专题8.3 三角形的中位线（知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“三角形的中位线”核心知识点，系统梳理三角形中位线的定义、定理及易错点，延伸至顺次连接任意四边形各边中点所得四边形的形状，构建从基础概念到拓展应用的学习支架。 资料通过4个题型讲练（求解、证明、实际应用、中点四边形）结合中考真题与分层训练，培养学生几何直观与推理能力，如中位线实际应用题型提升用数学眼光解决问题的意识，分层练习助力课后查漏补缺，兼顾课中教学辅助与学生自主巩固。

专题8.3 三角形的中位线 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点1：三角形的中位线 1 知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 2 题型讲练 2 题型1 与三角形中位线有关的求解问题 2 题型2 与三角形中位线有关的证明 5 题型3 三角形中位线的实际应用 10 题型4 中点四边形 14 分层训练 25 基础夯实 25 培优拔高 34 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 题型1 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理，由三角形中位线定理得，，，所以 整体计算，即可求解． 【完整解答】解： 是的中位线， ，，， ， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查矩形与折叠问题，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到．延长到K使，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得，即可求出线段的最小值为． 【完整解答】解：如图，延长到K使，连接，，   为的中点， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得：， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 【变式训练2】2025·江苏常州·二模）如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【完整解答】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，是的边上的中线，点是的中点，连接并延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】通过构造全等三角形，结合三角形中位线的性质，找出线段间的等量关系，进而求解 的比值．本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理和性质，通过构造中位线与全等三角形建立线段联系是解题的关键． 【完整解答】解：取 中点 ，连接 ． 是 中线， ， 又 是 中点， 是 的中位线， ，， 是 中点， ， ∵ ， ，， ， ， ，， ，即 ， 故选：． 题型2 与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】已知：点E为正方形边的中点，依据正方形的对称性，请仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出边的中点F； (2)在图2中，画出，垂足为点F． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】（1）利用正方形的对角线找到中心，连接并延长交于点，由三角形中位线性质可知，即，因为，所以，则四边形是矩形，再连接矩形的对角线找到矩形对角线的交点，连接，与相交于点，由矩形和正方形的性质可得，即可得垂直平分，即点为的中点； （2）利用正方形的对角线找到中心，连接并延长交于点，由三角形中位线性质可知，即，因为，所以，即线段即为所求； 【完整解答】（1）解：如图所示，点F即为所求． （2）解：如图所示，线段即为所求． 【考点再现】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，点D为内一点，平分，且交于点G，点E为边的中点，点F在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)写出线段之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据条件证明，得出，判定出为的中位线，得出，然后利用平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）根据（1）的结论，利用线段的和差即可得出结果． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：． 证明如下：由（1），得． ∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，点、、分别为、、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的判定得到，得到，根据三角形中位线定理得到，，等量代换即可证明． 【完整解答】证明：， ， ， ，即， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ， 同理可得：， ． 【变式训练3】如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换． （1）在的延长线上截取，证明，得到，，通过角度的等量代换证明，进而通过等角对等边证明，然后通过线段和差关系等量代换即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再通过中位线的性质得到，结合（1）所证得，，，从而通过线段和差关系等量代换证得． 【完整解答】（1）证明：如图所示，在的延长线上截取， 在和中， ， ， ，， 又∵ ， ， ， ， ； （2）解：在中，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线，且， 如图，在的延长线上截取， 由（1）可知，，， ， 综上，图中长度等于的线段（不包括）的有、、． 题型3 三角形中位线的实际应用 【典例精讲】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【完整解答】解： 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【考点再现】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式训练1】（21-22八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点B，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD＝AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝BC， ∴AE＝BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①错误； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB⋅AC，故②错误； ∵AB＝BC，OB＝BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，ADBC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OE＝AB＝BC，故④正确； 故选：A． 【考点再现】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ABE是等边三角形，OE是ABC的中位线是关键． 【变式训练2】（21-22八年级下·江苏徐州·月考）已知：如图，在中，E、F、M分别是各边的中点，是高． 求证： (1)； (2)若四边形是菱形，应满足什么条件______________（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）由已知得，FM为的中位线，，，同理，故．再根据直角三角形斜中半定理，可得，，通过等量代换，可证得． （2）由FE，FM分别为的中位线，得，，，，四边形CEFM是平行四边形．若要四边形CEFM是菱形，则有，即． 【完整解答】（1）证明：∵F、M分别是AB、AC边上的中点， ∴FM为的中位线， ∴， ∴． 同理可得，FE为的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵是的高， ∴， ∵E为BC边上的中点， ∴， ∴． 同理，， M为AC边上的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， 故． （2）解：若四边形CEFM是菱形，则应满足，理由如下： ∵E、F、M分别是各边的中点， ∴，， ∴四边形CEFM是平行四边形． ∵E、F、M分别是各边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形CEFM是平行四边形， ∴四边形CEFM是菱形． 故当时，四边形CEFM是菱形． 故答案为AC=BC 【考点再现】本题考查了中位线判定及性质，斜中半定理以及菱形的判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式训练3】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【答案】 【思路引导】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【考点再现】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 题型4 中点四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【思路引导】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【完整解答】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【完整解答】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）    (1)在图1中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，在边上画点Q，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． (3)在图2中，画出一个以为边的非正方形的菱形（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析，矩形 【思路引导】此题考查了菱形和正方形的判定、矩形的性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格的特点，正方形的判定进行作图即可； （2）根据正方形和矩形的中心对称性即可作图； （3）根据菱形的判定和勾股定理，三角形中位线定理、矩形的判定等知识作图和解答即可． 