度数，再分旋转未超过和超过两种情况，用含的式子表示出相关角的度数，最后根据的度数列方程求解的值． 【详解】（1）解：是的“绝美角”， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图，当在内部时， 由（1）知， ， ， ， ； ②如图，当在外部时， ， ， 由题可知， ， 解得， ， ， ， ； 综上，为或； （3）解：，是的“绝美角”， ， ， ． ①由题意得：，， 平分，平分， ，， 当未转够，即时， 如图：． ， ， ； ②当旋转超过，即时． 由题意得：转了，． 平分，平分， ，． 如图：即． ． ， ， ， ； 所以的值或． 17．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】 （2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的计算与新定义“n倍分线”的应用，解题的关键是根据“n倍分线”的定义，将角之间的倍数关系转化为方程或比例关系，再结合角的和差关系求解． （1）根据“4倍分线”的定义，先求出的度数，再计算； （2）利用补角的性质和“3倍分线”的定义，分别表示出和，再求和得到； （3）设，根据“3倍分线”和角平分线的定义，用表示出，列方程求解，进而求出 【详解】（1）解：∵ ，OQ是的4倍分线， ∴ ， ∴ ， ∵ OP是的4倍分线， ∴ ， ∴ 故答案为：． （2）解：∵ 与互为补角， ∴ ， ∵ OP是的3倍分线，且， ∴ ， ∵ OQ是的3倍分线，且， ∴ ， ∴ ． （3）解：设， ∵ OM是的3倍分线，且， ∴ ，． 设， ∵ ON是的3倍分线，且， ∴ ，． ∵ 点O在直线AB上， ∴ ，，． ∵ ， ∴ ， 联立方程： 解得：，． ∵ OC是的平分线， ∴ ， ∴ ． 答：的度数为． 18．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）【定义理解】 如图1，已知，射线在其内部，，（，，且）平分，平分，记，若与互补或与互补，则称与为一对“分补角”． (1)如图2，，． ①______°； ②判断与是不是一对“分补角”？并简要说明理由． (2)已知，且与是一对“分补角”． ①若，求的值； ②若，求的值． (3)若，且与是一对“分补角”． ①用含的代数式表示； ②设与互补，试求与的关系（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①90；②不是分补角，见解析 (2)①；②； (3)①；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，“分补角”的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①先求出，再结合角平分线的定义计算即可得出结果；②由①可得，根据“分补角”的定义判断即可得出结果； （2）①由角平分线的定义并结合根据“分补角”的定义计算即可得出结果；②由角平分线的定义并结合根据“分补角”的定义计算即可得出结果； （3）①由角平分线的定义可得，，再结合，且，即可得出结果；②由与互补，得出，从而可得，进而得出，由“分补角”的定义得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：①，，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ． ②由①可得：， ， 不满足定义中的互补条件，不是分补角． （2）解：①，， ∴， ∵与是一对“分补角”， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，时，代入可得， ∵， ∴； ②，， ∴， ∵与是一对“分补角”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 当，时，代入可得， ∴； （3）解：①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵与互补， ∴， ∴， ， ∵与为一对“分补角”， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·云南昭通·期末）若一个角的补角为，则这个角的余角为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角和补角，解答的关键是明确互为补角的两角之和为，互为余角的两角之和为．根据补角定义求出这个角，再根据余角定义求出余角． 【详解】解：∵这个角的补角为， ∴这个角， ∴余角， 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角的定义，准确识别方向角对应的角度是解题关键．明确各角的位置关系，结合余角、补角、角平分线的定义及角的和差运算，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）如图，在同一平面内，，平分，点E为OF反向延长线上一点，点H为OC反向延长线上一点，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的应用，熟练进行角的计算是解题的关键．根据题意，结合图形以及角平分线，进行角的计算，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 故结论①正确，符合题意； ， ， ， 故结论②正确，符合题意； ， ， 由①知， ， 无法确定， 不能确定为， 故结论③错误，不符合题意； 平分， ， 由①知， ， 即， ， 即， 故结论④正确，符合题意． 综上，正确的结论有①②④， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意，， 两边同时乘以3，得， 移项，得，即， 解得． 故答案为： 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，直线上有一点O，作射线，使得，则 ；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，由补角的定义得，由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解： ； 因为 ， ， 所以 ； 故答案为：，． 9．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）如图所示，已知． （1）若，则 ． （2）若的余角比小，过点作射线，使得，则 ． 