高二数学下学期第一次月考（人教A版选择性必修数列+导数，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】由得 由题意，直线的斜率为，则，解得. ∴，∴切点为 ∴切线方程为，即. 所以，. 故选：B. 2．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 3．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 4．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 6．若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，恒成立，则， 令，则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，，， 故选:B. 7．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 8．已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为， 因为，所以令，则. 因为， 所以，所以， 所以的图象关于对称. 对求导得. 因为，所以， 所以，所以，所以在上单调递增， 要使得，则使，即， 所以且，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，且，， ，即在上是减函数， 又，，，B、D正确， 令，则， ，在上是减函数， 由，得，故C正确. 故选：BCD 10．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由得，， 则，，，，， ， 又，，所以.故A正确. 选项B：由得，， 则，，，，， 所以 .故B错误. 选项C：用数学归纳法证明成立. 当时，，成立； 假设当时，成立， 当时，成立，满足规律， 故成立. 令，则，故C正确. 选项D：由得，， 则， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则（   ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数有唯一零点 C．对于任意的，函数与零点个数相同 D．当时，若有，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】对A，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故正确； 对B，，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个有零点；故错误； 对C，当时，由A、B选项可知函数与均没有零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有一个零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有两个零点； 所以对于任意的，函数与零点个数相同，故正确； 对D，当时，， 由， 则，令，， 所以，恒成立，所以函数在单调递增， 所以. ，令， 则，若，；若，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在有最大值为，即的最大值为 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题可得， 令，得， 令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为：，；减区间为：， 可得极大值为，极小值为， 时，；时，， 的大致图象如图， 若函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 观察图象得，或时仅有一个公共点. 故答案为：. 13．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数______． 【答案】7 【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有， 所以，则， 于是， 所以，即， 所以最小整数. 故答案为：7． 14．已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即． 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，，. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)是否存在实数，使对恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在实数，理由见解析. 【详解】（1）当时，， ，切线的斜率，又. 所以函数的图像在点处切线的方程为： ，即. （2）假设存在实数，使对恒成立，则,又，解得， 即， ，即对，恒成立， 令，则 ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故当时，取得最大值， 只需时，即可.① 令，， 则，显然， 故在上单调递增，即， 故，当时, 这与上面①式矛盾. 故不存在实数，使对恒成立. 16．（15分） 已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1），， ，即， 解得. （2）有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列，，则. （3） ，故数列的前项和. 17．（15分） 已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得， 解得， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 18．（17分） 已知函数. (1)当时，，求的最大值； (2)证明：曲线的图象是轴对称图形； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为， 由于，即， 由于，故 由于故，当且仅当取到等号， 因此，故，故 （2）的定义域为，关于对称， 任意的，则， 故， 故的图象是轴对称图形，且关于对称， （3） 令，则， 记，， 当时，，故， 此时在上单调递减， 故，符合题意， 当时，令，则， 故当时，在单调递增， 当，在单调递减，故， 由于，故，不符合，故舍去， 综上可得 19．（17分） 已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（    ） A．1 B． C．0 D． 2．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 4．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 10．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数有唯一零点 C．