【完整解答】（1）解：如图正方形即为所求；    （2）解：如图    （3）解：如图，    连结此菱形各边中点所形成的四边形为矩形， 故答案为：矩形 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是 ， 证明你的结论． 证明： (2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形； (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) (3)菱形 【思路引导】（1）连接，利用三角形的中位线性质得出，，，，从而得到，，即可由平行四边形的判定定理得出结论； （2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直； （3）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直，故这样的特殊四边形是菱形． 【完整解答】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵E、F为边、的中点， ∴，， ∵H、G为边、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，当时，设于O，交于P，交于Q， ∵ ∴ 由（1）知：， ∴ ∵E、H为边、的中点， ∴ ∴ 由（1）知：四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形． ∴当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 故答案为∶ ． （3）解：如图，菱形四条边上的中点分别为E、F、G、H， 连接，相交于O， 交于P，交于Q， ∵菱形 ∴ ∴ ∵G、H为边、的中点， ∴， ∴ ∵E、H为边、的中点， ∴ ∴ 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为∶ 菱形的中点四边形是矩形． 【考点再现】本题考查中点四边形，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【演练1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【思路引导】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【完整解答】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 【演练3】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 【演练4】（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【完整解答】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 【演练5】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【完整解答】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 基础夯实 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【完整解答】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理求出的周长，再利用同样的定理求出三边中点围成的三角形的周长即可． 【完整解答】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，且，分别为，的中点．若，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】根据已知可求得为三角形的中位线，从而可求得的长，再根据平行线的性质及已知可得到，即求得了的长． 本题主要考查了等腰三角形的性质及中位线的性质的综合运用，熟练掌握是解决本题的关键． 【完整解答】解：∵，分别为，的中点， ∴ ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴． 故答案为：2． 5．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【思路引导】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【完整解答】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 6．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 【答案】52 【思路引导】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线平行且等于底边的一半是解题的关键． 根据是的中位线，即可作答． 【完整解答】解： 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：52． 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．连接，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形． 【完整解答】证明：连接．   是的中点，H是的中点， ∴，且， 同理可知，且， ∴，且， 四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，点D、E分别是线段的中点． (1)计算线段的长． (2)判断图中的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形中位线定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，则只需要利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由勾股定理求出的长，可得，再证明，据此可得结论． 【完整解答】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得， ∵点D、E分别是线段的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 9．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①②或①③，证明见解析 【思路引导】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定： （1）利用三角形中位线即可证明； （2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形． 【完整解答】（1）分别是的中点， 都是的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）选择①②： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 又∵， 四边形是正方形． 选择①③： 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， 点分别是的中点， 是的中位线， 四边形是正方形． 选②③： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 点分别是的中点， 是的中位线， 故四边形不一定是正方形． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【思路引导】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【考点再现】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 培优拔高 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【完整解答】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【考点再现】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 2．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【完整解答】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D，E，F分别是的中点，可得都是的中位线，利用中位线的性质即可求解题目． 【完整解答】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 4．（21-22八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则 ． 【答案】2.5 【思路引导】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【完整解答】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴, 故答案为：2.5． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【完整解答】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 6．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，四边形的对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接分别交，于点，，且，若，则 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，取线段的中点，连接、，由三角形中位线定理可得，，，，再根据平行线的性质得出，，从而得到，根据等腰三角形等角对等边得，进一步即可求的长度． 