【答案】 /22度 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与余角有关的计算，准确的得到角的和差关系是解题的关键： （1）根据角的数量关系，进行求解即可； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵的余角比小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，； 当在的外部时，； 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，角度的计算，准确地理解题意是解题的关键． （1）由平分，可得，根据“分余线”的定义，可得，结合，求得； （2）设，先根据题意求得，，再根据“分余线”的定义，得到或，最后分两种情况讨论求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵为的“分余线”， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∵为的“分余线”， ∴或， 分两种情况讨论： ①， 即， 解得； ②， 即， 解得； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·期末）已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 【答案】(1)；和，和；对顶角相等 (2) (3)或． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义； （1）根据对顶角相等即可得解； （2）设，根据平分，表示出，再计算，即可求解； （3）结合（2）中的关系列方程即可求出x的值，再得出，根据在内部，将分成两部分，得出或，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据同角的补角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:和，和；判断的依据是对顶角相等 故答案为：2，和，和；判断的依据是对顶角相等； （2）设°，则 ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ 由（2）可知： ， ∴ 解得 ∴，， ∵平分， ∴ ∴ ∵在内部，将分成两部分， ∴或 ∴或 ∴或． 12．（22-23七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 13．（25-26七年级上·广东江门·期末）O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．          (1)如图1，，当三角板的直角边与重合时，___________，___________； (2)如图2，若将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果，猜想旋转过程中与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；115 (2)见解析 (3)；猜想；证明见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）利用互余与互补关系即可求解； （2）由是的平分线得，再由互余得，由此即可得是的平分线； （3）根据，求出，再根据平分，求得，即可求得的度数；猜想，根据角平分线的定义、余角、补角的定义得到，即可说明猜想的正确． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：25；115； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·河南漯河·期末）设，（，），，分别是的角平分线，记．如果互补，或者互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图1，，在内，．分别作、的角平分线，．_____°，，_____一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，有两种情况，如图、图所示，且，是一对“分补角”，求的值； (3)若，当在外部时，和是一对“分补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)60；不是 (2)的值为或 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断是否是“分补角”； （2）分在内部（含与重合）、在内部和在外部三种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （3）分在内部和外部情况，画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是一对“分补角”， （2）∵是一对“分补角”，且平分，平分， ∴， 分三种情况讨论： ①当在内部（含与重合）时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ②当在内部时，如下图， 此时，即， 则有， ∴， 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意； 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当在外部时，如图， 则， ∵是一对“分补角”， 若，互补，即有， ∴，解得，不合题意，舍去； 若，互补，即有， ∴，解得，符合题意． 综上所述，的值为或； （3）当在外部时； ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴； 综上，的可能值为或． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如果两个角的和是100度，我们称这两个角互为“百角”，简称“互百”，也可以说一个角是另一个角的百角．例如，，，则与互为百角． (1)如果和互为百角，，则______度； (2)若和互为百角，和互为余角，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图1，点O在直线上，绕点O旋转，是的角平分线． ①如图2，若，在直线的上方，当和互为百角时，求的度数； ②若，当为______度时，和互为百角．（直接写出答案） 【答案】(1)30 (2)，理由见解析 (3)①度；②或 【分析】本题考查了新定义、角平分线的定义、余角的定义、一元一次方程的应用，理解“百角”的定义是解题的关键． （1）根据百角的定义即可求解； （2）根据百角的定义得到，根据余角的定义得到，再利用角的和差即可得出结论； （3）①设，则，根据百角的定义得到，根据角平分线的定义列出方程，求出的值即可解答；②设，根据百角的定义得到，分4种情况讨论：当射线和在直线的上方；当射线在直线的上方，射线在直线的下方；当射线和在直线的下方；当射线在直线的上方，射线在直线的下方；再根据角平分线的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵和互为百角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30； （2）解：，理由如下： ∵和互为百角， ∴， ∵和互为余角， ∴， ∴， ∴； （3）解：①设， 则， ∵和互为百角， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， ∴的度数为度； ②设， ∵和互为百角， ∴， ∴； 当射线和在直线的上方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， 即度； 当射线在直线的上方，射线在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当射线和在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得， 即度； 当射线在直线的上方，射线在直线的下方，如图， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； ∴综上，当为或度时，和互为百角． 故答案为：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01相交线中的有关的计算问题 ■目录知 A题型建模·专项突破 题型一、利用对顶角的性质求角…1 题型二、点到直线的距离 题型三、利用对顶角、余角、补角、直角的综合问题 .5 题型四、与对顶角、余角、补角、直角有关的旋转综合问题 9 题型五、与对顶角、余角、补角、直角有关的新定义综合问题..14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用对顶角的性质求角 1.(2026七年级下·全国.专题练习)如图，直线AB,CD相交于点0，∠A0C=60°，∠D0E=40°，则 ∠BOE的度数为」 2.(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，直线AB、CD相交于点0，E0⊥AB,垂足为0，若 ∠A0D=124°，则∠E0C= B D 3.(25-26七年级上·四川内江·月考)如图所示，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,0F⊥CD, ∠D0E=43°，∠A0F的度数为一 4.(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，直线4，b相交于点0，将量角器的中心与点0重合，发现表示 60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1=一°. 1/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 60 90 120 30 150 109 1809 题型二、点到直线的距离 5.(25-26七年级上全国课后作业)如图，AB1AC,AD⊥BC,若AB=4cm,AC=3cm,AD=2.4cm ,那么A,B两点之间的距离为 cm,点A到直线BC的距离为cm,点C到直线AB的距 离为 cm. A B D C 6.(25-26七年级上黑龙江绥化月考)如图，AC⊥BC,点C为垂足，CD⊥AB,点D为垂足， BC=8cm,CD=4.8cm,BD=6.4cm,AC=6cm,那么点C到AB的距离是_，点B到CD的距离是」 ,A、C两点间的距离是 B D 7.(24-25七年级下·广东深圳期中)如图，A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线1外，MC⊥1，若 MA=5cm,MB=4cm,MD=3cm,则点M到直线1的距离可能是 cm.(写出一个即可) M AB C D 8.(24-25七年级下.宁夏吴忠·期中)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D, AC=10,AB=6,BC=8,则点A到BC的距离为一，点B到直线AC的距离为 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、利用对顶角、余角、补角、直角的综合问题 9.(25-26七年级下，全国·周测)如图，AB与CD交于点0，OM为射线. (1)写出∠BOD的对顶角 (2)已知∠A0C=70°，∠B0M=80°，求∠D0M和∠AOM的度数. 10.(25-26七年级上福建厦门期末)直线AB,CD相交于点0，OE平分∠BOD,0F⊥CD,垂足为0， 若∠E0F=54°， D (1)求∠A0C的度数. (2)在∠A0D的内部做射线0G,使∠B0G=162°，判断点O是否在直线FG上，并说明理由 11.(25-26七年级上江苏扬州期末)如图，直线AB和CD相交于点0，射线OE,0F在直线CD同侧， LCOE与∠DOF互余，OE平分∠AOC. (1)当∠B0D=50°时，求∠C0E的度数； (②)当LB0F=4LC0E时，求∠A0E的度数 12.(25-26七年级上山东临沂·期末)己知点B、0、C在同一条直线上，∠A0B=α(0°<a<60). D D D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0D=90°，∠COD=65°，求a; (2)如图2，若∠BOD=90°，∠BOE=50°，OA平分∠D0E,求； (3)如图3，若∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，请直接写出∠DOE的度数.（用含a的式子 3/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 表示) 题型四、与对顶角、余角、补角、直角有关的旋转综合问题 13.(25-26七年级上湖南长沙期末)点A、0、B三点在同一条直线上，∠C0D=90°，OE平分∠C0B, (本题中所有角均指小于180°的角) E F 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若∠E0D=20°，求∠A0C的度数. (2)如图2，过点O作射线0F,满足LA0F=4LE0D,求∠FOB与∠D0B的数量关系， (3)如图3为初始位置，∠C0D=90°，直角三角形B0D(其中∠B0D=20°)如图放置，将射线0C绕点0 以6°每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形B0D绕点0以2°每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转 的过程中，OE始终平分∠COB,设旋转的时间为t秒(0<1<30)，在射线OE、OD、OB中，当其中有 一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求t的值. 14.(25-26七年级上河北唐山期末)已知如图1，∠A0B=130°，0M是∠A0B的平分线. A D B B(C) B 图1 图2 图3 (①)LBOM的度数为 (2)如图2，已知LC0D=80°，将0C与OB重合，且0D在∠A0B内部，作射线ON平分∠C0D.求∠M0N 的度数， (3)将图2中的∠C0D绕点O顺时针旋转n°(0<n<50)得到图3，旋转过程中ON始终平分LC0D. ①通过推理说明∠MON与旋转角度n°之间有怎样的数量关系？ ②当∠MON与∠AOC互补时，的值为 (直接写结果). 15.(25-26七年级上山东日照期末)如图①，点0为直线AB上一点，将一直角三角板M0N如图摆放 (∠M0N=90),过点0作射线0C. 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 备用图 (I)如图②，若∠B0C=35°，则∠M0C= o (2)将图①中的直角三角板MON绕点O转动一定的角度得图③，若边OM恰好平分∠BOC,问：ON是否平 分∠AOC?请说明理由. (3)将图①中的直角三角板MON绕点O顺时针转动180°，在转动过程中，若0C平分∠B0M,请直接写出 ∠AOM和∠NOC之间的数量关系. 题型五、与对顶角、余角、补角、直角有关的新定义综合问题 16.(25-26七年级上·四川达州期末)若∠A+2∠B=90°，我们则称∠B是∠A的绝美角”.例如：若 ∠1=10°，∠2=40°，则∠2是∠1的“绝美角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝美角”. A B D 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，己知LA0B=80°，在∠A0B内存在一条射线0C,使得∠AOC是∠B0C的绝美角”，此时 ZAOC= °；（直接填写答案） (2)如图2，己知LA0B=80°，若平面内存在射线0C、0D(0D在直线OB的上方)，使得∠A0C是 ∠B0C的绝美角”，∠B0C+∠B0D=180°，求LAOD大小； (3)如图3，若A0B=10°，射线0C从OA出发绕点0以每秒20°的速度逆时针旋转，射线0D绕点0从OB 出发以每秒12°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,运动时间为t秒，当0<1≤17时， 若∠AOB是∠MON的“绝美角”，求出此时t的值. 17.(25-26七年级上陕西渭南·期末)【概念理解】 新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我 们称射线OP为∠MON的n倍分线.例如，如图1，∠MOP=4∠NOP,则OP为∠MON的4倍分线 ∠NOQ=4∠MOQ,则00也是∠M0N的4倍分线. 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 【数学思考】 (1)如图1，若∠MOQ=10°，则∠N0P的度数为 【初步应用】 (2)如图2，∠AOC与∠B0C互为补角，若0P,0Q分别为∠AOC和∠B0C的3倍分线 (LC0P>LP0A,LC00>L00B),求LP00的度数； 【问题解决】 (3)如图3，点O在直线AB上，从O点分别作射线OM、OC、ON、OP,己知LMON=80°，且射线 OM、ON恰好分别为∠AOC和∠B0C的3倍分线（∠MOC>∠AOM,∠BON>∠CON),OC是∠M0P的平分 线，求∠MOP的度数. 18.（25-26七年级上·安微滁州期末)【定义理解】 如图1，已知∠A0B,射线0C在其内部，∠A0C=a,∠COB=B(a>0°，B>0°，且a+B=∠AOB) 0D平分∠AOC,OE平分LC0B,记∠D0E=6,若a与O互补或B与O互补，则称∠AOC与LC0B为一 对“分补角”. D E B B 图1 图2 (1)如图2，∠A0B=180°，a=60°. ①LD0E=°； ②判断∠AOC与C0B是不是一对“分补角”？并简要说明理由. (2)己知LA0B=150°，且∠A0C与LC0B是一对分补角”. ①若a=105°，求B的值； ②若B=45°，求a的值. (3)若LA0B=m?0<m<180),且∠A0C与∠C0B是一对“分补角”. ①用含m的代数式表示0： ②设与0互补，试求与B的关系（用含m的代数式表示）. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26七年级上·云南昭通·期末)若一个角的补角为145°，则这个角的余角为() A.55 B.65° C.75 D.85 2.(25-26七年级上·山西临汾·期末)如图，用量角器测得∠A0B的度数为105°，则∠C0D的度数为() B A.75° B.100° C.105° D.115° 3.(25-26七年级上江苏南京期末)如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a, 垂足为点B,PA⊥PC,则下列正确的语句是() B C A.线段PC的长是点P到直线a的距离 B.线段PC的长是点C到直线AP的距离 C.线段AC的长是点A到直线PC的距离 D.线段AC的长是点C到直线AP的距离 4.(25-26七年级上·全国·期末)如图，某公园的中心广场为点O,望江亭A在点O北偏西60°方向，荷花 池B在点O南偏东30°的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是() 北 M 609 45 30° B 南 A.∠BOP与∠AOM互为补角 B.OC平分∠AOB C.∠A0P与∠BOC互为余角 D.∠BOM>∠COQ>∠AON 5.(25-26七年级上·贵州铜仁期末)如图，在同一平面内，∠A0B=∠C0D=90°，0F平分LA0D,点E为 OF反向延长线上一点，点H为OC反向延长线上一点，给出下列四个结论：①∠AOC=∠B0D;② 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A0D+∠B0C=180°；③∠B0C-∠A0D=90°；④LC0E+∠B0F=180°.其中正确的是() D B E A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级上河北邯第期末)已知一个角的余角是这个角的补角的子 则这个角的度数是一· 7.(25-26七年级下·全国周测)如图，己知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5 ,点D从点A到点B沿AB方向运动.若CD=x,则x的取值范围是」 A D 8.(25-26七年级上湖北咸宁·期末)如图，直线MN上有一点O,作射线OP,使得M0P=126°，则 ∠VOP=一°；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，∠A0B=90°，若OB始终在 ∠PON的内部，则∠AOP-∠BON=°. D M 9.(25-26七年级上安微蚌埠期末)如图所示，已知∠A0B:∠B0C=1:2. B (1)若∠A0C=66°，则∠A0B= (2)若∠A0C的余角比∠B0C小30°，过点0作射线0D,使得∠A0C=5∠A0D,则 LCOD=_ 10.(25-26七年级上安徽合肥期末)定义：从La(45°<∠α<90)的顶点出发，在角的内部作一条射线， 若该射线将∠a分得的两个角中有一个角与∠a互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”. 8/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若0C平分∠A0B,且0C为∠A0B的“分余线”，则∠A0B=: (2)如图∠A0B=152°，在∠AOB内部作射线0C,OM,使OM为∠AOC的平分线，在∠BOC的内部作 射线ON,使∠BON=2LCON.当OC为LMON的“分余线”时，则∠BOC的度数为一 三、解答题 11.(25-26七年级上·全国期末)已知直线AB和CD相交于点0（∠A0C为锐角）. F C 图1 图2 (1)填空：如图1，图中有」 对相等的角（平角除外），分别是 判断的依据是 (②)如图2，作LC0E=90°，OF平分LC0B,求LA0F-∠E0F的度数； (3)在(2)的条件下，若∠A0C:∠C0F=2:5,射线OM在∠B0E内部，将∠B0E分成1：3两部分，求 ∠FOM的度数， 12.(22-23七年级下·福建莆田期中)如图，直线AB,CD相交于点O,ON为∠A0D内部一条射线，且 ∠AON:∠NOD=2:3. D M (1)若∠B0C=75°，求∠A0N的度数. (2)若∠B0C=75°，OM平分∠B0N,则OB是LC0M的平分线吗？请说明理由. 3)若OM1ON,则2∠40C-∠DOM是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由. 13.(25-26七年级上广东江门期末)O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线0C,将一块三 角板DOE的直角顶点与点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上 方) 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BOC=65°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠C0D= °，∠A0C= 0; (②)如图2，若将三角板D0E绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠B0C的平分线，试 说明OD也是∠AOC的平分线； (3)如图3，旋转射线0C和三角板DOE,始终满足0C平分∠BOD,当∠AOD=78时，求LC0E的度数， 并根据结果，猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系，并证明. 14.(25-26七年级上河南漯河·期末)设LA0C=a,∠COB=B(0°<<180°，0°<B<180°)，0D, OE分别是∠AOC,∠COB的角平分线，记∠D0E=0.如果，0互补，或者B,0互补，则称∠AOC,∠C0B 是一对“分补角” 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A0B=120°，0C在∠A0B内，∠A0C=50°.分别作∠A0C、∠C0B的角平分线0D,OE ∠D0E=°，∠AOC,∠C0B一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若L40C=126°，∠COB=(0°<阝<90)，有两种情况，如图2、图3所示，且∠A0C,∠C0B是一对“分 补角”，求B的值； (3)若∠A0B=140°，当0C在∠A0B外部时，∠A0C和∠C0B是一对“分补角”，直接写出∠A0C的度数. 15.(25-26七年级上·浙江台州期末)如果两个角的和是100度，我们称这两个角互为“百角”，简称“互百”， 也可以说一个角是另一个角的百角.例如，∠1=65°，∠2=35°，则∠1与∠2互为百角 0 0 图1 图2 备用图 (1)如果∠A和∠B互为百角，∠A=70°，则∠B=度； (2)若∠A和∠B互为百角，∠B和∠C互为余角，则∠A与∠C有怎样的数量关系？请说明理由： (3)如图1，点O在直线AB上，∠C0D绕点O旋转，OE是∠B0C的角平分线 ①如图2，若LC0D=90°，∠COD在直线AB的上方，当LCOE和∠BOD互为百角时，求∠BOD的度数； 10/11