对于任意的，函数与零点个数相同 D．当时，若有，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是______. 13．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数______． 14．已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，，. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)是否存在实数，使对恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（15分） 已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 17．（15分） 已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 18．（17分） 已知函数. (1)当时，，求的最大值； (2)证明：曲线的图象是轴对称图形； (3)若，求的取值范围. 19．（17分） 已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 B D D D D B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD ACD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（-0,-2)U(2,+o∞j 13.7 14.(0,e] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)当a=1时，f(x)=(x-1lnx, f(d=1+血x-切线的斜率k=f(e=2-,又fe)=e-1 所以函数f(x)的图像在点(e,f(e)处切线的方程为： -e-=23x-e小，即2--e4分) (2)假设存在实数a,使f>g到对x∈（日“ 恒成立，则a>1又a≥1，解得a>1, --a)lo(aj>xi-a+2}1--- nam<x石，即对xe行o,a(a四-x+<0恒成立，6分) 令AM对=ln(四)-x+,则 (x=1-1=1, 1/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当1<x<1时，(x>0,函数h(x单调递增，(8分) a 当1<x<a时，h'(x<0,函数hx)单调递减，(9分) 故当x=1时，h)取得最大值1)=na-1+,(10分) 只需a>1时，na-1+1<0即可.① 令px=nx+1-1,x>1, 则o1-士-分显装010， 故p(x在(1，+0）上单调递增，即p(x)>p(1=0, 放na-1+>0,当a>1时， 这与上面①式矛盾 儆不存在实数a>1,使x)>gx)对x∈2a恒成立13分 16.(15分) 【详解】(1)a=1,√a-a,=4a, 回-a-4,即6-1=4 解得a2=4.(5分) (2)有(1)得a-a,=44,=l, 所以{a}是首项为1，公差为1的等差数列，√a=n,则a,=n2.(10分) 3“1-=1=111 an+ya n+n (n+1)nnn+l 双1好+片 1 ，故数列 的前项和S=”(15分) an+an n+1 17.(15分) 【详解】(1)数列{an}中，a1+3a2+5a+…+2n-1an=(n-13”+1, 当n≥2时，a1+3a2+5a,+…+(2n-3an-1=(n-2)3m-+1, 两式相减得(2n-1an=(2n-1小·3”-， 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得an=3, 当n=1时，a=1,满足上式， 所以{a}的通项公式为a,=3”.(7分) (2)由1)知，4，=3,1-+1 n+1’d。3, 1- 两式相减得2工，=2 111n+1.2+33, 332++ n+152n+5 3 3-13” 1- 3”22.3” 3 152n+5 所以7=443.15分) 18.(17分) 【详解】(1)f(x=a(x-1)2+ln2x-x2),aeR的定义域为(0,2)， f(x)=2ax-l0+2x- 2-2x 由于/1到s0,审2ax-小*2s0,3分y 由于1<x<2,故a≤。1 2x-x(4分) 由于1<x<2,.2-x>0,故2x-x2=x(2-x刘≤ =1,当且仅当x=1取到等号，(5分) 因此0<2-f1,放2x1,微016分) (2)f(x)=a(x-l)2+ln(2x-x2),aeR的定义域为(0,2)，关于x=1对称， 任意的xe(0,2),则2-xe(0,2), 故f(2-x=a(2-x-l'+n2(2-x)-(2-x2=a(x-l2+n(2x-x2)=fx, 故∫(x)的图象是轴对称图形，且关于x=1对称，(10分) (3)f(x)=a(x-l2+ln(2x-x2)=a(x-l2+n-(x-12+1, 令t=(x-1)2,则t∈[0,1， 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()=at+m(+1),te(),g()=a+ =a+- -1 ·(12分) 当a≤1时，1-1e-10(-0.a+s0,故81≤0， t-1 此时gt在t∈0,1上单调递减， 故gt≤g0)=0+ln1=0,符合题意，(14分) 当a>1时，令g=a+=0,则1=1日 故当1e01-时，g0>0,gd在10,1-日单调递端。 当e-g0c0e间在-调递减，微eo<-》 由于e10=0,成1->0，不符合到s0,改舍去，16分> 综上可得a≤1(17分) 19.(17分) 【详解】(1)f(2)=f1=1,∫(3)=3，f(4)=f(2)=1,f(5)=5, f(6)=f(3)=3,f(7)=7,f8)=f(4)=1, 所以f(2)=1,f(3+f(4)=3+1=4,f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=5+3+7+1=16;(6分) (2)a,=f(2)=1,a2=f(3+f(4)=4,a,=f(5)+f(6)+f(7+f(8=16, 所以猜想an=4"-, 当n=1时，a1=4°=1，成立，(8分) 假设当n=k时，命题成立，即a=4-, 即a=f(2-+1+f(21+2+f(2*+3)+f(2+4)+…+f(2)(10分) 那么当n=k+1时，a1=f(2*+1+f(2+2+f(2*+4)+…+f(2)）, =[f2*++f(2+3列+…+f2+2*-]+[f2+2+f(2+4到+…+f(2+2] =(2+l+(2+3+…+(2+2-刂+[f(2+1+f(2+2)+…+f(2)】], =22+21+2*-+44, 2 4/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =22h-1+22-2+4-1 _车+4+4=4华=4n, 十 244 所以当n=k+1时，猜想成立，(15分) 综合以上可知，当n∈N时，an=4"-成立.(17分) 5/5