【完整解答】解：取线段的中点，连接、，如图所示． 、，分别为，，的中点， ，，，， ，． 又， ． ． ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【思路引导】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【完整解答】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【考点再现】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 8．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是线段，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定及三角形中位线的性质是解题的关键． （1）先利用矩形性质及中点条件证明，得，再结合三角形中位线定理证四边形是平行四边形，进而证其为菱形； （2）利用菱形面积与三角形面积的关系，结合矩形边长与菱形边长的联系，计算矩形面积． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，分别是，的中点，是中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ∵四边形是矩形，，分别是，中点， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，即， ∵菱形的面积， 又∵，是，中点， ∴， ∴，即， ∴矩形的面积． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将纸片沿边，的中点，折叠，使点的对应点落在边上，再将纸片分别沿和的底边上的高线，折叠．折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了折叠的性质，矩形的判定，三角形的中位线，平行四边形的判定，熟练掌握折叠的性质是解决本题的关键． 由折叠的性质可知，，，通过平角为可得，同理可得，再由，根据有三个角为直角的四边形为矩形即可证明；也可以通过中位线定理得到，，再根据折叠的性质得到，即可通过一组对边平行且相等证明四边形为平行四边形，最后根据有一个角为直角的平行四边形为矩形进行证明即可． 【完整解答】证明：由折叠的性质可知，，． ， ， ， 同理可得． 是的高线， ， 四边形为矩形． 【一题多解】证明：点，分别为边，的中点， ，． 由折叠的性质可知，，， ， ， 四边形为平行四边形． 为的高线， ， 四边形为矩形． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，连接，，相交于点M，． 【初步探究】 （1）如图1，求的度数； 【衍生拓展】 （2）如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，延长至点H，使，连接．试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）由为等边三角形，结合证明，得到，即可得到，最后根据三角形内角和求的度数； （2）延长至点Q，使，连接、，可得到，和都是等边三角形，即可证明，得到，再由是的中位线，得到，最后根据证明即可； 【完整解答】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点Q，使，连接、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 三角形的中位线 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点1：三角形的中位线 1 知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 2 题型讲练 2 题型1 与三角形中位线有关的求解问题 2 题型2 与三角形中位线有关的证明 3 题型3 三角形中位线的实际应用 5 题型4 中点四边形 6 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 题型1 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．    【变式训练2】2025·江苏常州·二模）如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则 ． 【变式训练3】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，是的边上的中线，点是的中点，连接并延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 题型2 与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】已知：点E为正方形边的中点，依据正方形的对称性，请仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出边的中点F； (2)在图2中，画出，垂足为点F． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，点D为内一点，平分，且交于点G，点E为边的中点，点F在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)写出线段之间的数量关系，并给出证明． 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，点、、分别为、、的中点，若，求证：． 【变式训练3】如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 题型3 三角形中位线的实际应用 【典例精讲】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（21-22八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点B，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（21-22八年级下·江苏徐州·月考）已知：如图，在中，E、F、M分别是各边的中点，是高． 求证： (1)； (2)若四边形是菱形，应满足什么条件______________（直接写出答案）． 【变式训练3】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 题型4 中点四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）    (1)在图1中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，在边上画点Q，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． (3)在图2中，画出一个以为边的非正方形的菱形（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是 ， 证明你的结论． 证明： (2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形； (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ． 【演练1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【演练3】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【演练4】（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【演练5】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 基础夯实 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，且，分别为，的中点．若，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 6．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，点D、E分别是线段的中点． (1)计算线段的长． (2)判断图中的形状，并说明理由． 9．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 培优拔高 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 2．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 3．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则 ． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为 ． 6．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，四边形的对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接分别交，于点，，且，若，则 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    8．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是线段，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为，求矩形的面积． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将纸片沿边，的中点，折叠，使点的对应点落在边上，再将纸片分别沿和的底边上的高线，折叠．折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，求证：四边形为矩形． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，连接，，相交于点M，． 【初步探究】 （1）如图1，求的度数； 【衍生拓展】 （2）如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，延长至点H，使，连接．试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $