专题8.3 三角形的中位线+8.4 梯形（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

本讲义聚焦三角形中位线与梯形核心知识点，系统梳理三角形中位线定义、定理及中点四边形性质，衔接梯形定义、等腰梯形与直角梯形的性质判定，构建从三角形到四边形的知识支架，助力学生形成完整的几何认知体系。 资料通过实际测量问题（如估测A、B距离）培养数学眼光，辅助线添加技巧（作高、平移一腰）训练推理能力，符号语言与模型应用（中点四边形表格）强化数学表达。多样题型设计兼顾课中教学与课后查漏，有效提升学生逻辑推理与实际应用能力。

8.3 三角形的中位线+8.4 梯形 教学目标 1.理解三角形的中位线的概念，经历探索三角形中位线定理的证明过程，理解三角形与四边形之间的关系，体会转化思想。 2.能运用三角形中位线定理进行证明和计算，提升逻辑推理能力。 3.理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，经历探索梯形、三角形和平行四边形之间的关系的过程，提升推理能力。（新增内容） 4.能运用中位线推导中点四边形的相关性质与计算。 教学重难点 1.重点 （1）准确理解‌中位线定义‌，区分于“中线”； （2）掌握并熟练应用‌中位线定理‌进行计算与证明； （3）等腰梯形的‌性质与判定定理‌的准确掌握；梯形‌中位线定理‌的理解与应用。 2.难点 （1）能在复杂图形中识别中位线结构；培养解决实际测量问题的建模能力； （2）辅助线的合理添加‌：如“作高”“平移一腰”“延长两腰”等技巧的灵活运用。 知识点01 中位线 1）三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（median line of triangle）。 2）三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵DE是三角形ABC的中位线；∴DE//BC，DE=BC。 3）中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 菱形 对角线垂直的四边形 矩形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 【即学即练】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴(米) ．故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ，分别是的中点，∴ 是的中位线，∴ ，． ∵ ，分别是的中点，∴ 是的中位线． ∴ ，．取的中点，连接． ∵ 是中点，是中点∴ （三角形中位线定理） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ，∴ （两直线平行，同位角相等）． ∴ ． ∵ ，∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵ ，∴ （两直线平行，内错角相等）． ∴,∴ ． 结合已知，得 ． 在中，由勾股定理得．故选：． 3．（2026·安徽·一模）如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解： 取的中点，连接，∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ，四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形，＝， ＝，＝，＝，四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形，，∵，， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形，＝，， ＝，＝，＝，四边形是菱形； ，，，， 四边形是正方形．（④正确）正确的是①④．故选：B． 知识点02 梯形（新增内容） 1）梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形（trapezoid），如图1。 图1 图2 图3 2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形（isosceles trapezoid），如图2。 3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形（right trapezoid），如图3。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点，∴，①正确； ∵，∴∴， ∴，∴，即，②正确；和不一定相等，故③错误； ∵∴∴∴，④正确；故选：C． 2．（2025·四川遂宁·校考一模）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作，，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵四边形是等腰梯形，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴等腰梯形的周长为，故选：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，梯形中，，，平分，若，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形． 梯形中，，，，， 平分，，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， ，，故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意；故选：D． 5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：；(2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形，∴，由折叠得，， ∵，∴，∴，即， 在和中，，∴，∴； （2）证明：由折叠得，∵，∴， 又，∴，又，∴， ∵，∴，四边形是梯形 ∵，∴,∴,∴，∴四边形是等腰梯形． 题型01 与三角形中位线有关的计算 1．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 【答案】8 【详解】解：∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O，∴点是中点， ∵是中点，∴是的中位线，∵，∴． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段______． 【答案】/ 【详解】解：∵，，，∴， ∵是的角平分线，，∴，， 又，，，， 又E是斜边的中点，是的中位线，， 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，点D，E分别是，的中点，作平分交于点F．若，，则的长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【详解】解：∵是中点，，， ∵是的平分线，，， ，，． 4．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 【答案】1 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，，∴，， ∴四边形的周长为． 题型02 三角形中位线的实际应用 1．（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【详解】解：由题可得：、为、的中点，是的中位线，， ，． 2．（25-26八年级下·江苏周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴．∴是的中位线．∴． ∵，∴． ∴小朋友离地的最大距离为．故答案为：． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 【答案】84 【详解】解：∵M、N是、的中点，∴， 又米，∴米，即A、B间的距离约为84米，故答案为：84． 题型03 三角形中位线（辅助线问题） 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【详解】解：取的中点，连接，如图，是的中点，是的中点， 是的中位线，平行于，， ∵四边形是平行四边形，，平行于， 是的中点，，平行于，， ∴四边形是平行四边形，， ，是的中点，，．故答案为：3． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 【答案】5 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 、分别是、的中点，，，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，，，， ，在中，，故答案为：5． 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形，∴是的中点． ∵是的中点，∴是的中位线，∴，且． ∵，是的中点，∴，，∴是的中点． 又∵是的中点，∴是的中位线，∴． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 【答案】2 【详解】解：如图，延长，交于点M， ∵平分，，∴，∴，， 又∵F是的中点，∴为的中位线，∴． 题型04 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点，∴，同理，， ∵，∴．∵，∴. 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵，∴， ∵F是的中点，∴，∴，∴， ∵E是的中点，∴是的中位线，∴； （2）解：由（1）知是的中位线，∴， ∵，∴，∴． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：；(2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵，平分，∴是的中点， 又∵是的中点，∴是的中位线，∴； （2）解：∵是的中位线，∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6，∴， 又∵是的中点，∴，∴的面积为． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：；(2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，，∴为斜边的中点， ∵为的中点，∴是的中位线，∴，，∴， ∵平分，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵在中，为斜边的中点，∴， ∵，∴，∴矩形的面积=． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点．(1)求的长；(2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，∴是等腰三角形， ∵平分，∴是边上的中线，∴点D是的中点， 又∵点E为的中点，∴是的中位线，∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线，∴． 题型05 中点四边形 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，，∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴．∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】(1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论；(2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析(2)或 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点，∴． 分别为的中点，∴．∴，同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点，∴，∴， ∵分别为的中点，∴，∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点，∴，∴， ∵分别为的中点，∴，∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形(2)成立，见解析(3)四边形是正方形，见解析 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形，，， ，，，， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ，四边形是菱形；故答案为：菱形； （2）答：成立，理由：连接、， ∵是等边三角形，， ，，，， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，，，四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由：连接、， （2）中已证，，，， ，，． （2）中已证、分别是、的中位线，，，， （2）中已证四边是菱形，菱形是正方形． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． (2)问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 【答案】(1)①见解析；②垂直且相等(2)见解析(3)4 【详解】（1）证明：①∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线，∴， ∴，∴四边形是平行四边形；∴； ∵，∴；∵是的中位线，∴， ∴；∴四边形是矩形；∵，，∴， ∴四边形是正方形，∴四边形是“中方四边形”； ②根据①的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时，四边形是“中方四边形”， 故答案为：垂直且相等； （2）证明：如图，连接，∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，∴， 即；∴，∴； ∵，∴； ∵，，∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形，∴； ∵的中点分别是E、F、H，∴分别是的中位线， ∴，∴， 故当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，且最小值为． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】：（3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 5．（25-26九年级上·成都·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________；②________； 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用：（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点，∴， ∴，故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， 又∵，∴，∴四边形是菱形， ∵，∴． 又∵，∴，∴，∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下：如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，∴， ∵F，N分别是的中点，∴，∴． 题型06 三角形的中位线与最值 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接，是的中位线，是的中位线，∴． ∵，四边形是菱形，∴是等边三角形， ∴∴，， ∴，∴． ∵，∴的最大值为．故答案为：． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】3 【详解】解：连接，， 点分别为的中点，，当取得最大值时，取得最大值， 当与重合时，取得最大值，此时， 取得最大值为，故答案为：． 3．（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：由题意知，，，∴四边形是平行四边形， 又∵，，∴，∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点， 当点为的中点时，连接，则为的中位线，∴，，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形， ∴，解得：，∴，即的最小值是． 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【详解】解：连接，如图，∵E，F分别是的中点，∴是的中位线，∴， ∵点R在上从点B向点C移动，∴先变小再变大，∴线段的长先变小再变大．故选：B． 5．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点，∴是的中位线，又，∴， ∵在中，，，∴，∴， ∵，当B、F、E共线时取等号，如图；∴的最小值为，故选：C． 题型07 梯形的中位线 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【答案】10 【详解】解：在等腰梯形中，，∴，， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵是中位线，且，∴，即，，故答案为：10． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：， 【详解】解：知识回顾：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线，∴，；故答案为：，． 知识应用：，，理由如下：连接并延长交的延长线于点G， ∵，∴，， ∵N是的中点，∴，∴，∴，， ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∵，∴． 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在四边形中，，点E，点F分别为，的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． ∵，∴，， 又∵是的中点，∴， 在和中，，， ∴，∴是的中点， ∵是的中点，是的中点，∴是的中位线．∴， ∵，且，∴，∴． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题：如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【详解】解：，，， 平分，，，， 同理可得，， ∵梯形的周长为，，． 题型08 （等腰、直角）梯形的定义 1．（25-26八年级下·成都·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意.故选：D． 2．（25-26八年级下·重庆·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确．故答案为②④． 3．（24-25八年级下·成都·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确；③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 题型09 等腰梯形的性质定理 1．（23-24七年级下·四川广安·月考）如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴，∴，故选∶C． 2．（24-25八年级下·广东·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵，∴，∵四边形是等腰梯形，∴， ∴，∴， ∵，∴∴，， ∴，∴∴，∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明，故D不符合题意，故选：D． 3．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形，∴， ∵为正三角形，∴， ∴，， 又∵，∴，， ∴，， ∴，故选：C． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵，，∴四边形为等腰梯形，∴，∴， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴E为的中点，∴，∴， ∴四边形的面积，故答案为：． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为______．    【答案】30 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，∵的面积为，，∴，∴， ∵四边形是等腰梯形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，同理可得， ∴，∴，故答案为：30．    6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知梯形，，，． (1)求的度数；(2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴∴； （2）如图所示，∵，∴，，∴， ∵，∴，在中，．在中，． 题型10 等腰梯形的判定定理 1．（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵，∴，， ∴，∴，，， ∵，∴，∴，∴四边形是梯形， ∵，∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误；故选C． 2．（2025·上海黄浦·校考一模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意；故选：． 3．（24-25八年级下·山西太原·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务：(1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形，；求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 【答案】(1)见解析(2)同一底上的两个角相等，真 【详解】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线交于点，    ，，，四边形是平行四边形，， ，，，， ，，，． 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，， ，，，， 四边形是矩形，，，，， ，，，． （2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题 已知：如图2，四边形是梯形，．求证：梯形是等腰梯形． 证明：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，， 四边形是梯形，，， ，四边形是矩形，， 在和中，，，， 梯形是等腰梯形，故答案为：同一底上的两个角相等，真． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点，∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知，∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∵F是的中点，∴，∴，∴四边形是等腰梯形． 1．（25-26八年级下·广东·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形，∴， ∵点P，Q分别为，的中点，∴，， ∵，∴，由勾股定理得，∴， ∴四边形的周长为． 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：在矩形中，，， ，，即点F是边的中点， 点是边的中点，为的中位线，．故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；故选：． 4．（25-26九年级上·广东河源·期末）已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 【答案】A 【详解】解：如图，∵矩形的对角线相等，∴， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为．故选：A． 5．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点，分别为边，的中点，是的中位线， ，且，同理可证，，且， ，且，四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点，是的中位线，， ，，四边形为矩形， ，， ．故选：A． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴，∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时，∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，，∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意；故选：D 7．（2025·安徽马鞍山·三模）若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，四边形满足， 当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意； 当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意； 当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意； 当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意．故选：A． 8．（24-25八年级下·上海·月考）下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，故为假命题； ②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形，故为真命题； ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题； ④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题．∴真命题的有2个，故选：B． 9．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ，四边形是一个等腰梯形，，，， ，的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差，故选：． 10．（24-25八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意易得，，    ，，根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵，，，， 则此梯形的面积等于．故选：A． 11．（25-26八年级下·江苏课后作业）如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，,， 在和中，,， ，，, 为的中点，，是的中位线，． 12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰梯形中，，，，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为________．    【答案】4或或2． 【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，    等腰梯形中，，，，，， ，，四边形是矩形，，， ，， 在和中，，，， ，， ，在中，， ，，， ，，是等腰直角三角形，， 在中，，； ②如图2，当时，  ， 等腰梯形中，，，， ，， ，，， ，，； ③如图3，当时，  等腰梯形中，， ，，， ，在中，， ，， ，是等腰直角三角形，， 在中，；综上所述，CF的长为3或5﹣4或2． 故答案为：4或或2． 13．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___． 【答案】 【详解】解：如图：连接，过点作于点，并延长，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴，∴四边形是矩形， ∵点为的中点，∴，∴，∴，， ∵，∴，∵点为的中点， ∴，∴，∴，∴，故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线，，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，，， ，，为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为．故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形；(2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，∴∴， ∵，∴，∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 由勾股定理得， ∴，则． 16．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形；(2)求证． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，是的中点，，， ，，， ，，，四边形是等腰梯形． （2）证明：如图，延长到，使，交于，连接， ∵是边的中线，，∴，∴， ∵四边形是等腰梯形，∴，， ∴，∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴． 17．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．    (1)求直线的表达式；(2)求四边形的面积；(3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)(2)(3)、 【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，解得，∴， 设直线的表达式为，把点、分别代入，得， 解得，∴直线的表达式为； （2）解：作轴，垂足为H，    ∵点、、，∴ ∴； （3）解：、. ∵以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形，∴四边形中有一组对边平行， ①当时，∵，∴；    ②当时，设直线的解析式为， ∵，∴，∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为， 当时，，解得，∴； 综上，符合条件的点F有两个：、． 18．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发．(1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？(2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？(3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1)(2)(3)7 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵，即，∴当时，四边形为平行四边形， 即，解得：，即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴，∴，即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E，则四边形为矩形， ∴，∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形，∴，， 在和中，，∴， ∴，∴，即，解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，，， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点，，，， ，，， 点P、Q分别为、的中点，； （2）解：，理由如下：如图，延长到T，使得，连接， ，，，，， ，，，， ，是的垂直平分线，，；       （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，， ，是等腰直角三角形，，． 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】（3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，∴，， ∵，，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． （2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，，∴是等边三角形，， ∵，是等边三角形，∴，， ∵，，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵点在线段上，∴， 设，则，∴， ∵，∴，解得：，∴， ∵，，∴， ∴在中，； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵，，∴， ∵，是等边三角形，∴，∵点是的中点， ∴，∴，即， 又∵点是的中点，∴，∴，而，∴． 21．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】（3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 【答案】（1），；（2）D、E分别为的中点，，图见解析（3）见解析 【详解】解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ，，为的中位线．， 又四边形是矩形．，， 和的位置关系为，故答案为：；； （2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和处． 故答案为：D、E分别为的中点，，； （3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． 22．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）： (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格： (3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2；；菱形；证明见解析（答案不唯一） 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：当，但与不垂直时，四边形为菱形； 当，时，四边形为矩形； 当，时，四边形为正方形； 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2； 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是菱形； ∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ∴，， ∵，∴，∴四边形为菱形； 选择图3；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ，， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴四边形为矩形； 选择图4；已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，，，， ∴，，∵，∴，∴四边形为菱形； ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴四边形为正方形． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 三角形的中位线+8.4 梯形 教学目标 1.理解三角形的中位线的概念，经历探索三角形中位线定理的证明过程，理解三角形与四边形之间的关系，体会转化思想。 2.能运用三角形中位线定理进行证明和计算，提升逻辑推理能力。 3.理解梯形、等腰梯形和直角梯形的概念，经历探索梯形、三角形和平行四边形之间的关系的过程，提升推理能力。（新增内容） 4.能运用中位线推导中点四边形的相关性质与计算。 教学重难点 1.重点 （1）准确理解‌中位线定义‌，区分于“中线”； （2）掌握并熟练应用‌中位线定理‌进行计算与证明； （3）等腰梯形的‌性质与判定定理‌的准确掌握；梯形‌中位线定理‌的理解与应用。 2.难点 （1）能在复杂图形中识别中位线结构；培养解决实际测量问题的建模能力； （2）辅助线的合理添加‌：如“作高”“平移一腰”“延长两腰”等技巧的灵活运用。 知识点01 中位线 1）三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（median line of triangle）。 2）三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵DE是三角形ABC的中位线；∴DE//BC，DE=BC。 3）中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 菱形 对角线垂直的四边形 矩形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 【即学即练】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2026·安徽·一模）如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 知识点02 梯形（新增内容） 1）梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形（trapezoid），如图1。 图1 图2 图3 2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形（isosceles trapezoid），如图2。 3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形（right trapezoid），如图3。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·四川遂宁·校考一模）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，梯形中，，，平分，若，，则的长为________． 4．（25-26八年级下·江苏·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：；(2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 题型01 与三角形中位线有关的计算 1．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段______． 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，点D，E分别是，的中点，作平分交于点F．若，，则的长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 4．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 5．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 题型02 三角形中位线的实际应用 1．（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 2．（25-26八年级下·江苏周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 题型03 三角形中位线（辅助线问题） 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 题型04 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证：(1)；(2)． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接．(1)求证：；(2)若四边形的面积为，求的面积． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分．(1)求证：；(2)若，，求矩形的面积． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点．(1)求的长；(2)求证：． 题型05 中点四边形 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，，∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴．∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】(1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论；(2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． (2)问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】：（3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 5．（25-26九年级上·成都·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________；②________； 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用：（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 题型06 三角形的中位线与最值 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为___________． 3．（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 5．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型07 梯形的中位线 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在四边形中，，点E，点F分别为，的中点，连接．求证：． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题：如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 题型08 （等腰、直角）梯形的定义 1．（25-26八年级下·成都·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2．（25-26八年级下·重庆·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 3．（24-25八年级下·成都·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 题型09 等腰梯形的性质定理 1．（23-24七年级下·四川广安·月考）如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级下·广东·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是______． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为______．    6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知梯形，，，． (1)求的度数；(2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 题型10 等腰梯形的判定定理 1．（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·校考一模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 3．（24-25八年级下·山西太原·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务：(1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形，；求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 1．（25-26八年级下·广东·课后作业）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东河源·期末）已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 5．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 7．（2025·安徽马鞍山·三模）若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·上海·月考）下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 10．（24-25八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·江苏课后作业）如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰梯形中，，，，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为________．    13．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形；(2)当，，求四边形的面积． 16．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形；(2)求证． 17．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标中，已知直线：与直线相交于点，且直线与y轴交于点．(1)求直线的表达式；(2)求四边形的面积；(3)在x轴上取一点F，如果以C、P、O、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点F的坐标． 18．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发．(1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？(2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？(3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 19．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】（3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 21．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】（3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 22．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）： (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，请填写表格： (3)证明与表达：根据上表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明）选择图______，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，______．求证：四边形是______． 1 / 17 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